毕业论文-《盗梦空间》中的数学原理.pdf

1本科毕业设计（2013届）届）题目：盗梦空间中的数学原理学生姓名：陈耿学号：题目：盗梦空间中的数学原理学生姓名：陈耿学号：200941410125院（系）：计算机学院专业班级：院（系）：计算机学院专业班级：09信息与计算科学指导教师：熊辉副教授起止时间：信息与计算科学指导教师：熊辉副教授起止时间：2013年年3月月2013年年6月月2盗梦空间中的数学原理盗梦空间中的数学原理摘要：摘要：盗梦空间被称为一部“发生在意识结构内的当代科幻动作片”，其中有许多情节看似不合逻辑，但实际上，剧本作者把剧情建立在非欧空间的基础上，并用严谨的数学逻辑把我们带进梦境迷宫。本文介绍非欧几何学分形等学科历史发展及其应用，并运用其解释无限楼梯和迷宫的构造原理建立陀螺的公理体系以及学习作者的不可知论思想，还原了剧本的严谨性和科学性，证明剧本结构的完整性。关键词：关键词：盗梦空间非欧几何分形不可知论3ThemathematicalprincipleofInceptionAbstract:Inceptionisreferredtoasacontemporarysci-fiactionfilmwithinthestructureofconsciousness.Maybemanyplotsseemillogicalbutinfactthescriptofthestorywascreatedonthebasisofnon-Euclideanspaceandistryingtobringusintoadreammazewitharigorousmathematicallogic.Thearticlentrouducesthenon-Euclideangeometryfractalhistoryofthesubjectsuchasthedevelopmentofitsapplicationandtheuseofitsinterpretationandistryingtoexplainunlimitedstairsandfundamentalsofthestructureofthemazegyroaxiomsystemofagnosticismthoughtwhichhelpstorestorescriptrigorousscientifictoprovetheintegrityofthescriptstructure.Keywords:Inception(Piratesofthedreamspace)Non-EuclideangeometryFractalAgnosticism4目录一引言一引言.55（一）术语解释（一）术语解释.5（二）影片简介5（二）影片简介.5（三）研究意义5（三）研究意义.55二无限的楼梯与迷宫构造二无限的楼梯与迷宫构造.66（一）场景简述（一）场景简述.6（二）非欧几何6（二）非欧几何.66三陀螺的公理体系三陀螺的公理体系.1212（一）公理体系（一）公理体系.12（二）验梦的陀螺公理12（二）验梦的陀螺公理.1212四梦中梦与镜中镜四梦中梦与镜中镜.1313（一）分形（一）分形.13（二）13（二）matlab绘制简单的分形图案绘制简单的分形图案.14（三）分形的迷宫14（三）分形的迷宫.1414五不可知论的魔盒五不可知论的魔盒.1414（一）不可知论（一）不可知论.15（二）用15（二）用“不可知论不可知论”的观点来看故事结局的观点来看故事结局.15（三）结局外的不可知论15（三）结局外的不可知论.1616六总结与展望六总结与展望.17参考文献17参考文献.17附件：17附件：.18致谢18致谢.20205一引言一引言（一）术语解释（一）术语解释植入：给某人灌输某种思想并使其信服，也就是“洗脑”。图腾：指某一物体或事件具有特别的象征象征意义，影片用陀螺能不停的旋转这一事件象征某人处于梦中，否则人处于现实世界。穿越：指从一空间到另一空间，影片指人在不同梦境或现实穿行，例如，现实到梦境就是一次穿越。潜意识边缘：迷失在某一梦境的深处，需要借助一定方法才能返回现实。联梦机：联通彼此梦境的一种仪器，即cobb等人的造梦工具。（二）影片简介（二）影片简介在一次盗梦的行动中，由于地毯的细节处理不好，导致失败。