中学生标准学术能力诊断性测试2019年7月测试文科理科数学试卷与答案.pdf

第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2019 年年 7 月测试月测试 数学试卷数学试卷 本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1已知全集 2, 1,0,1,2 ,UAy yx xU= =则 U C A= A B C D 2已知i为虚数单位， 3i z i + =，则z的虚部为 A B C D 3 已知函数( )f x是定义在R上的奇函数， 且(4)( )f xf x+= ， 当()0,2x时， 3 ( )2f xx=+ ， 则(7)f= A B C D 4设sin22sin3=，)0 , 2 ( ，则的值是 A B C D 5已知数列 n a的通项为 kn n an + = 2 ，对任意*nN，都有 6 aan，则正数k的取值范围是 A B C D76k 6 已知函数( )f x在区间( , )a b上可导， 则 “函数( )f x在区间( , )a b上有最大值” 是 “存在 0 ( , )xa b 满足 0 ()0fx=的” A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 7函数sinln 2 yxx = 的图像可能是 8过直线05=+ yx上的点作圆 C：0224 22 =+yxyx的切线，则切线长的最小值为 A23 B15 C4 D32 9已知正三棱锥ABCP,点Q在棱PA上运动（不含端点），直线QC与AC所成角记为 1 ，直 线QC与面ABC所成角记为 2 ，二面角ABCQ的大小为 3 ，则 A 321 B 231 C 312 D 132 10若正数, a b满足 21 1 ab +=，则 43 21ab + 的最小值为 A4 B23 C32 D62 113 名男生和 3 名女生共 6 人站成一排，若男生甲不站两端，且不与男生乙相邻，3 名女生有且只 有 2 名女生相邻，则不同排法的种数是 A168 B216 C256 D 288 0,1,22, 1,01, 21,2 13i3i 3322 tan2 7 24 7 24 7 32 7 32 6k65 k6k A B C D 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 12若平面向量a,b,e满足 231a,b,e=，且 () 10a beab + =，则ab的最小值为 A1 B2 3 1 C3 21 D 6 二填空题：本大题共二填空题：本大题共 4 小题，每小题小题，每小题 6 分，共分，共 24 分分 13某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 14已知数列 n a的通项公式为() ()231=na n n ，则数列 n a的前n项和 n S= 15已知F为双曲线1 2 2 2 2 = b y a x 的左焦点，过点F的直线与圆： 2 2 22 c yx=+交于,A B两点 （A在,F B之间） ，与双曲线在第一象限的交点为T,O为坐标原点若BTFA =， 90AOB =，则双曲线的离心率为 16 若a为实数，且关于x的方程 22 21xaxx+ =有实数解，则a的取值范围是 三、解答题：共三、解答题：共 66 分分解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤 17 （本题满分 12 分）已知cba,分别是ABC的三 个内角CBA,的对边，且满足 Baba 2222 cos434= （1）求角A的大小； （2）当A为锐角时，求函数) 6 sin(sin3 +=CBy的最大值 18（本题满分12分） 如图， 已知多面体 1111 ABCDABC D， 1111 ,AA BB CC DD 均垂直于平面ABCD，ADBC， 11 =2ABBCCD AACC=， 1=1 BB， 1 4ADDD= （1）证明： 11 AC 平面 11 CDDC （2）求直线 1 BC与平面 111 ABC所成角的正弦值 19（本题满分 12 分）甲、乙、丙、丁四位同学报名参加校运会“跳高” 、 “跑步” 、 “铅球”三个项 目的比赛，若每位同学只能报其中一个项目，且报名其中任一个项目都是等可能的 （1）求这四位同学中有且仅有两位同学报同一个项目的概率； （2）求这四位同学报名参加校运会项目的个数的分布列与期望 20（本题满分 15 分）已知抛物线 2 2 1 :xyC=与直线1:= kxyl（k为常数）无交点，设点P为 直线l上的动点，过P作抛物线C的两条切线，BA,为切点. （1）证明：直线AB恒过定点Q； （2）试求PAB面积的最小值 21（本题满分 15 分）已知函数 1 ( )(1)ln(2)2 x f xea xxx + =+ ,1x ，aR. （1）当 1 2 a =时，求证：( )0f x 恒成立； （2）若( )0f x 恒成立，求实数a的取值范围 （第 13 题图） y 第1页 共 5 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年年 7 月测试月测试 理科数学答案理科数学答案 一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C B B A D A D B C D A B 二 填空题：本大题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分 13. 