北航《理论力学第二学期》考题.pdf

北航交通科学与工程学院 理论力学（第二学期） 复习资料 目录 北京航空航天大学 20022003 学年第一学期2 北京航空航天大学 20032004 学年 8 北京航空航天大学 20042005 学年第二学期12 北京航空航天大学 20052006 学年第二学期15 北京航空航天大学 20062007 学年第二学期19 北京航空航天大学 20082009 学年第二学期23 北京航空航天大学 20092010 学年第二学期28 北京航空航天大学 20102011 学年第二学期32 北京航空航天大学 20112012 学年第二学期36 北京航空航天大学 20132014 学年第二学期40 北京航空航天大学 20？20？学年第二学期.46 练习题 150 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 2 北京航空航天大学 20022003 学年第一学期 理论力学 AII 2003 年年 1 月月 16 日日 注意：试卷共 5 页，满分 100 分 一、选择题（将正确答案对应的字母填写在空格上。 每小题一、选择题（将正确答案对应的字母填写在空格上。 每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 1、质量为 m 的质点M在重力作用下铅垂下落，在运动过程中受到空气阻力的作用， 阻力的大小与其速度的立方成正比，即 3 R Fcv,c为常量。质点M在图示坐标 系中的运动微分方程为：。 A： 3 mxmgcx ；B： 3 mxmgcx ； C： 3 mxmgcx ；D： 3 mxmgcx ； E: A、B、C、D 中没有给出正确答案。 2、圆盘 A 放在光滑的水平地面上运动，杆 AB 通过圆柱铰链与圆盘中心 A 连 接，系统在图示铅垂面内运动，如图 2 所示。若圆盘和杆为非匀质刚体，则 有: A:系统的机械能守恒； B:系统的动量在水平方向的投影守恒； C:圆盘对铰链 A 的动量矩守恒； D:AB 杆对铰链 A 的动量矩守恒。 3、若定轴转动刚体的惯性力系向转轴上的某一点简化后为一惯性力偶，其力偶矩矢 量平行与转轴，则该定轴转动刚体是：。 A:静平衡；B：动平衡；C：非静平衡；D：非动平衡； M mg 图 1 x o 图 2 B A 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 3 E：非静平衡也非动平衡。 4、若质点系的动量恒为零，且对任意一点的动量矩也为零，则该质点系的动能： A:一定不为零；B:一定为零；C：不一定为零。 5、长为 L，质量为 m 的均质水平杆 AB 的 A 端用铰链与墙面固定，B 端用绳索铅垂吊 起， 杆上方有质量为 M 的重物 （视为质点） 。 若 （a） ： 重物放在 AB 杆的中点； （b） ： 重物放在 AB 杆的 B 端。当绳索剪断后的瞬时，忽略所有摩擦，比较哪种情况下， AB 杆的角速度大。答：。 A:情况（a）时 AB 杆的角加速度大； B:情况（b）时 AB 杆的角加速度大； C：条件不足，不能确定。 二、填空题（第二、填空题（第 8 小题小题 5 分，其余每空分，其余每空 4 分，共分，共 65 分分, 将计算的最简结果填写在将计算的最简结果填写在 空格上）空格上） 1、定轴转动刚体绕 O 轴在铅垂面内运动，若其质量为 2m，对转轴的转动惯量为 J, 质心到转轴的距离 OC=b,根据系统的广义坐标 （如图 3 所示） ， 建立其运动微分方 程。答:运动微分方程为： 2、匀质三角板用圆柱铰链与铅垂的 AB 杆和 CD 杆连接，如图 4 所示。已知 AB=2L,CD=AC=L,各刚体的质量分别为 1 m， 2 m， 3 m，若图示瞬时 AB 杆 AB （a） AB (b) 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 4 O C 图 3 B C 图 4 A D 3 m 1 m 2 m 的角速度为(方向如图)。该瞬时系统动量的大小P=。 3、质量为m，半径为R的均质圆盘在地面上纯滚动纯滚动（运动在图 5 所示平面内） ，若 图示瞬时圆盘的角速度为，OC=L。求此时圆盘对固定O动量矩的大小 0 M 0 M = 4、两个相同的均质圆盘用一个刚性杆AB连接，在水平面上纯滚动纯滚动，圆盘B用刚 度系数为2k的弹簧与固定墙壁连接（弹簧水平） ，已知AB杆的质量为 1 m ,每 个圆盘的半径为r，质量为 2 m 。则系统振动的固有频率=。 5、棱长为L的正方体绕O点作定点运动（如图 7 所示） ， 已知图示瞬时刚体的角速度为（方向由O点指向A 点） ，角加速度为（方向由O点指向B点） 。求正 O C R 图 5 AB2k -图 6 O B A 图 7 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 5 AB CD 图 10 方体上顶点B速度 B v 和加速度 B a 。 答：B点速度的大小 B v =（方向画在图上） B点加速度的大小 B a =（方向画在图上） 6、半径为 R 质量为 m 的均质圆盘 C 在质量为 M 的水平板 AB 上纯滚动纯滚动， AB 板放在 光滑的水平地面上（如图 8 所示） ，已知圆盘在某主动力偶的作用下，其角加速度 为。