内积空间和希尔伯特空间.ppt

第九章 内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间,9.1内积空间的基本概念,教学目标: 1、掌握内积空间和希尔伯特空间的定义,运用定义能够证明; 2、掌握施瓦茨不等式与极化恒等式,并能熟练运用; 3、培养学生抽象、理解、概括、归纳能力和迁移能力;,教学重点:理解内积空间和希尔伯特空间的定义. 教学难点:证明过程及运用.,在复欧氏空间中,向量除了有长度的概念外,还定义了两个向量的内积的运算,即若 则a与b的内积定义为: 其中 表示 的复共轭,并且内积与向量a的长度有以下关系 由内积定义,可知两个向量a与b正交等价于 .显然,在有限维复欧氏空间 中,由(1)定义的内积具有下述性质: 1. 2. 3. 在复欧氏空间 的欧几里得几何学中所用到内积的性质主要是上面三条,因此利用这三条性质,我们也在一般的线性空间中引入内积的的概念.,定义1设 是复线性空间,如果对 中任何在两个向量 有一复数 与之对应,并且满足下列条件: 1. 2. 3. 则称 为 与 的内积,称 为内积空间. 如果 是实的线性空间,则条件3就改为 从内积的定义,立即可以得到下面的等式,设 是内积空间,令 那么 是 上的范数.事实上,由内积定义(2)式,不难证明 为了证明范数不等式 ,我们首先证明施瓦茨(Schwarz)不等式: 引理1(Schwarz不等式) 设 按内积 成为内积空间,则对于 中任意向量 成立不等式 当且仅当 与 线性相关时,不等式(4)中等号才成立. 证明: 如果 ,易知对一切 因而(4)式成立.若 ,则对每个复数 ,由内积条件1,有 令 那么上式方括号中式子为0,所以,两边乘以 ,并且开方,即可得到要证的Schwarz不等式 若 与 线性相关,通过直接计算,易知(4)式中等号成立,反之,若(4)式中等号成立,假定 ,则 与 自然线性相关,若 ,令 由Schwarz不等式推导过程,易知 ,即 .所以 与 线性相关.证毕. 由Schwarz不等式,立即可知 满足范数不等式.事实上,所以 .称由(3)式定义的范数 为由内积导出的范数,所以内积空间是一种特殊的赋范空间.若 按(3)式中范数完备,则称为Hilbert空间. 设 是由内积导出的范数,通过计算,不难证明对 中任何两个向量 ,成立平行四边形公式 它是平面上平行四边形公式在内积空间中的推广.反之可以证明,若 是赋范线性空间,其中范数 对 中任何向量 ,满足平行四边形公式(5),那么一定可在 中定义内积 ,使 就是由内积 导出的范数.因此,(5)式是内积空间中范数的特征性质. 下面举一些内积空间的例子 例 对 中任意向量 ,定义 易知 按(6)中内积成为内积空间,又由内积(6)导出的范数,即为第七章第节例中当 时所定义的范数,因此由第七章第节定理知, 成为Hilbert空间. 例 .设 定义 则 按(7)中内积也成为Hilbert空间. 例当 时, 不成为内积空间 事实上,令 则 且 但 ,所以不满足平行四边形公式(5),这说明 中范数不能由内积导出,因而不是内积空间. 例 按 不成为内积空间. 事实上,令 则 且 ,但因为,所以 因此不满足平行四边形公式,这就证明了 不是内积空间. 设 为内积空间,由(3)给出了 上的范数,反之,通过直接计算可以证明,内积与范数之间成立如下不等式,(8)式称为极化恒等式,它表示内积可以用它所导出的范数来表示.当 为实内积空间时,极化恒等式变为 由Schwarz不等式,立即可知内积是两个变元的连续函数,即当 时,有 .事实上,因为 因 收敛,故 有界,所