5 3 2 14. 1 3 ,n 2 3n ,n 2 n 为奇数 为偶数 15. 3 1+ 16. 3 4 a 三、解答题：共三、解答题：共 66 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17.（12 分） 解： （1）Baba 2222 cos434= 222 3)cos1 (4bBa=,bBa3sin2=, 由正弦定理， 得：BBAsin3sinsin2=，0sinB， 3 分 所以 2 3 sin=A， 0A ，所以 3 =A或 3 2 =A 6 分 （2） 3 =A， 3 2 =+CB， 得： 3 2 0 B ) 6 5 sin(sin3) 6 sin(sin3BBCBy+=+= =)sin(7cos 2 1 sin 2 33 +=+BBB，其中 9 3 tan=， 9 分 第2页 共 5 页 当1)sin(=+B时，即 = 2 B时， 3sinsin() 6 yBC =+取最大值7. 12 分 18.18. （12 分） （1）连接AC，由于 11 AACC且 11 CCAA =，所以四边形 11 ACC A为 平行四边形，ACCA/ 11 . 又底面ABCD为等腰梯形，ADCDBCAB 2 1 =， BCAD/，延长DCAB,交于G， 60= ADC， 30=BACACBDAC 90= DCA，ACCD.2 分 侧棱 1 C C 平面ABCD,AC 平面ABCD， 所以 1 C CAC. 4 分 又 1 CDCCC=，所以AC 平面 11 CDDC， 故 11 AC 平面 11 CDDC. 6 分 （2）解法一 由题意 1 2 2BC =,延长DC、 11 DC、AB、 11 A B交于点G,取CG中点M，连BMAC、. 由 11 BMACAC,BM 平面 111 ABC， 11 AC 平面 111 ABC，所以BM平面 111 ABC. 因此点B到平面 111 ABC的距离和点M到平面 111 ABC的距离相等. 8分 由（1）知 11 AC 平面 11 CDDC，又 11 AC 平面 111 ABC，所以平面 111 A BC 面 11 CDDC. 过点M作 1 MHGD，则MH 平面 111 ABC， 即点M到平面 111 ABC的距离为 2 2 MH =. 10分 所以直线 1 BC与平面 111 ABC所成角为， 则有 1 2 1 2 sin 42 2 MH BC =.12 分 第3页 共 5 页 解法二：建系法 ABCDDD平面 1 ，DADD 1 ， 以D为坐标原点O， DA为x轴，过D作平面 11ADD A的垂线为y轴， 1 DD为 z轴 如 图 所 示 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ， 则 ()()()() 111 3, 3,0 ,4,0,2 ,3, 3,1 ,1, 3,2BABC . () 1 2,0,2BC = , ()() 1111 3, 3,0 ,2,0,1ACBC= = ，设平面 111 ABC的法向量为(), ,nx y z=. 由 11 11 330 20 AC nxy BC nxz = += = += ，解得3 ,2yx zx=. 令1x=，则3,2yz=， () 1, 3,2n =. 9 分 设直线 1 BC与平面 111 ABC所成角为，则 1 21 sincos, 42 2 2 2 BC n= .12 分 19. （12 分） （1）这四位同学中有且仅有两位同学报同一个项目的概率为： 9 4 3 ACC P 4 2 2 1 3 2 4 = = 4 分 （2）由题设知这四位同学报名参加校运会项目的个数的可能取值为 1,2,3 () 27 1 3 C 1P 4 1 3 = 6 分 () 27 14 3 AC 2P 4 2 2 2 2 2 4 3 4 2 3 = + = A C C 8 分 () 9 4 3 C 3P 4 3 3 2 4 = = A 10 分 第4页 共 5 页 的分布列为 ( ) 27 65 9 4 3 27 14 2 27 1 1E=+= 12 分 20. （15 分） （1）由 2 2 1 xy =求导得xy = ，设 ()() 2211 ,yxByxA ，其中 2 22 2 11 2 1 , 2 1 xyxy= 则() 1111 :,xxxyyPAxkPA= 设()1, 00 kxxP ，代入 PA 直线方程得 0110 1xxykx=+ ， 2 分 PB 直线方程同理，代入可得 0220 1xxykx=+ 所以直线 00 1:xxykxAB=+ 4 分 即()01 0 =+yxkx，所以过定点()1 , k . 6 分 （2） 直线l方程与抛物线方程联立， 得到022 2 =+ kxx， 由于无交点解0可得2 2 k. 