Saito(盗梦行动的对象)为达到拆分商业对手（Fisher的父亲）的目的，以帮助cobb（盗梦人）结束流浪生涯为条件，让其对竞争对手的继承人Fisher造梦。Cobb权衡各方利益，最终答应Saito条件。但由于cobb自身的潜意识存在缺陷，须借助他人的帮忙方能完成造梦的任务。最终在岳父Miles等人的帮助下，造梦队伍得以建立。至此，一场跌宕起伏的梦中大战就此展开1。（三）研究意义（三）研究意义人类社会已经进入数字时代，随着科技的发展，越来越多的导演追求视觉效果，制造感觉奇观，这在一定程度上导致故事情过于简单，影片内容不能引起人们思考，略显单薄。盗梦空间的非线性结构开启了一个全新的电影语言的大门，影片中暗含了许多数学知识，其实剧情里面大多数假设和现象我们都可以用现代数学中的几何理论去加以解释。影片在刺激我们的视觉同时，把我们引进导演的数学世界，不断冲击我们的思维，为我们演绎一道道结构严谨的证明式。在6欣赏电影，我们不禁感叹作者设置之巧妙，谋篇之严密。同时，通过对影片中的数学原理的理解，我们深切地体会数学不仅拥有真，而且拥有非凡的美。启示我们用数学眼光去发现自然的美，感受数学的真，从而激发对数学的兴趣，也为电影的发展提供了重要的借鉴意义。二无限的楼梯与迷宫构造二无限的楼梯与迷宫构造（一）场景简述（一）场景简述为了让Ariadne设计能将敌人永远地困在梦中的迷宫，Cobb的助手Arthur向Ariadne演示了一个无限的楼梯，楼梯共有四段，每一段都是向上，形成一个封闭的死圈。（如下图）利用相似的原理，Ariadne设计一个圆形的迷宫，把cobb困住了。那么无限的楼梯是怎么回事，它在现实中是否正在的存在？迷宫又是怎么回事？要回答以上的问题，就必须对非欧空间有所了解。（二）非欧几何（二）非欧几何1非欧几何的历史非欧几何的历史什么是非欧几何呢？让我们从欧氏几何讲起。公元前3世纪初，数学家欧几里得在实践活动和参阅前人文献成果等的基础上，用演绎法构造了平面几何原理7体系，即我们所说的“欧氏几何”其中罗列了的五条基本公理，其中前4条由于容易理解，所以广泛被当时的数学家所接纳承认，但是，第5条平行公理不仅描述有别于前四条，而且所讲述的内容比较难理解，这引起了数学家的争议。因此，某些数学家尝试用前面的四条公理去推导，看是否能得到公理五，但是都失败了。由于得不到证明，第五公理成为欧式几何体系的唯一“争议点”，时间就在数学家的争论和努力中推进了2000多年。到了1792年，高斯意识到无逻辑矛盾的几何存在，在其中，平行公理（即欧式几何第五公理的一个等价命题）是不成立的，这时非欧几何的思想初步诞生。虽然高斯对非欧几何思想有卓越的认识并在相关文献有具体提及，但由于种种原因，高斯并没有发表关于这些文献。此时，非欧几何还没有得到广泛的发展。直到1829年，罗巴切夫斯基的论几何学的原理基础出版，非欧几何的思想才得到确认2。随着研究的深入和科学的发展，人们建立更大意义上的几何学，而且人们还发现非欧几何理论对物理的现象的解释很合理，进而推动现在物理学的发展。然而爱因斯坦的广义相对论出现，人更加确定非欧思想有其现实意义。因为某些宇宙物理现象，用欧式几何根本解释。例如，黑洞等强引力场附近的某些怪异现象。但由于这些现象我们极少有机会接触到，所以一般人在潜意识里面还是比较接受欧式几何的思想和理论，而对非欧思想的认识是比较少的2。2非欧空间（非欧空间（1）几何空间两大分类）几何空间两大分类欧式空间：由经典的平面、直线和点构成。非欧空间：由广义的平面、直线和点构成，一般是指罗巴切夫斯基几何（即双曲几何）和黎曼几何（即椭圆几何），我们把非欧空间命名为流行（manifold）它全部的性质又称为拓扑性质，如果我们把如果把流行和欧式空间做比较，其实就是局部相似，而全局不同，倘若我们从非欧空间截取一段，然后再从欧式空间中截取一部分，两者做对比，我们会发现，它们是非常相似的，好比一维非欧空间是圆，而一维欧式空间是直线若圆的半径比较大，又或者线段比较短的话，我们可以认为两者在本质上是一致的，如果要想明白两者之间区别的话，那就需要对欧几里德的几何原本中提到的五条公社（同一平面内一条直线和另外两条8直线相交，如果其中的一侧的两个内角和小于两直角的话，那么这两条直线将无限延长而且在这一侧相交）有所认识3。欧式空间：在一个平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行3。