第二章自测题答案.pdf

湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料陈以平编写第二章自测题答案第二章自测题答案1.设可微，则求解方程的牛顿迭代格式是_.)(xf)(xfx答案:)(1)(1nnnnnxfxfxxx2.用二分法求非线性方程f(x)=0在区间(ab)内的根，则二分n次后的误差限为_.答案:12nab3.设函数f(x)在区间ab上连续，若满足，则方程f(x)=0在区间ab一定有实根.答案：f(a)f(b)1；不收敛1湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料陈以平编写8.为求方程附近的一个根，设将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式，试分析每种迭代公式的收敛性.320101.5xxx在1）211xx迭代公式2111kkxx2）231xx迭代公式2311kkxx3）211xx迭代公式111.kkxx解：32321.41.410.21601.51.510.12501.41.5为有根区间。223321221)11()11()0.7311.411kkxxxxxxxx迭代公式收敛。223322233231121.52)1()1()12(11.0)0.631331kkxxxxxxxxx（）迭代公式收敛。332221111(1.51)3)()()(1)1.4112111kkxxxxxxxx2迭代公式发散。9.方程在3221020 xxx01x附近有根，试建立收敛的简单迭代格式.解：令则32()21020fxxxx(1)70(1.5)2.87500ff又当时，故方程在11.5上存在唯一根.11.5x()0fx将原方程改为220210 xxx则迭代函数220()210 xxx因为22224040401.540()111.5(210)(1.521.510)xxxxx故迭代格式122021kkkxxx0收敛.10.构造求方程的根的迭代格式0210xex210)(1nxxnn，并讨论收敛性.解：将方程0)(xf变形为)e2(101xx，得迭代格式)e2(1011nxnx因对成立210e)(xxfx01018()()ff0e且010e)(xxf)(，对x成立，故0)(xf在01内有唯一实根.又当时，)e2(101)(xx，110e10e|)(|10xxx故迭代格式)e2(1011nxnx收敛.2湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料陈以平编写11.给定方程01e)1()(xxxf1)分析该方程存在几个根；2)用迭代法求出这些根，精确到5位有效数字；3)说明所用的迭代格式是收敛的.解：1）将方程（1）01e)1(xx改写为（2）xxe1作函数，的图形（略）知（2）有唯一根.1)(1xxfxxfe)(2)21(x2)将方程（2）改写为xxe1构造迭代格式5.1e101xxkxk)210(k计算结果列表如下：k123456789xk1.223131.294311.274091.279691.278121.278561.278441.278471.278463)因，xxe1)(xxe)(当时，21x21)1()2()(x，且1e|)(|1x所以迭代格式)210()(1kxxkk对任意210x均收敛.12.试构造迭代收敛的公式求解下列方程：（1）4sincosxxx(2).xx24解：（1）迭代公式1cossin4kkkxxx因cossin()4xxx，sincos21()1442xxx，故公式收敛.（2）设()42xfxx则(1)0(2)0ff故有根区间为1，2.因()42()2ln22ln21.368291xxxx故不能用142kxkx来迭代求解.若将原方程改写为此时ln(4)ln2xx()ln(4)ln2xx11111()14ln242ln22ln2xx故可用迭代公式1ln(4)ln2kkxx来求解13.已知()xx在区间内只有一根，而当abaxb时，()1xk试问如何将()xx化为适于迭代的形式？试将xtgx化为适于迭代的形式，并求（弧度）附近的根.4.5x3湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料陈以平编写111111()()1()1()1.()()()()(01)kkxxxkxxxxxxxxk解：由反函数微分法则有故当时，有若将改写为则迭代格式是收敛的.为求方程xtgx在（弧度）附近的根，改写方程为：4.5xxarctgx得迭代格式：1kkxarctgx(5)04.454.504.454.49341.xx用搜索法知在内有根，取迭代，14.证明计算)0(aa的牛顿法迭代公式为：10)(211nxaxxnnn并用它求2的近似值（迭代步求出即可）1x解（1）因计算a等于求的正根，令，则02axaxxf2)(xxf2)(代入牛顿法迭代公式得)(21221nnnnnnxaxxxxx10n(2)设，因2)(2xxf0121)1(2f025.1)5.1(2f所以5.112x在上，5.1102)(xxf02)(xf由，取15150(.)(.)ff5.10x用（1）导出的迭代公式计算得4167.11217)2(21001xxx15.应用牛顿法于方程，试导出求)0(0aaxnnax的迭代公式解：令，则axxfn)(nax为方程的根，且0)(axxfn1)(nnxxf故求nax的牛顿迭代格式为111)11(nkknknkkknxaxnnxaxxx.因为，由的连续性知，在点的邻域内存在一点0，使，又取，则.在上，不变号，取初始值满足，则牛顿迭代序列收敛于的根，即0)0(af0)x2)1()nxnnaxxfn)()(xf)1(a0(xLx1nnx(Lxf(xfR0)(Rxf0 xRLxx)()00 xf0)(xf0fnax16.16.建立利用方程30 xc求3(0cc)的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性.解：牛顿迭代格式为：23231323)()(kkkkkkkkkxcxxcxxxfxfxx因为，由的连续性知，在点的邻域内存在一点0，使，又取，则.在上，不变号，取初始值满足，则上述牛顿迭代序列收敛于的根.00()fc0)06)xx3()fxx)(xf10)0Lx32x(Lxf(f0Rxc0c0)(Rxf0 x(xfRLxx0)(0x0)(xff4湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料陈以平编写17建立利用方程20cxx求3(0cc)的Newton迭代格式，并讨论算法的收敛性.解：牛顿迭代格式为：cxcxxcxcxxxfxfxxkkkkkkk2321)()(3321令2()cfxxx，因为当时，0x021)(3xcxf，所以3210()cfcc故上述Newton迭代产生的迭代序列局部收敛于3c.18.18.利用法导出求下列各式值的迭代格式:Newton(1)b1不使用除法运算(2)b不使用开方运算(3)b1不使用开方和除法运算.解:(1)令bxxf1)(方程0)(xf的根就是.b1又因此求2)(xxf0)(xf的根的格式为Newton222121kkkkkkkkkbxxbxxxxbxxx(2)因的根就是0)(2bxxfb，而xxf2)(所以求根的迭代格式为0)(xfNewton)(21221kkkkkkxbxxbxxx（3）方程01)(2bxxf的根就是bx1，而32)(xxf因此求的根的格式为:0)(xfNewton2313115052.kkkkkbxxxxbxkx19写出求解方程1()10fxx的Newton迭代格式并判断以下情形的收敛性.（1）；（2）002xx或00002xx或；（3）002x.解：牛顿迭代格式为：2212111)()(kkkkkkkkkxxxxxxfxfxx)210(k由上述格式得kxxxxxkkkk20221)1()1(211)210(k即)1(120kxxk5湖北民族学院理学院数值计算方法教学辅导材料陈以平编写（1）当，故迭代序列不收敛；0020 xx或时1|1|0xkxk20)1(limkx（2）当，0020 xx或时1|1|0x，0limkkx，迭代序列收敛，但不收敛于方程的解；kx（3）当时，1，从而01，迭代序kx收敛，且收敛于方程的解.200x|1|0x)1(lim20kxk，列limkkx20.写出用弦截法求方程x3x210在x1.5附近的根的迭代公式.解解设f(x)x3x21，因为f(1)10，f(2)30，所以1，2为f(x)0的有根区间.取x01，x12.迭代格式：111()()()kkk