将1: 00 +=kxxxyAB代入 2 2 1 xy =，得01 2 1 00 2 =+kxxxx， 8 分 所以 2 00 220 xkx =+，+= 2 0 12xAB 10 分 设点 P 到直线 AB 的距离是d，则 2 0 0 2 0 1 22 x kxx d + + = 12 分 所以= dABS PAB 2 1 ()()2 3 2 2 0 2 3 0 2 0 222kkxkxx+=+ 14 分 所以面积最小值为()2 3 2 2k . 15 分 21. （15 分） 解：（1）当 2 1 =a时，2)2ln() 1( 2 1 )( 1 += + xxxexf x ，1x 1 2 1 )2ln( 2 1 )( 1 + + += + x x xexf x ， 2 分 令1 2 1 )2ln( 2 1 )( 1 + + += + x x xexh x ，则 + + + = + 2 1 )2( 1 2 1 2 1 )( xx exh x ， 1 2 3 P 27 1 27 14 9 4 第5页 共 5 页 1x，1 1 +x e，2 )2( 1 2 1 0 2 + + + xx ，1 )2( 1 2 1 2 1 2 + + + xx 5 分 0)( x h，)(xh单调递增，0) 1()(=hxh，即0)( x f，可得： )(xf单调递增，0) 1()(= fxf恒成立. 7 分 （1）1 2 1 )2ln()( 1 + + += + x x xaexf x ,1x 令1 2 1 )2ln()( 1 + + += + x x xaexg x ，则 + + + = + 2 1 )2( 1 2 1 )( xx aexg x ， 当 2 1 a时，由（1）知，0)()(=xhxg，)(xg单调递增，0) 1()(= gxg，即 0)( x f，)(xf单调递增，0) 1()(= fxf恒成立. 10 分 当 2 1 a时，显然易知)(x g 单调递增. 因为021) 1(=ag， 0 4 1 16 1 4 4 1 16 1 ) 16 1 4 1 ()24( 14 2 14 =+= a a a e aa aeag aa 所以存在)24 , 1( 0 ax使得0)( 0 = x g. 12 分 当 0 1xx时，0)( x g，)(xg单调递减，0) 1()(= gxg，即0)( x f， )(xf单调递减，0) 1()(= fxf，不符合题意. 综上所述， 2 1 ,(a 15 分 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试中学生标准学术能力诊断性测试 2019 年年 7 月测试月测试 文科数学试卷文科数学试卷 本试卷共本试卷共 150 分，考试时间分，考试时间 120 分钟。分钟。 一、一、选择题：本大题共选择题：本大题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是分在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的 1已知集合 2 |20Ax xx=+, |220 x Bx = ，则AB = A | 21xx B | 10xx C | 21xx D | 10xx 2在复平面内，复数 34i z i + =（i为虚数单位）对应的点在 A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3两个国内微电影制作团队打算从伦敦、香港、悉尼、迪拜、上海这五个城市中各选取一个地方拍 摄现代城市魅力，且这两个团队选择的城市不同，则这两个团队都选择在国外拍摄的概率为 A 1 5 B 3 10 C 2 5 D 1 2 4已知) 2 (0 ,tan3=，则 sin() 4 = A 5 5 B 10 10 C 2 5 5 D 3 10 10 5已知某几何体的三视图如图所示（方格纸中每个小正方形的边长为 1） ，则该几何体的表面积为 A 626 2 + B 426 2 + C 6210 2 + D 4210 2 + 6下列函数中奇函数的个数是 ( )22 xx f x = ( )sinf xxx= 3 3 ( )log 3 x f x x = + ( ) |3|3|f xxx=+ A1个 B2个 C3个 D4个 7 “8a = ”是“直线340 xya=与圆 22 4210 xyxy+ =相切”的 A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 8已知函数 1,0, ( )0,0, 1,0, x f xx x = 则函数( )( ) (e1) x g xf x=的大致图象是 A B C D 9 九章算术是我国古代第一部数学专著，对后世的数学研究影响深远，全书共收有 246 个数学 问题，分为九章其中有这样的问题： “今有竹九节，下三节容四升，上四节容三升，问中间二节 欲均容各多少？”意思为： “今有竹九节，下三节容量和为 4 升，上四节容量和为 3 升，若每一节 容量变化均匀（即每节容量成等差数列） ，问每节容量各为多少？”