求圆盘中心 C 的加速度 C a 。 答：圆盘中心 C 加速度的大小 C a =（方向画在图上） 7、半径为r的圆盘在半径为R（R=3r）的固定半圆盘上纯滚动，已知图示瞬时圆 盘中心C的加速度为 C a ，其方向与OC连线的夹角为（如图 9 所示） 。求该 瞬时圆盘的角速度的大小和角加速度的大小及其转向（答案用r, C a 表示） 。 = ；=（转向画在图上） 8、质量为m，边长为L的正方形均质板静止放在光滑的水平 地面上。若在板上作用一水平冲量I，使板获得最大的动能， 该 冲 量 将 如 何 作 用 在 板 上 ， 则 板 获 得 的 最 大 动 能 C AB 图 8 O R C r C a 图 9 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 6 O A B 图 11 T=。 （将冲量I的作用点和作用线画在图上，已知板对质心的转动惯量为 2 1 6 mL） 9、定轴转动的 OAB 杆是由两个质量分别为 1 m（AB 杆）和 2 m （OA 杆） 的均质细杆焊接而成，已知 OA=AB=R，在图 11 所示瞬时，杆的角速度为零，角 加速度为。将 OAB 杆的惯性力向转轴 A 点简化，给出简化结果的主矢 IR F和 主矩 IA M。已知 1 m 2 m 主矢的大小 IR F=（方向画在图上） 主矩的大小 IA M=（方向画在图上） 10、质量为 0 m 的物块放在水平面上，其上有一半径为R的半圆槽，质量为m的小 球B可在槽内运动，忽略所有摩擦，如图12所示。 （1）若取, 作为系统的广义坐标，用广义速度和广义坐标给出系统在任意位 置时动能和势能的表达式（取坐标原点为势能零点,即 0 0 0 x V ） 。 （2）若初始时，小球在A处，系统从无初速 开始运动。给出系统拉格朗日方程的首次 积分。 系统的动能 T= 系统的势能 V= 广义动量积分： 广义能量积分： x R A B 图 12 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 7 三、计算题（本题三、计算题（本题 20 分）分） 质量为m，长为L的均质杆，上端B靠在铅垂墙壁上，下端A用柱铰链 与半径为R质量为M的均质圆盘中心连接，圆盘在水平地面上运动，忽略所有忽略所有 摩擦摩擦，系统如图 13 所示。已知图示瞬时AB杆与铅垂线的夹角为，其角速度 为 AB ， 圆盘的角速度为 A 。 求该瞬时系统的动能T，AB杆的角加速度 AB 、 圆盘的角加速度 A 和地面作用在圆盘上的约束力。 要求：指明研究对象，画其速度图、加速度图和受力图；要求：指明研究对象，画其速度图、加速度图和受力图； 根据上述图给出题解所需的基本定理和公式以及计算结果。根据上述图给出题解所需的基本定理和公式以及计算结果。 A B 受力图 A B 速度、加速度图 1 m g A B 图 13 2 m g A AB 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 8 北京航空航天大学 20032004 学年 理论力学 AII （试题共 5 页） 一、选择填空题（每题 2 分，共 10 分） （将正确答案的字母写在空格上，注：单选题） 1、若增加质点系的动量，则该质点的动能_。 A：一定增加B：一定不增加C：一定守恒D：多种可能，不能确定 2、质量为 m 的均质圆盘在质量为 m 的均质板 AB 上纯滚动，板放在水平面上。若在 板上作用一水平常力 F （如图 1 所示） ， 系统由静止开始运动。 当系统具有动能时， 则_。 A：圆盘中心 C 点相对地面加速度的方向向右B：圆盘的角速度转向为顺时针 C：圆盘与板的接触点具有相同的加速度D：A、B、C 均不正确 3、如图 2 所示非均质细杆 AB 静止地放在光滑水平面上（oxy 平面内，杆 AB 平行于 y 轴） ，杆的质心位于 C 点，且 ACBC。若垂直于 AB 杆作用一水平冲量 I（平 行于轴） ，则该冲量作用于杆上的_时，当冲击结束后，杆对 O 点的动量 矩矢量的模最大。 A、A 点B、B 点C、C 点D、D 点 4、两个相同的均质杆 AC、BC（各质量均为 m 长为 L）由铰链 C 连接在图示平面内 运动，已知图示瞬时铰链 C 的速度大小为，杆的角速度的大小为，方向如图 3A-D 所示，则该瞬时图 3_所示情况，系统得动能最大。 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 9 5、 均匀圆盘 B 在与水平面倾角为的固定斜面 A 上滚动， 其上作用有一常力偶矩 M，如图 4 所示，则斜面作用 在圆盘 B 上的摩擦力的方向_ A:与圆盘质心的加速度方向相同 B:与圆盘质心的加速度方向相反 C:不能确定（条件不足） 二填空题（每空 5 分，共 55 分） （填写最简结果） 1、半径为 R 的均匀圆盘，在铅垂面内绕 O 轴转动（如图 5 所示） ，不记摩擦。根据 题目给出的坐标，建立圆盘的运动微分方程： _ 2、若斜块 A 在地面上移动，半径为 R 的圆盘 B 在倾角为的斜块 A 上纯滚动，如图 6 所示。