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弧度制【教材分析】： 人教版普通高中课程标准实验教科书数学（A版）必修4第一章第一单元第二节。本节课起着承上启下的作用：在前面学生在初中已经学过角的度量单位“度”并且上节课学了任意角的概念，学生已掌握了一些基本单位转换方法，并能体会不同的单位制能给解决问题带来方便。本节课教学任务让学生通过比较自主体验角度制与弧度制的异同，领会弧度制的优点；使学生明白弧度制与角度制都是角的度量方法，是相互联系并可以转化的，学会用联系的观点看待数学知识。【教学目标】 1 知识与技能 (1) 了解角的集合和实数集R之间可以建立起一一对应的关系；(2) 理解弧度的意义,掌握弧度制和角度制的换算；(3) 掌握弧度制下的弧长公式,会利用弧度解决某些简单的实际问题。2 过程与方法(1) 培养学生通过探究已学知识，发现新知识的能力；(2) 进一步学习辩证统一的数学思想方法。3 情感态度与价值观(1) 感受数学中表示的多样性；(2) 体会探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。【教学重点】 理解弧度的意义，能正确地进行角度制与弧度制的换算。【教学难点】 弧度制的概念与角度的关系。【教学方法】 创设情境、引导探究、讲练结合【教学过程】 一 创设情境 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制-弧度制.在角度制下，当把两个带着度、分、秒各单位的角相加、减时，由于运算进率非十进制，总给我们带来不少困难。那么我们能否选择新的角单位，使在该单位制下两角的加、减运算与常规的十进制加减法一样去做呢？这就是我本节课学习的弧度制。二 尝试探究1.角度制怎么规定.将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.2 弧度制的的定义：弧度制是什么？1弧度是什么意思？请看课本P6-P7页。 结论：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写). 3.在弧度制的定义中，我们是用弧长与其半径的比值来反映弧所对的圆心角的大小的，为什么可以用这个比值来度量角的大小呢？这个比值与所取得圆的半径的大小有没有关系？请学习课本P12-P13页。结论：由初中所学弧长公式：所以，这表明以角为圆心角所对的弧长与其半径的比值，与所取得半径无关，之与角的大小有关。4.半径为r的圆的圆心与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B.请在下列表格中填空。弧的长旋转的方向的弧度数的度数逆时针方向1800逆时针方向23600逆时针方向57.50顺时针方向-1150r顺时针方向-18000逆或顺时针00r逆时针方向2r逆时针方向23600结论：我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-，-2等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定.5. 的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少? 结论：角的弧度数的绝对值是：，其中，l是圆心角所对的弧长，是半径. 角的正负主要由角的旋转方向来决定 注意：在应用公式求圆心角时，其结果是圆心角与弧度的绝对值.在物理学中计算角速度经常用到它，它的正负主要由角的旋转方向来决定；这个公式可变形为，在应用这两个公式时，如果已知的角以“度”为单位，应先把它们化成弧度数后再计算.可以看出，这些公式各有各的用处.6.一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？结论：因为圆周的弧度数是2，而在角度制下的度数是360，所以：3600=2rad，1800=rad，10=（/180）rad0.01745rad.反过来有1rad=（180/）057.300=57018. 一般地，我们可以根据如图所示的公式进行角度与弧度的换算.数等于这个实数的角）与它对应.三 综合练习与思考探索练习一：（教材例1、2、4）例1、按照下列要求,把化成弧度:精确值；精确到0.001的近似值.例2、将3.14换算成角度(用度数表示,精确到0.001).结论：角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一看出，这些公式各有各的用处.填写下列特殊角的度数与弧度数的对应表：度003004501200，1350，15003600弧度说明：一些特殊角的弧度数，大家要熟记，免得每次与到都要去进行换算。例4、利用计算器比较sin1.5和sin850的大小.注意:角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算器计算非特殊角的方法.练习二：教材第9页练习1、2、3、4、5.注意：弧度制和角度制不能混用. 四 学习小结（1）你知道弧度制是怎样规定的吗？（2）弧度制与角度制有何不同，你能熟练做到它们之间的转化吗？有了弧度制，实现了角度与实数集合之间的一一对应，弧度制的引入，使得有关公式表达式简单，运算为常规的十进制。五 作业1、必做题：习题1.1A组6、7、8、9、10；2、选做题：习题1.1B组1、2、3.