在这个问题中，最上一节与最 下一节的容量和为 A 64 33 升 B 65 33 升 C 67 33 升 D 68 33 升 10已知函数 ( )2sin()cos 6 f xxx=+，且 12 3 () () 4 f xf x= ，则 12 |xx+的最小值为 A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 11已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab =的左右焦点分别为 12 ,F F，直线l过点 2 F且与双曲线右支交于 ,A B两点，若 22 | 3|AFBF=，且 1 3 cos 5 AFB=，则双曲线的离心率为 A 5 2 B 10 2 C 10 3 D 5 2 12若存在正实数, x y使得 22(ln ln )xaxyyxyxy=成立，则实数a的取值范围是 A(1 , ) B(1,)+ C2,)+ D(,2 O O O O 正视图 侧视图 俯视图 （第 5 题图） 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 4 个小题，每小题个小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分 13函数( )2lnf xx=的定义域为 14 在ABC中 ， 已 知4ABAC= ,120BAC= ,M为BC上 一 点 ， 且3BCBM=， 则 AB AM= 15设 n S是各项均为正数的等比数列 n a的前n项和， 1 3a =，若 4 a, 3 a, 5 a成等差数列，则 n S与 n a 的关系式为 16已知0 x ,0y ，且 22 4x yxyxy+=+，则xy+的最小值为 三、解答题：共三、解答题：共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17 （本题满分 10 分）在ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且 cos2 cos32 Bb Cac = （1）求cosB的值； （2）若2c =,ABC的面积为2 5，求b的值 18 （本题满分 12 分）已知数列 n a的前n项和为 n S，且233() nn San =N （1）求数列 n a的通项公式； （2）若 3 log nnn baa=，求数列 n b的前n项和 n T 19 （本题满分 12 分）某蔬菜经销商销售新鲜有机芹菜，售价 为每公斤20元，进价为每公斤12元出于保鲜要求，当天 进货当天销售，若当天没有全部售出，则未售出的部分全 部降价以每公斤10元处理完根据以往的销售情况，得到 如图所示的频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图计算这种有机芹菜日需求量的 平均数（同一组中的数据用该组区间中点值代表） ； （2）若经销商某天购进130公斤这种有机芹菜，假设当天的需求量为x公斤(0250)x，其 利润为y元，结合频率分布直方图估计其利润y不小于340元的概率 20（本题满分 12 分） 如图， 在多面体 111 ABCABC中， 111 AA BBCC/， 1 CC 底面ABC， 1 ACBC （1）求证：BC 平面 11 AACC； （2）若1ACBC=, 1 2CC =，求三棱锥 111 CABC的体积 21 （本题满分 12 分）已知椭圆 22 22 :1(0) xy Eab ab +=经过点 3 (1, ) 2 M，其焦距为 2，椭圆E的左 顶点为A （1）求椭圆E的方程； （2）N为x轴上一点，直线l过N且与椭圆E交于P、Q两点，记直线AP、AQ的斜率分别 为 1 k、 2 k，若 1 2 140k k+=，求点N的坐标 22 （本题满分 12 分）已知函数 2 ( )(1)e41 x f xa xxx=+（aR,e为自然对数的底数） （1）若1a =，求函数( )f x的单调区间； （2）若1x 时，( )0f x 恒成立，求a的取值范围 A1 （第 20 题图） （第 19 题图） 频率/组距 日需求量(公斤) 0 50 100 150 200 250 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 第1页 共 5 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试中学生标准学术能力测试诊断性测试 2019 年年 7 月测试月测试 文科数学答案文科数学答案 一 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D B A B C A D C A B C 二 填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 13. 2 (0,e 14. 8 15. 23 nn Sa= 16. 3 三、解答题：共三、解答题：共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分） 解： （1）由题意得，(32 )cos2 cosacBbC=， 由正弦定理得，3sincos2sincos2sincosABCBBC=， 2 分 3sincos2sin()ABBC=+，3sincos2sinABA=， 4 分 (0,)A，sin0A， 2 cos 3 B=. 