已知在图示瞬时斜块 A 速度大小为 u（方向向右）加速度的大小为（方向向 右） ，圆盘 B 的角速度为（顺时针）角加速度为（顺时针） ，求该瞬时: (一)圆盘中心 C 速度的大小 C v_; (二)圆盘中心 C 加速度大小 C a_; (三)圆盘与斜面接触点 P 的加速度的大小 P a_. 3、图 7 所示单自由度质量一弹簧系统，若物快的质量为 m，每个弹 簧 的 刚 度 系 数 为 k, 则 系 统 振 动 的 固 有 频 率 0 _, 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 10 4、 半径为 R 质量为的均质圆盘， 绕 O 轴作定轴转动， 边缘上固连一质量为的质点 A，已知图示瞬时， 圆盘的角加速度为零，角速度为（方向如图 8 所 示，两条虚线互相垂直，C 为圆盘中心） 。将系统 的惯性力系向圆盘中心 C 简化， 其主矢和主矩的大 小分别为： 主矢的大小为 F1_，主矩的大小为 M1C_。 5、质量为半径为的均质圆盘沿半径为 Rr 的固定圆柱面外侧纯滚动，圆盘的 角速度为（方向如图所示） ，则圆盘对圆柱中心轴 O 的动量矩的大小 Lo _。 6、质量为的小球（视为质点）可沿半径为 R 的均质圆环运动，该圆环绕铅垂轴作 定轴转动，对转轴的转动惯量为 mR2，不计转轴的质量，忽略所有摩擦，如图 10 所示。 当0 时，圆环的角速度为0，小球相对圆环的速度为r，求（1）小球 运动到图示位置时，圆环的角速度； （2）若小球有足够大的初始速度，则小球 运动到什么位置时（？） ，圆环的角速度为零？ 答： （1）_ （2）小球运动到_时，圆环的角速度为零。 7、棱长为 L 的正方体绕 O 点作定点运动，已知图示瞬时，正方体的角速度为，角 加速度为（方向如图所示） ，求正方体上 A 点加速度的大小A。 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 11 A_。 三、计算题（本题 20 分） 质量为 m1的板可在光滑的地面上直线移动，半径为 R 质 量为 m2的均质圆盘在该板上纯滚动，圆盘中心通过光滑 铰链用钢度系数为 k 的水平弹簧与固定墙连接，弹簧的 原长为 L，系统得广义坐标如图 12 所示。试给出系统的动能和势能的表达式（用 广义坐标和广义速度表示） 。若系统初始时，板的速度为 u（方向水平向右） ，圆 盘的角速度为零， 弹簧的变形量为， 求系统拉格朗日方程的首次积分并确定积分 常量。 （1） 系统的动能； （2） 系统的势能； （3） 求系统拉格朗日方程的首次积分-广义动量积分（如果存在） ； （4） 求系统拉格朗日方程的首次积分-广义能量积分（如果存在） 。 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 12 北京航空航天大学 20042005 学年第二学期 理论力学 AII 2005 年 7 月 7 日 注：试题共 3 页，满分 100 分 一、单项及多项选择题（将正确答案的字母填在空格内；每题一、单项及多项选择题（将正确答案的字母填在空格内；每题 2 分，共分，共 10 分）分） 1、对于具有定常约束的质点系，其动能可以表示成。 A.T=T2+T1+T0B.T=T1+T0C. T=T2+T1D. T=T2 其中，Ti为广义速度的 i 次齐函数（i=0,1,2） 2、确定一个正方体在空间的位置需要个独立的参数。 A.6B.5C.4D.3 3、二自由度线性振动系统的固有频率与系统的有关。 A.初始位置B.初始速度C.广义质量D.广义刚度 4、拉格朗日方程的循环积分反映的是质点系的。 A.某个广义动量守恒B.广义能量守恒 5、不论刚体做什么运动，刚体上任意两点的速度在两点连线上的投影。 A.不一定相等B.一定不相等C.一定相等 二、填空题（将最简结果填在空格内；每空二、填空题（将最简结果填在空格内；每空 5 分，共分，共 60 分）分） 1、图 1 所示系统的等效弹簧刚度系数 * k=。 2、如图 2 所示，长为 L 质量为 2m 的均质杆 OA 用光滑柱铰链悬挂在天花板上，下 端与刚度系数为 k 的水平弹簧连接，杆铅垂时弹簧为原长，则系统在铅垂位置古今做 微幅振动的固有频率0=。 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 13 3、 如图 3 所示， 圆盘以匀角速度1绕 CD 轴转动， 框架以匀角速度2绕铅垂轴转动， 则该定点运动圆盘角速度的大小=（方向画在图上） ，角加速度的大 小=（方向画在图上） 。 图 3 4、如图 4 所示，圆柱固连在水平轴 O1O2上，并以匀角速度 绕该轴转动，同时框架 以匀角速度绕铅垂轴 AO 转动，其中：x，y，z是圆柱上关于 O3点的三个互相垂 直的惯量主轴，且圆柱对这三根轴的转动惯量分别为Jx，Jy，Jz，则该瞬时圆 柱对 O3点的动量矩： LO3=ijk 5、如图 5 所示，正方形框架以匀角速度绕水平轴 AB 转动，质量为 m 半径为 R 的 匀质圆盘以匀角速度0绕正方形框架上的 CD 轴转动，且0，CD 轴到轴承 A、 B 的距离皆为 a，若正方形框架和轴 AB 的质量不计，求框架运动到铅垂平面内时， 圆盘产生的陀螺力矩的大小 Mg，以及作用在轴承 B 上的约束力的大小 FB。 