罗氏几何：过直线外的某一点，至少可以做两条直线和这条直线平行3。例：在一个圆内，一条弦AB在圆内一点C，C不在AB上，则过C可以做无穷多条线段和AB不相交，倘若有一个半径无穷大的圆，则此时AB就是一条直线，因为这个圆无穷大则可以过C可以做无穷多条直线和AB不相交平行，所以结论得证。黎氏几何：过直线外一点，不能做和已知直线平行的直线。例：定义：球面上的大圆（所在平面过球心）叫做直线。由于平面经过球心的两段圆弧必相交，即任意两条直线必相交，所以不存在两条直线平行，因此我们可以得到这样一个结论：过已知直线a外一点做一条直线，必然会与直线a相交。9（2）三种几何学的对立统一性）三种几何学的对立统一性高斯从曲率的观点出发，把欧式几何罗氏几何和黎曼几何统一起来。曲率：是针对曲线上某个点的切线方向角对弧长的转动率，通过微分来定义，表明曲线偏离直线的程度，曲率越大，表示曲线的弯曲程度越大4。若我们都用实数K去定义曲面S的各点，并在其上面任作一个测地三角形，设其三个内角分别为1，2，3，测地三角形面积为E，则有：内角和=1+2+3=+KE定曲率曲面上的几何学由曲率K决定：K0，内角和大于180度，为黎氏几何；K=0，内角和等于180度，为欧式几何；K0，内角和小于180度，为罗氏几何；三种几何都具有相对真理性，即都只在一定范围内才可描述物质空间的某些象。综上可得下表：（3）绘画中的非欧几何）绘画中的非欧几何10人是在画中还是在画外？这幅画把庞加莱的双曲几何模型深刻展现在我们的面前!要完全弄懂这幅画的思想，我们要把自己置身于图像的内部。当我们视线从画的中心往图像的边缘转移时，你会发现画中的鱼在变小，而画的内部空间却在变大，造成一种无限空间的错觉，而实际上，你视线始终在双曲线空间的内部，你只有看到无数的小鱼11后，才能看清图像的边缘。这正是这幅画构思的奇妙之处，也是非欧几何思想的具体体现5。人在画廊里面吗？（4）非欧空间里的楼梯与迷宫）非欧空间里的楼梯与迷宫因为现实世界不具备最高点和最低点在同一高度的条件（简单的说，就是首尾链接在一起），所以影片中的无限的楼梯在现实中是无法建造的。然而非欧空间由于空间的弯曲，却具备这样条件，但其意义已有所不同，在非欧空间里，虽然还有向上和向下的方向，但是它代表的不是高度的增减，而是代表才两个不同的方向画圈。其实，作者的无限的楼梯取材于画家埃舍尔著名的旋转楼梯，它用高超的绘画艺术为我们展示逻辑上的悖论，体现作者的非欧数学观。要怎么设计迷宫，才能将敌人困在梦里你？答案还是非欧空间。一个造梦师如果要想一个人困住，就要让恍惚置身与一个封闭的空间。我们可以把梦境里的人想象成为一个虫子，如果梦境是欧式空间，即一个平面，你最多能设计一个很大的圆。尽管理论上，圆可以无限延伸，但由于梦境的时间被拉伸，这就好比一个无限除以无限问题，答案将很难给定，但存在小虫跑出空间的可能。但是倘若我们把迷宫设置为一个非欧式空间，就比如是球面，小虫跑出去的几率将会为零。12就好像是无限楼梯上的人一样，不停在绕圈，却始终到达不了目的地。因此，梦境迷宫应建立在非欧空间，可利用生存空间的“有界无边性”来构造。三陀螺的公理体系三陀螺的公理体系在影片里面，cobb一直在问：究竟现实是什么？有何标准？何为真实？其实这就是公理体系的问题。（一）公理体系（一）公理体系数学上，一个公理系统（或称公理化系统，公理体系，公理化体系）是一个公理的集合，从中一些或全部公理可以用来一定逻辑来导出定理，一个数学理论由一个公理系统和所有它导出的定理组成，一个完整描述出来的公理系统是形式系统的一个特例，但是通常完全角试化的努力带来在确定性上递减的收益，并让人更加无法阅读，所以，公理系统的讨论通常只是半角试化的一个形式化理论通常表示一个公理系统，简而言之，就是当我们认为一个定理是正确的话，就可以说这个定理由哪些公理或者公设推导出来，当然，前提是你已经接受了一个公理体系，例如，我们只有接受了欧式体系，才会承认欧几里德几何学的一些定理和定义是正确的6。（二）验梦的陀螺公理（二）验梦的陀螺公理从公理体系的角度出发，我们来体验以下作者的陀螺公理体系：验梦的陀螺公理：陀螺在现实中会倒，梦中则不会。为什么梦中的陀螺不会倒下？倘若我们能把梦中想象成一个非欧空间的话，那么我们就可以找到一种可能的解答。