角平分线的性质定理及其逆定理课件.ppt

,角平分线的性质定理 及其逆定理,主备：蒋太平,1、什么叫角平分线？,3.你还记得角平分线上的点有什么性质吗?,2、如何用尺规作角的平分线？,如果一条射线把一个角分成两个相等的角， 那么这条射线叫角的平分线。,分别以，为圆心大于 的长为半径作弧两弧在AOB的内部交于,如何用尺规作角的平分线？,A,作法：,以为圆心，适当长为半径作弧，交于，交于,作射线OC,则射线即为所求,请你说明OC为什么是AOB的平分线,并与同桌进行交流.,命题：角平分线上的点到角的两边的距离相等,条件：一个点在一个角的平分线上,结论：它到角的两边的距离相等,已知：OC是AOB的平分线，点P在 OC上，PD OA ，PE OB， 求证：PD=PE. 证明:,PD=PE(全等三角形的对应边相等)。,证明：,OC是AOB的平分线(已知)，,1=2(角平分线的定义)。,PDOA，PEOB(已知)，,PDO=PEO=90(垂直的定义)。,在PDO和PEO中，,PDO=PEO (已证)，,12(已证)，,OPOP(公共边)，,PDOPEO (AAS)。,用符号语言表示为：,1= 2 PD OA ，PE OB PD=PE.,交换定理的条件和结论得到的命题如何叙述？,老师提示:这个结论是经常用来证明两条线段相等的根据之一.,角平分线性质定理: 角平分线上的点到这个角的两边距离相等.,你能写出它的逆命题吗？,逆命题 在角的内部到一个角的两边距离相等的点, 在这个角的平分线上.,它是真命题吗?,如果是.请你证明它.,已知:如图, AOB,PDOA, PEOB,且PD=PE,垂足分别是D,E. 求证:点P在AOB的平分线上.,分析:要证明点P在AOB的平分线上,可以先作出过点P的射线OC,然后证明AOC=BOC.,O,C,B,A,P,D,E,逆定理: 在角的内部，到一个角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,用符号语言表示为: PDOA,PEOB,垂足 分别是D,E,且PD=PE 点P在AOB的平分线上,老师提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,O,C,B,A,P,D,E,角平分线性质定理的逆定理,判断下列推理是否正确,（1）如图，AD平分BAC，PEAB，PFAC PE = PF（角平分线上的点到这个角的 两边距离相等）,（2）如图， PE = PF AD平分BAC （到角两边距离相等的点 在这个角的平分线上）,（3）如图， 点P在BAC 的平分线上 PE = PF（角平分线上的点到 这个角的两边距离相等）,（对）,（错）,（错）,判断下列推理是否正确,（4）如图， PEAB，PFAC AD平分BAC（到角两边距离相等 的点在这个角的平分线上）,（错）,（5）如图 PEAB，PFAC，PE = PF 点P在BAC 的平分线上（到角两边 距离相等的点在这个角的平分线上）,（对）,1.角平分线的性质定理： 在角平分线上的点到角的两边的距离相等,2.角平分线的性质定理的逆定理： 在角的内部，到一个角的两边的距离相等的点，在这个角平分线上。,4.角平分线的性质定理是证明角相等、线段相等的新途径.角平分线的逆定理是证明点在直线上(或直线经过某一点)的根据之一.,3.性质定理和逆定理的关系 点在角平分线上 点到角两边的距离相等,总结归纳,1、已知：如图1，ABC的角平分线BM、CN相交于点P.,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等.,定理;三角形的三条角平分线相交于一点， 并且这一点到到三条边的距离相等。,求证：P在A的平分线上,2 已知：如图2，PB、PC分别是ABC的外角平分线， 相交于点P.,3、如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P。,小区C,P,例题：（2011泰州）在平面直角坐标系xOy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限 求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P都在AOB的平分线上；,回味无穷,一.定理 角平分线上的点到这个角的两边距离相等. 二.逆定理 在一个角的内部,且到角的两边距离相等的点,在这个角的平分线上.,三.遇到角平分线的问题,可以通过角平分线上的一点向角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理,今日作业,1、如图,在ABC中,已知AC=BC,C=900,AD 是ABC的角平分线,DEAB,垂足为E.,(1)如果CD4cm，AC的长,(2)求证:ABACCD.,2 .在ABC中，B=C，点D为