Mg=，FB= 图 6 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 14 6、如图 6 所示，具有固定点 A 的圆锥在固定的圆盘上纯滚动，圆锥的顶角为 90， 母线长为 L，已知圆锥底面中心 D 作匀速圆周运动，其速度为 v，方向垂直平面 ABC 向外。求圆锥的角速度、角加速度和圆锥底面直径上 C 点的加速度C的大小。 =C= 三、计算题（本题三、计算题（本题 30 分）分） 滑块与匀质圆盘用不计质量的杆 AB 铰接在铅垂平面内运动，系统的广义坐标如 图所示，其中 AB 杆长为 L，圆盘半径为 R，滑块和圆盘的质量均为 m，忽略所有摩 擦。 （1） 用系统的广义坐标和广义速度给出系统的动能 T 和是能 V （杆在铅垂位置时未 势能零点） ； （2） 若初始时，杆位于铅垂位置0=0，且角速度为零；滑块的速度为 u，方向水平 向右；圆盘的角速度为0，转向逆时针。试给出系统拉格朗日方程的首次积分 并确定积分常数。 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 15 北京航空航天大学 20052006 学年第二学期 理论力学 AII 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 16 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 17 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 18 北京航空航天大学 20052006 学年第二学期 理论力学 AII 参考答案 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 19 北京航空航天大学 20062007 学年第二学期 理论力学 AII 一、选择题（将正确答案的字母填在空格内；每小题一、选择题（将正确答案的字母填在空格内；每小题 2 分，共分，共 10 分）分） 1、对于具有定常约束的质点系，一般情况下其动能 T 可以表示为的函数。 A.广义速度B.广义坐标C.时间 t 2、绕中心惯量主轴做定轴转动刚体，当其角速度不为零时，该刚体对质心的动量矩 矢量。 A.一定平行于转轴B.一定不平行于转轴C.不一定平行于转轴 3、定点运动的圆锥 ABC 在水平固定圆盘上纯滚动，如图 1 所示，若圆锥底面中点 D 做匀速圆周运动，AC 为圆锥与圆盘接触的母线，在图示瞬时，该圆锥上 C 点的 加速度矢量C的方向为。 A.平行于 ACB.垂直于 ABC 三点确定的平面 C.垂直于 AC 且平行于 ABD.不能确定 图图 1图图 2 4、两个质量不同的齿轮 1 和 2（视为均质圆盘）相互啮合并用均质杆通过光滑柱铰链 连接，在水平面内运动，为齿轮 1 的转角，为 OA 杆的转角，如图 2 所示。该 系统拉格朗日方程有个循环积分（广义动量积分） ，有个广义能量 积分。 A.3B.2C.1D.0 5、单自由度线性系统自由振动的振幅与有关。 A.广义质量B.广义刚度C.初始位置D.初始速度 二、填空题（将最简结果填在空格内；每空二、填空题（将最简结果填在空格内；每空 4 分，共分，共 40 分）分） 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 20 1、滑块在水平地面上沿直线以给定速度移动，其大小=at， （a 为常数） 。质量为 m 的质点 A 可在滑块上的圆槽内运动，圆槽半径为 R，如图 3 所示。设为质点 A 的广义坐标，此时质点的动能可以表示成 T=T2+T1+T0，其中，Ti为广义速度的 i 次齐函数（i=0,1,2） 。则：T0=，T1= 图图 3图图 4 2、各长为 L 质量为 2m 的三根均质杆用光滑柱铰链连接，可在铅垂平面内摆动，如 图 4 所示。则该系统在平衡位置附近作微幅振动的固有频率=。 3、半径为 R 的圆盘以大小为0（常量）的角速度绕 CD 轴转动，CD 轴支撑在框架 上，该框架以大小为=0的角速度绕 AB 轴转动，如图 5 所示。求图示瞬时，圆 盘的角速度大小、角加速度、圆盘上最右边一点 M 的速度M、该点的转动加 速度的大小aR和轴向加速度的大小aN。 = = M= aR= aN= 4、框架以匀角速度Z=绕铅垂轴 AB 转动，质量为 m 半径为 R 的均质圆盘以匀角速度1=2绕框架上的 CD 轴转动，圆盘盘面垂直于 CD 轴且质心 O 在转轴 上，如图 6 所示。求圆盘对 O 点的动量矩 MO的大小 和对 z 轴动量矩Mz的大小。 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 21 （圆盘对 CD 轴的转动惯量为 mR2/2，对圆盘上某一直径的转动惯量为 mR2/4） MO=，Mz= 三、计算题（第一小题三、计算题（第一小题 30 分，第二小题分，第二小题 20 分，本题共分，本题共 50 分）分） 1、质量为 m 半径为 R 的匀质圆盘在光滑的水平地面运动，圆盘中心用柱铰链连接一 长为 L 的细杆 AB （不计其质量） ， 其 B 端连接一个质量为 m 的小球 B （视为质点） ， 系统在铅垂平面内运动。