弯曲的空间不仅会产生几何上的逻辑悖论，而且还会产生生物理上的逻辑悖论。譬如，上文所提及的无限楼梯，一个人实际上是在绕圈，但你却可能认为他在向上走，同理，陀螺其实已经停止转动了，但你却认为它还在旋转。推论：当进入一个的时候，无法判别是谁的。人在梦里也可以主观的说谎。如果不用陀螺去判断，醒来的时候，可能是回到现实（梦境的的上一层），13也可能回到更大的梦（下一层梦境）。四梦中梦与镜中镜四梦中梦与镜中镜场景：Ariadne和Cobb走在街上，经过某一地方，Ariadne拉出两面镜子并把它们固定在四根柱之上，使其彼此相向，于是镜子里出现无数的Cobb镜像，而且离镜子里越远的像越小，但不论多小，它还是Cobb的样子。（如下图所示）。这种现象我们在数学上称为分形。（一）分形（一）分形分形通常被定义为“一个粗糙或零碎的几何形状，可以分成数个部分，且每一部分都（至少近似地）是整体缩小后的形状”，即具有自相似的性质，分形思想的根源可以追溯到公元17世纪，而对分形使用严格的数学处理则始于一个世纪后卡尔魏尔施特拉、格奥尔格康托尔和菲利克斯蒙斯多夫对连续而不可微函数的研究，但是分形（fractal）一词一直到1975年才由本华曼德博创造出来的，来自拉丁文fractus，有“零碎”、“破裂”之意，一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一种基于递归的反馈系统，分形有几种类型，可以分别依据表现出的精确自相似性、半自相似性和统计自相似性来定义，虽然分形是一个数学构造，它们同样可以在自然界中被找到，这使得它们被划入艺术品的范畴，分形在医学、土力学、地震学和技术分析中都有应用6。14（二）（二）matlab绘制简单的分形图案绘制简单的分形图案Koch曲线（三）分形的迷宫（三）分形的迷宫其实，我们在忽略一些悖论的情况下，我们可以把梦境看成现实的一个分形，又因为分形可以产生分形，于是故事的结构就如同上述的镜中镜一样，会产生梦中梦中梦中梦。而其中某个分形（即某个梦境），由于与现实（开始分形）有相似性，所以在忽略细节情况，梦中情况跟现实比较相似的。五不可知论的魔盒五不可知论的魔盒故事的结局，在一张餐桌上，陀螺在旋转着，但是它是否会停止？答案许多15种，而且都难辨真假，究其原因是梦中梦现象有类似于分形的逻辑结构，影片作者巧妙把开头和结尾构造为同一情景，使故事情节构成了一个循环，让人难以捉摸，其实作者已经悄悄地打开不可知论的魔盒。（一）不可知论（一）不可知论不可知论，或称不可知主义，是一种哲学观点，认为形而上学的一些问题，例如是否有来世、天主是否存在等，是不为人知道或者根本没有办法知道的想法或理论，不可知论包含着宗教怀疑主义，不像无神论一样否定神的存在，只是认为人不能知道它存在，认同不可知论的人认为人不可能得到真理，他们通常被看作是非宗教、世俗的，但是不一定没有信仰，例如，“鸡生蛋，蛋生鸡”就是所谓的不可知论的最常见的例子了，他们单独来看是正确的，但只要你稍微思考一下，深入探讨一下，便会发现对先有鸡还是先有蛋的问题进行深入的认识，其实，在人类的史上也有不少的科学巨匠都有不可知论的思想，就比如，我们熟知的牛顿体系中的第一推动力等7。鉴于时间的关系，这里就不一一进行探讨了。（二）用（二）用“不可知论不可知论”的观点来看故事结局的观点来看故事结局我们从陀螺发理体系公出发，来对最后的可能结局进行推导。以下是故事的情节：:Cobb构造一个两层的梦对Saito进行盗梦，但由于地毯细节处理不好导致。:Saito出于商业的考虑，以帮助Cobb结束流浪生涯为条件，威逼利用其植梦竞争对手的儿子Fisher，以到达瓦解对手商业王国的目的。:由于妻子Mal的原因，cobb的潜意识里存在不可自控部分，须借助他人帮助才能更好完成造梦任务。Cobb求助于岳父Miles，在其帮助下组建了新的盗梦团队，并开始为盗梦做准备。:在飞机上加装巧遇Fisher，并对其植梦，构造四层梦。:由于准备不充分，梦境险像丛生，Saito在梦里意外死亡，进入迷失域，cobb和Ariadne为完成任务被迫进入第五层梦。:为救出，cobb在第五层中没选择堕落，因而也进入迷失域。16:在迷失域，cobb遇到Saito，通过陀螺让Saito确信自己身在梦境之中，最后Saito醒了。:盗梦行动结束，cobb回家与小孩团聚。