初一奥数专题讲义——完全平方公式与平方差公式.doc

完全平方公式与平方差公式一知识要点1乘法公式就是把一些特殊的多项式相乘的结果加以总结，直接应用。公式中的每一个字母，一般可以表示数字、单项式、多项式，有的还可以推广到分式、根式。公式的应用不仅可从左到右的顺用（乘法展开），还可以由右到左逆用（因式分解），还要记住一些重要的变形及其逆运算除法等。2基本公式完全平方公式：(ab)2=a22ab+b2平方差公式：（a+b）(ab)=a2b2立方和（差）公式：(ab)(a2ab+b2)=a3b33公式的推广（1）多项式平方公式：(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc即：多项式平方等于各项平方和加上每两项积的2倍。（2）二项式定理：(ab)3=a33a2b+3ab2b3(ab)4=a44a3b+6a2b24ab3+b4（ab)5=a55a4b+10a3b2 10a2b35ab4b5注意观察右边展开式的项数、指数、系数、符号的规律4公式的变形及其逆运算由（a+b）2=a2+2ab+b2 得 a2+b2=(a+b)22ab由 (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3=a3+b3+3ab(a+b) 得 a3+b3=(a+b)33ab(a+b)5由平方差、立方和（差）公式引伸的公式（a+b）(a3a2b+ab2b3)=a4b4 (a+b)(a4a3b+a2b2ab3+b4)=a5+b5(a+b)(a5a4b+a3b2a2b3+ab4b5)=a6b6注意观察左边第二个因式的项数、指数、系数、符号的规律在正整数指数的条件下，可归纳如下：设n为正整数(a+b)(a2n1a2n2b+a2n3b2ab2n2b2n1)=a2nb2n(a+b)(a2na2n1b+a2n2b2ab2n1+b2n)=a2n+1+b2n+1类似地：（ab）(an1+an2b+an3b2+abn2+bn1)=anbn由公式的推广可知：当n为正整数时anbn能被ab整除, a2n+1+b2n+1能被a+b整除,a2nb2n能被a+b及ab整除。二例题精选例1已知x、y满足x2+y2+=2x+y,求代数式的值。例2整数x,y满足不等式x2+y2+12x+2y,求x+y的值。例3同一价格的一种商品在三个商场都进行了两次价格调整.甲商场:第一次提价的百分率为a,第二次提价的百分率为b;乙商场:两次提价的百分率都是 (a0,b0);丙商场:第一次提价的百分率为b,第二次提价的百分率为a,则哪个商场提价最多?说明理由.例4计算:(1)6(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1；(2)1.3450.3452.69-1.3453-1.3450.3452.例5已知a=1999x+2000,b=1999x+2001,c=1999x+2002,则多项式a2+b2+c2-ab-bc-ca的值为( )A.0 B.1 C.2 D.3例6已知（m为任意实数），则P、Q的大小关系为（ ）A. B. C. D.不能确定例7若x2-13x+1=0,则x4+的个位数字是( ) A.1 B.3 C.5 D.7例8有10位乒乓球选手进行单循环赛(每两人间均赛一场),用x1,y1顺次表示第一号选手胜与负的场数;用x2,y2顺次表示第二号选手胜与负的场数,;用x10,y10顺次表示十号选手胜与负的场数.求证:x12+x22+x102=y12+y22+y102。三同步练习1乘积(1-)(1-)(1-)(1-)等于( )A. B. C. D. 2已知a、b满足等式x=a2+b2+20,y=4(2b-a),则x、y的大小关系是( ) A.xy B.xy C.xy D.xy3已知，则a2b22b的值为（ ）A4 B3 C1 D04已知x2+y2+z2-2x+4y-6z+14=0，则x+y+z=_。5计算:(1)1.23452+0.76552+2.4690.7655=_；(2)19492-19502+19512-19522+19972-19982+19992=_。6已知a+=5,则=_。7已知两个连续奇数的平方差为2000,则这两个连续奇数可以是_.8已知a2+b2+4a-2b+5=0,则=_.9若代数式可化为，则ba的值是 10已知a、b、c均为正整数,且满足a2+b2=c2,又a为质数. 证明:(1)b与c两数必为一奇一偶；(2)2(a+b+1)是完全平方数.参考答案：一例题精选例1提示:由已知得(x-1)2+(y-)2=0,得x=1,y=,原式=例2原不等式可化为(x-1)2+(y-1)21,且x、y为整数,(x-1)20,(y-1)20,所以可能有的结果是或或,解得或 或 或 ,x+y=1或2或3例3甲、乙、丙三个商场两次提价后,价格分别为(1+a)(1+b)=1+a+b+ab;(1+)(1+)=1+(a+b)+( )2;(1+b)(1+a)=1+a+b+ab;因()2-ab0,所以()2ab,故乙商场两次提价后,价格最高.例4(1)原式=(7-1)(7+1)(72+1)(74+1)(78+1)+1=716 (2)设1.345=x,则原式=x(x-1)2x-x3-x(x-1)2=-x=-1.345例5例6【分析】可用特殊值法或差值法特殊值法：取m=15，分别代入得P=6，Q=217，故PQ；差值法：P-Q=0，故PQ【答案】C例7例8提示:由题意知:xi+yi=9(i=1,2,10)且x1+x2+x10=y1+y2+y10 因(x12+x22+x102)-(y12+y22+y102)=(x12-y12)+(x22-y22)+(x102-y102) =(x1+y1)(x1-y1)+(x2+y2)(x2-y2)+(x10+y10)(x10-y10) =9(x1+x2+x10)-(y1+y1+y10)=0二同步练习9，这个代数式于相等，因此对应的系数相等，即2a6，解得a3，将a3代入得b8，因此ba510解:(1)因(c+b)(c-b)=a2,又c+b与