设系统的广义坐标如图 7 所示，其中：x 为圆盘质心的水 平坐标，为圆盘的转角，为 AB 杆的转角。忽略空气阻力和所有摩擦。求： （1）用系统的广义坐标和广义速度给出系统的动能 T 和势能 V（杆在铅垂位置时 为势能零点） ； （2）若初始时，AB 杆位于铅垂位置0=0，圆盘中心 A 点的速度为 u（水平向右） ， 圆盘的角速度为（顺时针） ，AB 杆的角速度为 0,。试给出系统拉格朗日方程 的首次积分（如果存在）并确定积分常数。 要求：给出解题的基本理论和基本步骤。要求：给出解题的基本理论和基本步骤。 图图 7 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 22 2、 质量为 m 半径为 R 的匀质圆盘相对正方形框架 ABCD 以匀角速度绕 BC 轴转动， 圆盘盘面垂直于 BC 轴，且其质心在该轴上，正方形框架以匀角速度绕铅垂轴 AB 转动，且,设正方形框架的边长为 L，轴承 A 到球铰链 B 的铅垂距离为 h，如图 8 所示。忽略框架质量以及所有摩擦。求： （1）圆盘质心加速度的大小a； （2）圆盘陀螺力矩的大小； （3）轴承 A 约束力的大小、球铰链 B 水平约束力的大小和铅垂约束力的大小。 要求：给出解题的基本理论和基本步骤，指明研究对象并画出必要的受力图。要求：给出解题的基本理论和基本步骤，指明研究对象并画出必要的受力图。 图图 8 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 23 北京航空航天大学 20082009 学年第二学期 理论力学 AII（A 卷） 2009 年年 6 月月 18 日日 一、选择题（将正确答案的字母填在空格内；每小题一、选择题（将正确答案的字母填在空格内；每小题 2 分，共分，共 10 分）分） 1、应用动力学普遍方程可以给出和系统运动之间的关系。 A.主动力B.完整约束力C.非完整约束力 2、第二类拉格朗日方程可以用于研究具有系统的动力学问题。 A.理想约束B.非理想约束C.定常约束D.非定常约束 3、已知某瞬时定点运动刚体上两点的速度矢量，求出该刚体的角速度矢 量。 A.一定能B.一定不能C.不一定能 4、多自由度线性振动系统的固有频率和振型与系统的有关。 A.初始位置B.初始速度C.广义质量D.广义刚度 5、对于具有定常约束的质点系，一般情况下其动能 T 可以表示为的函数。 A.广义刚度B.广义坐标C.时间 t 二、 填空题（将计算的最简结果填写在空格里，第三小题第一问二、 填空题（将计算的最简结果填写在空格里，第三小题第一问 5 分， 其余每空 分， 其余每空 5 分，共分，共 50 分） 。分） 。 1、如图 1 所示，均质杆 AB 长为 l，质量为 m，用两根相同的弹簧（质量不计）悬挂， 杆 AB 水平，两弹簧与铅垂线的夹角均为 30，初始时杆静止，求弹簧 1 被截断的 瞬间，杆 AB 的角加速度的大小，质心加速度ac的大 小。 图图 1图图 2 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 24 2、如图 2 所示，滑块 A 与均质圆盘 B 的中心用不可延伸的绳索连接，不计绳索质量 和所有摩擦。 初始时刻系统无初速度释放， 则此时滑块 A 加速度的大小为aA和圆 盘中心 B 的加速度大小aB间的关系为aB=。 3、如图 3 所示，均质圆板为 m，半径为 R，可绕过质心 C 的水平轴 x 作定轴转动。 一直板相对于质量对称轴 y 和 z 的转动惯量为 2 4 1 mR，x 和 x 轴的夹角为。 图示瞬时圆板的角速度为，y 轴与铅垂面（xCy 平面）的夹角为。则此时： 该板对质心 C 的动量矩：LC=ijk 该板的动能：T= 图图 3图图 4 4、如图 4 所示，均质圆盘 AC 质量为 m，半径为 R，在铅垂平面内绕水平轴 A 作定 轴转动。 不计摩擦， 则圆盘在静平衡位置古今作微幅振动的固有频率0=。 5、如图 5 所示，具有固定顶点 O 的圆锥在水平面上纯滚动，圆锥的顶角为 90，母 线长为 R，底面中心 C 作匀速圆周运动，速度大小为v=R。求： 圆锥上最高点 B 的速度大小：vB=； 圆锥的角速度大小：=； 圆锥上最高点 B 的加速度大小：aB=。 6、如图 6 所示，质量为 m，半径为 R 的均质圆盘以大小为0（常量）的角速度绕 CD 轴转动，CD 轴支撑在框架上，该框架一大小（常量）的角速度绕 AB 轴转 动。 若且0， 轴承A和B的距离为2l， 则轴承A处的约束力大小FA=。 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 25 图图 5图图 6 三、计算题（每小题三、计算题（每小题 20 分，共分，共 40 分）分） 1、 图 7 所示系统位于铅垂平面内， 质量为 m 半径为 R 的均值圆环 A 在地面上纯滚动， 一质量为 m 的质点 B 可沿光滑圆环运动。取圆心 A 的 x 坐标，以及 AB 连线与铅垂 线的夹角为广义坐标。 初始时刻： 圆心 A 的速度为 u， 方向水平向右，=60，0 。 （要求：画出必要的速度图）（要求：画出必要的速度图） 试用广义坐标和广义速度表示： （1） 系统的动能 T： （2） 系统的势能 V（设=0 时系统势能为零） ： 求： （3） 拉格朗日方程的广义动量积分 （如果存在）及积分常数； （4） 拉格朗日方程的广义能量积分 （如果存在）以及积分常数。 