故事情节如果按上述的叙述展开，那么cobb最终是回到了现实世界，剧情也合乎常理，但是在电影中却得不到验证。因此有些人这样认为，这一系列的剧情其实都是cobb做的一个梦而已。在对Saito盗梦失败后，cobb想办法摆脱了Saito纠缠，最终飞回家，但在飞机上由于各种因素，cobb做了一个很离奇的梦，于是有了后面的剧情，致此，剧情的解释似乎也合情合理。但是又有提出不同看法，他们认为cobb确实是在飞机上做了一个很大的梦，但是他最终做完梦并且回到家中与孩子团聚了。其实，因为分形的故事逻辑结构，可能存在很多的不确定性，因此就有各个版本的结局，而我们在分析故事的情节时候，只要有一步不确定，情节就会出现真假两种结果。遇到这种情况，我们可以用一个新逻辑去看，也可以将基本假设推翻，那么得到的结果就会不一样，而这一切取决于你的假设。但问题在于假设本身的真假是不可证明的。例如：欧式空间和非欧空间的主要区别在于对第五公设的观点。但从一定范围上看，它们都是真的，但总体上看，却会导致不可知性。因此，故事的结局会有很多个版本，究其原因就是作者从不知论的角度出发，为我们展现一场视觉和几何艺术盛宴。（三）结局外的不可知论（三）结局外的不可知论梦境是谁的梦？Fisher在第二层梦已觉察盗梦的存在，后面的剧情会不会Fisher为了逃脱而故意为之？假设想法是可以被植入到人的头脑里的，并且通过一些方法可以诱导一些新想法的产生，那么我们的想法是被人植入的，还本来就是自己的，或者是被所植入的想法诱导的呢？其实，上述的问题，我们都很难完整回答，因为它们都是不可知论的一些具体的体现，假设不同，结果就会不同。因时间有限，此处就不做深究。17六总结与展望六总结与展望通过本次毕业设计，我加深了对剧本数学原理的理解。同时，我衷心佩服作者丰富的数学知识和严密的数学逻辑，也对数学非凡的美有了更感性的认识。此外，我还对非欧几何分形几何和不可知论等有初步了解，为日后进一步学习与工作打下基础。从不可知论的学习，我还懂得，看待一件事情，如果从某个角度看，它可能是对，但从另一角度看则不然，因此，待人待物要持一个包容的心态，这有利于事物朝好的方向发展。参考文献参考文献1克里斯托弗诺兰，盗梦空间，2010.7.2朱俊明，中的数学原理，百科知识，2010.11；3JJOConnorandEFRobertsonHistorytopicNon-Euclideangeometry4百度百科，18附件：附件：程序1:p=00100%P为初始两个点的坐标第一列为x坐标第二列为y坐标n=2%n为结点数A=cos(pi3)-sin(pi3)sin(pi3)cos(pi3)%旋转矩阵fork=1:4d=diff(p)3%diff计算相邻两个点的坐标之差得到相邻两点确定的向量%则d就计算出每个向量长度的三分之一与题中将线段三等分对应m=4n-3%迭代公式q=p(1:n-1:)%以原点为起点前n-1个点的坐标为终点形成向量p(5:4:m:)=p(2:n:)%迭代后处于4k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标p(2:4:m:)=q+d%用向量方法计算迭代后处于4k+2位置上的点的坐标p(3:4:m:)=q+d+dA%用向量方法计算迭代后处于4k+3位置上的点的坐标p(4:4:m:)=q+2d%用向量方法计算迭代后处于4k位置上的点的坐标n=m%迭代后新的结点数目endplot(p(:1)p(:2)%绘出每相邻两个点的连线axis(010010程序2:p=00100%P为初始两个点的坐标第一列为x坐标第二列为y坐标n=2%n为结点数A=0-110%旋转矩阵fork=1:4d=diff(p)3%diff计算相邻两个点的坐标之差得到相邻两点确定的向量%则d就计算出每个向量长度的三分之一与题中将线段三等分对应m=5n-4%迭代公式q=p(1:n-1:)%以原点为起点前n-1个点的坐标为终点形成向量p(6:5:m:)=p(2:n:)%迭代后处于5k+1位置上的点的坐标为迭代前的相应坐标p(2:5:m:)=q+d%用向量方法计算迭代后处于5k+2位置上的点的坐标p(3:5:m:)=q+d+dA%用向量方法计算迭代后处于5k+3位置上的点的坐标p(4:5:m:)=q+2d+dA%用向量方法计算迭代后处于5k+4位置上的点的坐标p(5:5:m:)=q+2d