六 教学反思 从初中的角度制到高中的弧度制，从初中单一用角度制来度量角的大小，到高中既用角度制又用弧度制，二者并用度量角的大小，这对学生的认知结构来说无疑使一次调整。本节通过创设情境英里与海里的转化，使学生自然流畅地接受角的新的度量制-弧度制，在整活动的个教学活动中教师是活动的主导，学生是活动的主体。学生通过自主的尝试体验、尝试探究，在感知的基础上深入揭示知识的内在联系，从而获得新知识，提高能力。这样的自主活动充分体现了学生的主体作用，有利于学生观察、分析、综合等能力的提高，有利于学生对知识的内化。7.2 数学命题的教学设计案例在数学中，用来表示数学判断的陈述句与符号的组合叫做数学命题。它们揭示了从现实世界的空间形式和数量关系中抽象出来的一般规律。由于正确的数学命题一般包括公理、定理、公式、法则等，因此，数学命题的教学，主要指数学公理、定理、公式、法则的教学。按照现代教育原理和心理原则，在数学教学中，不宜由教师直接给出定理的现成内容，而是应该启发学生，通过实验、观察、演算、分析、类比、归纳、作图等步骤，自己探索规律，建立猜想，发现命题。余弦定理教材分析：“余弦定理”是人教版普通高中课程标准实验教科书数学必修5教学内容之一，是解决有关斜三角形问题的两个重要定理之一，也是初中“勾股定理”内容的直接延拓，它是必修4三角函数一般知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。本节课是正弦定理、余弦定理的第二节课，其主要任务是引入并证明余弦定理，在课型上属于“定理教学课”。布鲁纳指出：学生不是被动的、消极的知识的接受者，而是主动、积极的知识的探究者。教师的作用是创设学生能够独立探究的情境，引导学生去思考，参与知识的获得过程。因此，做好“余弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识，使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且能培养学生的应用意识和实践操作能力以及提出问题、解决问题等研究学习能力。【教学目标】知识与技能：（1）掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法；（2）会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。过程与方法: 从多角度、采取多种方法推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。情态与价值：（1）培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；（2）通过解直角形、三角函数、余弦定理、向量的数量积及坐标运算等知识间的关系，理解事物之间的普遍联系与辩证统一。【教学重点】 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用【教学难点】余弦定理的发现及证明【教学过程】1. 创设情境（多媒体投影）如图，自动卸货汽车的车厢采用液压机构。设计时需要计算油泵顶杆BC的长度，已知车厢的最大仰角为600，油泵顶点B与车厢支点A之间的距离为1.95m，AB与水平线之间的夹角为,AC的长为1.40吗，计算BC的长？2. 提出问题师：大家想一想，能否把这个实际问题抽象为数学问题？生：能，在三角形ABC，已知求BC的长？师：能用正弦定理求解吗？为什么？生：不能。正弦定理主要解决：已知三角形的两边和一边的对角，求另一边的对角；已知三角形的两角和一边，求角的对边。师：这个问题的实质是什么？生：在三角形中，已知两边和它们的夹角，求第三边。（一般化）三角形ABC，知AC=b,BC=a,角C,求AB.3.解决问题师：请同学们想一想：我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？生：先从特殊图形入手，寻求答案或发现解法。（特殊化）生：可先在直角三角形中试探一下（图一）师生：在直角三角形中（勾股定理角C为直角）。斜三角形ABC中，过A做BC边上的高AD,将斜三角形转化为直角三角形（联想构造）师：垂足D一定在边BC上吗？生：不一定，当角C为钝角时，点D在BC的延长线上。 （分类讨论，培养学生从不同的角度研究问题）师生：在锐角三角形ABC中，, 在直角三角形ADC中，AD=ACsinC,CD=ADcosC 即AD=bsinC,CD=bcosC 又BD=BC-CD,即BD=a-bcosC同理： 师：大家思考一下：如果是钝角三角形，该如何做辅助线？如何证明？生：思考并完成证明过程。师：大家回想一下：在证明的过程易出错的地方是什么？生：思考回答：4.反思应用师：同学们通过自己的努力，发现并证明了余弦定理，余弦定理揭示了三角形中任意两边与夹角的关系，请大家考虑一下，余弦定理能解决那些问题？生：“知三求一”。即已知三角形的两边和它们的夹角，可求另一边；已知三角形的三条边，求角。余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方平方的和减去者两边与它们夹角的余弦的及的两倍。 或师：请同学们余弦定理解决本节课开始的问题。生：解：由：余弦定理，得师：大家回想一下，三角形中有六个元素，三条边及三个角，知道其中任意三个元素，是否能求出另外的三个元素？生：不能，已知的三个元素中至少要有一个边。师：解三角形时，何时用正弦定理？何时用余弦定理？生：已知三角形的两边与一边的对角或两角与一角