5 分 （2） 5 sin 3 B =. 6 分 又 1 sin2 5 2 ABC SacB =，6a=， 8 分 由余弦定理， 222 2cosbacacB=+， 2 2 3642 62=24 3 b=+ ， 9 分 2 6b =. 10分 18（12 分） 解： （1）由233 nn Sa=， 11 233 nn Sa + =， 1 分 两式相减得： 11 233 nnn aaa + =，即 1 3 nn aa + =， 所以数列 n a是公比为3的等比数列， 4 分 由 11 233aa=，得 1 3a =， 5 分 第2页 共 5 页 所以3n n a =. 6分 （2）由 3 log nnn baa=，可得3n n bn=， 7 分 所以 123 1 32 33 33n n Tn= + +， 则 2341 31 32 33 3(1) 33 nn n Tnn + = + +， 9 分 -得， 2341 2333333 nn n Tn + =+， 10 分 所以 1 1 3(1 3 )(12 )33 23 1 322 nn n n n Tn + + = = ， 所以 1 (21)33 4 n n n T + + =. 12 分 19（12 分） 解： （1）设这种有机芹菜日需求量的平均数为x， 则 25 0.002 5075 0.004 50 125 0.006 50 175 0.005 50225 0.003 50 x=+ 132.5=（公斤）. 故这种有机芹菜日需求量的平均数为132.5公斤. 4 分 （2）由当天的需求量为x公斤时，其利润为y元， 当日需求量不低于130公斤时，利润(20 12) 1301040y =元, 当日需求量低于130公斤时，利润 (20 12)2(130)10260yxxx= 元，5 分 10260,0130 1040,130250 xx y x = ， 6 分 由340y ，当130250 x，1040340显然成立， 当0130 x时，10260340 x ,得60 x ，即60130 x， 所以60250 x， 9 分 所以 (340)(60250)1(060)1(0.002 500.004 10)0.86P yPxPx= = += ， 故估计其利润y不小于340元的概率为0.86. 12 分 20（12 分） （1）证明：根据题意， 1 CC 底面ABC，AC 底面ABC，BC 底面ABC， 第3页 共 5 页 所以 1 CCAC， 1 CCBC， 1 分 又 1 ACBC， 11 BCCCC=， 1 CC 平面 11 BCC B， 1 BC 平面 11 BCC B， AC平面 11 BCC B， 3 分 又BC 平面 11 BCC B，ACBC. 4 分 即BCAC， 1 BCCC， 1 ACCCC=，AC 平面 11 AACC， 1 CC 平面 11 AACC， BC平面 11 AACC. 6 分 （2）可知： 11 111 1 CABCBAC C VV =， 7 分 11 AA CC/， 1 1 1 1 1 2 AC C SACCC =， 8 分 由（1）知，BC 平面 11 AACC，又 11 BBCC/， 1 CC 平面 11 AACC， 1 BB 平面 11 AACC， 1 BB/平面 11 AACC， 9 分 则 1 B到平面 11 AACC的距离等于B到平面 11 AACC的距离，即为BC， 10 分 由1BC =， 11 111 11 1 11 33 CA B CBAC CAC C VVBCS =. 12 分 21 （12 分） 解： （1）因为椭圆E的焦距为2，则， 所以，2分 则3b =，所以椭圆E的方程为： 22 1 43 xy +=. 4分 （2）设点N的坐标为( ,0)N m，直线l斜率存在时，设l的方程为：()yk xm=，(0)k ， 联立 22 1 43 () xy yk xm += = ，得 22222 (34)84120kxmk xk m+=， 5分 设 1122 ( ,)(,)P x yQ x y、， 则 2 12 2 8 34 mk xx k += + ， 22 12 2 412 34 k m x x k = + ， 6分 且 11 ()yk xm=， 22 ()yk xm=， 1 2 1 40k k+=，( 2,0)A ， 1( 1,0) F 2(1,0) F 2222 33 2(1 1)(0)(1 1)(0)4 22 a =+=2a = 第4页 共 5 页 所以 22 121212 12 121212 ()1 222()44 yykx xm xxm k k xxx xxx + = + ， 8分 即 22 22 (312)1 (41616)4 km kmm = + ，又0k ，所以 2 2 3121 416164 m mm = + ， 化简得， 2 20mm+=， 解得：1m =，或2m = （舍）. 10分 当1m =时， 2 144(1)0k =+， 11分 当1m =，且直线l与x轴垂直时， 3 (1, ) 2 P， 3 (1,) 2 Q， 12 111 ()