图图 7 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 26 2、如图 8 所示，质量均为 m 的均质杆 OA、AB、和 BD 用铰链连接，静止于铅垂平 面内，水平杆 OA 和 BD 的长度相等，且 O、B 连线及 A、D 连线垂直。求 A 处的绳 索被剪断后的瞬时，铰链 A 的加速度和铰链 O、D 处的约束力FOx，FOy，FDx， FDy（水平向右为 x 正向，铅垂向上为 y 正向） 。 要求：画出必要的受力图的加速度图；给出解题的基本公式或定理，以及简单的求解 步骤。 要求：画出必要的受力图的加速度图；给出解题的基本公式或定理，以及简单的求解 步骤。 图图 8 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 27 北京航空航天大学 20082009 学年第二学期 理论力学 AII（A 卷）参考答案 一、选择题一、选择题 1、C2、ACD3、C4、CD5、ABC 二、填空题二、填空题 1、=3g/l，ac=g 3 3 2、aB= aAsin 3、LC=cos 2 1 2 mRi-cossin 4 1 2 mRj+sinsin 4 1 2 mRk 4、 R g 3 2 0 5、Rv2 B B , 2 4,RaB 2 24 6、 l mR mgFA 42 1 0 2 三、计算题三、计算题 1、 cos 2 1 2 3 2 2 2 xmRmRxmT )cos1(mgRV 循环积分： mumRxm x T 3cos3 能量积分： )3( 2 1 2 gRumVT 2、=6g/5l，FOx=FDx=0，FOy= FDy=3mg/10 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 28 北京航空航天大学 20092010 学年第二学期 理论力学 AII 一、选择题（在正确答案的字母上打一、选择题（在正确答案的字母上打；每小题；每小题 3 分，共分，共 15 分）分） 1、第二类拉格朗日方程适用于研究具有下列哪类约束的质点系的动力学方程？ A.完整约束B.非完整约束C.定常约束D.非定常约束 2、定点运动刚体的自由度可以是？ A.4B.2C.3D.4 3、定点运动的圆锥 ABC（ACAB）在水平固定圆盘上纯滚动，如图 1 所示。若圆 锥底面中点 D 作匀速圆周运动，则在图示瞬时，圆锥母线 AB 上 B 点加速度矢量 aB的方向？ A.平行于 ABB.垂直于 A、B、C 三点所确定的平面 C.平行于 ACD. 位于 A、B、C 三点所确定的平面内 图图 1图图 2 4、均质圆盘 OA 与均值薄圆盘中心固连，并通过光滑球铰链约束于固定点 O，OA 杆 水平且与圆盘面垂直，圆盘放置在水平面上，如图 2 所示。当系统静止时，地面 作用于圆盘法向约束力的大小为FN；当给系统一个初始扰动，在主动力仅为自 身重力的作用下，圆盘中心 A 点作匀速圆周运动，圆盘在地面上纯滚动（不计滚 阻力偶），此时地面作用于圆盘的法向约束力的大小为FN。则。 A.FN= FNB.FN FND.条件不足无法确定 5、单自由度线性系统无阻尼自由振动的固有频率与系统的有关。 A.广义坐标B.广义速度C.广义质量D.广义刚度 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 29 二、 填空题，将计算的最简结果填写在空格里（共二、 填空题，将计算的最简结果填写在空格里（共 60 分，每空分，每空 5 分） 。分） 。 1、滑块 G 用两弹簧连接在倾角为的斜面上并沿斜面直线平移，如图 3 所示。则该系 统的等效弹簧刚度系数 * k=。 图图 3图图 4 2、三个相同的均质杆用光滑柱铰链连接，在铅垂面内运动，如图 4 所示。若杆长为 2L，重力加速度为 g，则该系统在平衡位置附近所作微幅振动的固有频率 0=。 3、质量为 m 的质点 C 被约束在半径为 R 的圆环内运动，圆环以匀角速度绕铅垂轴 z 转动，CO 连线与铅垂线的夹角为（系统的广义坐标） ，如图 5 所示。该质点受 到的是非定常约束，其动能可表示为 T=T2+T1+T0，其中 Ti（i=0，1，2）为广义速 度的 i 次齐函数，求该质点的 T1和 T0。 T2=T0= 图图 5图图 6 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 30 4、半径为 R=0.1m 的圆盘以匀角速度1=8rad/s 绕 CD 轴转动，该轴被水平支撑在框 架 BCD 上，该框架以匀角速度z=8rad/s 绕 z 轴转动，圆盘中心 O 位于 CD 轴与 z 轴的交点，如图 6 所示。求该圆盘角速度的大小，角加速度的大小，图示 瞬时圆盘最高点 M 的向轴加速度的大小 N a， 转动加速度的大小 R a和切向加速度 的大小at。 = N a= R a=at= 5、棱长为 L 的正方体绕 O 点作定点运动，已知该瞬时正方体顶点 A、B 的速度方向， 如图 7 所示，其中 B 点速度的大小为 u。求该瞬时正方体的角速度的大小和顶 点 C 的速度大小C。 =，C= 图图 7图图 8 6、质量为 m 半径为 R 的匀质圆盘绕边长为 L 的正方形框架的对角线 BC 以匀角速度 转动，框架 ABCD 以匀角速度绕铅垂轴 AB 转动，且，如图 8 所示。 则该圆盘陀螺力矩的大小Mg=。 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 31 三、计算题（本题三、计算题（本题 25 分）分） 质量为 m 半径为 R 的匀质圆盘在光滑的水平地面运动，圆盘中心用柱铰链连 接一长为 L 的细杆 AB（不计其质量） ，其 B 端连接一个质量为 m 的小球 B（视为 质点） ，系统在铅垂平面内运动。设系统的广义坐标如图 9 所示，其中：x 为圆盘 质心的水平坐标，为 AB 杆的转角。忽略空气阻力和所有摩擦。求： （1）用系统的广义坐标和广义速度给出系统的动能 T 的表达式； （2）用系统的广义坐标给出系统势能 V 的表达式（杆在铅垂位置时为势能零点） ； （3）若初始时，系统静止， =90，试给出该系统拉格朗日方程的首次方程（循环 积分和能量积分） ，并确定积分常数。 要求：给出解题的基本步骤和最简答案要求：给出解题的基本步骤和最简答案 图图 9 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 32 北京航空航天大学 20102011 学年第二学期 理论力学 AII 一、选择题（每题一、选择题（每题 2 分，共分，共 10 分）分） 1.第一类拉格朗日方程用描述质点系的运动与其受力的关系。 A.微分代数方程组B.微分方程组C.代数方程组 2.在光滑水平面运动的刚性小球的自由度是。 A.3B.4C.5D.6 3.匀角速度定轴转动刚体在运动过程中，其等物理量一定为恒量。 A.相对质心动量矩B.动能C.动量D.对转轴的动量矩 4.正方体绕 O 定点转动，如图 1 所示，已知图示瞬时 A、B 两点速度方向，则此时刚 体的角速度平行于。 A.AB 两点连线B.Oz轴C.Oy轴D.Ox轴 图图 1图图 2 5.如图 2 所示质量弹簧系统的等效刚度系数 k 为。 A. 321 111 kkkk B. 321 * 1111 kkkk C. 321 kkkk D.没有正确答案 二、填空题（每空二、填空题（每空 5 分）分） 1.质量为m的滑块被约束在以角速度绕铅垂轴转动的水平滑槽内，如图 3 所示。若 将滑块视为质点，用广义坐标q表示其位置，该滑块受非定常约束，其动能 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 33 021 TTTT，其中 i T为广义速度的i次齐次函数。求 1 T、 0 T。 1 T 0 T 图图 3图图 4 2.两锥齿轮啮合， 为铅垂方向，齿轮 I 上 A 点相对 II 齿轮相对速度 Rvr3（常 值） ，如图 4 所示。若齿轮 I 顶角为 60，R2OA ，求齿轮 I 相对 II 的 r ，相 对角加速度 r ， 齿轮 I 上最高点 B 相对于齿轮 II 的相对速度 r vB和该点的绝对速度 a vB。 r r r vB a vB 3.棱长为l 2的正方体绕 O 作定点运动，如图 5 所示。已知该瞬时的、，求此时 A 点的转动加速度 AR a 和向轴加速度 AN a 。 AR a AN a 图图 5图图 6 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 34 4.质量为m、半径为R的均质薄圆盘以角速度绕水平轴 AB 转动，AB 轴通过光滑 球铰链 A 与铅垂轴连接，如图 6 所示。若 AB 的长度Rd3且质量不计，圆盘做 规则进动，求 AB 的角速度 0 和铰链 A 水平方向约束力的大小 AB F。 0 AB F 5.质量为m、半径为R的均质圆盘在半径为R4的固定圆柱面上纯滚动，如图 7 所示。 其中为系统广义坐标，圆盘在平衡位置（0）附近作微幅振动，求该系统的广 义质量 m和广义刚度 k。 m k 图图 7 三、计算题（三、计算题（30 分）分） 质量为m的均质圆盘上铰接有质量为m，杆长为l 2的杆，如图 8 所示。圆盘做 纯滚动，设广义坐标为x，。 图图 8 （1）求系统动能T。 （2）求系统动能V。 （3）初始时，轮 A 速度为u（向右） ，杆位于水平位置且角速度为 0，求首次积 分并确定积分常量。 （4）求上述初始条件下0t时 AB 杆的角速度 。 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 35 解： （1）系统动能T 圆盘动能 A T 杆的动能 AB T 系统动能T （2）系统势能V （3）首次积分 循环积分： 能量积分： （4）初始时 AB 杆的角速度 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 36 北京航空航天大学 20112012 学年第二学期 理论力学 AII（B 卷） 2012 年年 6 月月 12 日 注意：试卷共 日 注意：试卷共 4 页，满分页，满分 100 分分 一、选择题（在正确答案的字母上打一、选择题（在正确答案的字母上打；每小题；每小题 2 分，共分，共 10 分）分） 1、第几类拉格朗日方程能建立质点系的运动与其所受主动力和约束力间的关系？ A.第二类B.第一类 C.拉格朗日方程的广义动量积分D. 拉格朗日方程的广义能量积分 2、定点运动的刚体的角速度矢量与该刚体对顶点 O 的动量矩矢量 LO平行的充分必 要条件是。 A.刚体绕质量对称轴转动B.刚体绕惯量主轴转动 C.刚体的质心在固定点D.刚体为均质体 3、若定点运动刚体角速度矢量的大小为非零常量，其方向始终变化，则该刚体的角 加速度矢量可能是。 4、已知质量为 m 棱长为 L 的均质正方形刚体绕球铰 链 O 作定点运动，如图 1 所示。在图示瞬时，该 正方体的顶点 A、B 两点速度矢量满足关系式 A =- B （垂直于 OAB 平面） ，且| A | =u。根据 已知条件，能求该刚体的哪些物理量？ A.只能确定其角速度矢量所在平面 B.能求出其角速度的大小和方向 C.能求出该刚体对定点 O 的动量矩的大小和方向 D. 能求出其角加速度的大小和方向 5、若质量-阻尼-弹簧受迫振动系统的动力学方程为 其稳态振动的振幅与下列哪些因素有关？ A.系统运动的初始条件B.外激励幅值Fmax C.外激励频率D.系统参数 m，c，k 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 37 二、 填空题，将计算的最简结果填写在空格里（共二、 填空题，将计算的最简结果填写在空格里（共 70 分，每空分，每空 5 分） 。分） 。 1、质量为 m 长为 L 上午均质杆 OA 和质量为 m 长为 3L 的均质杆 AB 用光滑柱铰链 连接并悬挂于 O 点，AB 杆的 B 端放在光滑水平面上，如图 2 所示。若系统初始 静止，OA 杆铅垂，AB 杆与水平面的夹角为 30，在铰链 A 上作用一水平推力 P， 求初始时 AB 杆的 OA 杆角加速度的大小AB和OA。 AB=OA= 2、质量为 m 的质点 B 用长为 2L 的无质量杆 AB 通过柱铰链与以水平直线移动的滑 块 A 连接，广义坐标为 AB 与铅垂线的夹角，如图 3 所示。质点 B 受到非定常 约束，其动能可表示为 T=T2+T1+T0，其中 Ti（i=0，1，2）为广义速度的 i 次齐函 数，求 T2和 T1。 T2=T1= 3、锥形齿轮 I 在固定锥形齿轮 II 上纯滚动，齿轮 I 中心轴 OA 上的 A 点速度的大小 为vA（常值），圆锥齿轮 I 的顶角=90（BOA=45），如图 4 所示。求图示瞬 时齿轮 I 角速度的大小1和角加速度的大小1、 齿轮 I 上最高点 B 速度的大小vB 以及该点转动加速度的大小aBR和向轴加速 度的大小aBN。注：计算结果用0，R 表示 = = vB= 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 38 aBR=aBN= 4、质量为 m 半径为 R 的均质薄圆盘固连在水平轴 AB 上并以匀角速度B=2绕 AB 轴转动，该轴通过球铰链 A 与支座连接并以角速度AB=绕铅垂轴转动，圆盘与 地面接触，如图 5 所示。若 AB 轴长为 2R 且不计其质量，忽略所有摩擦，求圆盘 陀螺力矩的大小Mg、地面作用在圆盘上的约束力的大小FN和球铰链 A 的约束力 在水平面上分量的大小FAB。 注：所有答案均用注：所有答案均用 m，R，g，表示。表示。 Mg= FN= FAB=图图 5 5、 质量为 2m 的滑块 A 与质量为 m 的滑块 B 用长为 L 的无质量杆 AB 铰接且分别在 铅垂滑道和水平滑道内运动，滑块 B 与刚度系数为 k 的弹簧连接，当=0 时弹簧 无变形，如图 6 所示。若弹簧刚度系数足够大，可使系统在=0 附近作微幅振动， 其动力学方程可表示为 * m + * k=0，试给出该方程中的等效质量 * m和等效刚度 * k。 * m= * k= 图图 6 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 39 三、计算题（本题三、计算题（本题 20 分）分） 刚体 AOB 是由 OA 杆与 OB 杆焊接而成，两杆之间的夹角为（常值），该刚 体可绕铅垂轴 z 转动，已知该刚体对 z 轴的转动惯量为 J；质量为 m 的套筒 M（视 为质点）套在 OA 杆上，可沿杆移动，如图 7 所示。若，q 为系统的广义坐标。 求： （1）试用系统的广义坐标和广义速度给出系统的动能 T 的表达式； （2）用系统的广义坐标给出系统势能 V 的表达式（设 q=0 时为势能零点） ； （3）若初始时， o =，q=0，=0，试给出该系统拉格朗日方程的首次方程（广义 动量积分和广义能量积分） ，并确定积分常数。 要求：给出解题的基本步骤和最简答案要求：给出解题的基本步骤和最简答案 解： （1）系统的动能 （2）系统的势能 （3）系统拉格朗日方程的首次积分 广义动量积分存在的依据： 广义动量积分表达式： 广义动量积分常数 C1= （4）广义能量积分存在的依据： 广义能量积分表达式： 广义能量积分常数 C2= 北京航空航天大学交通科学与工程学院理论力学（第二学期） 复习资料 40 北京航空航天大学 20132014 学年第二学期 理论力学 AII 一、选择题（将正确答案的字母填在空格内；每小题一、选择题（将正确答案的字母填在空格内；每小题 2 分，共分，共 1