毕业论文-不等式证明的若干方法.doc

贵州民族大学人文科技学院 信息与计算科学2009级邓向江指导教师：目 录内容摘要.4Abstract.41 绪论.42预备知识.53不等式证明的常用方法.8 3.1分析法.8 3.2比较法.83.3反证法.93.4等式法.10 3.5判别式法.10 3.6换元法.10 3.7分解法.113.8作商法.12 3.9迭合法.12 3.10三角代换法.13 3.11数学归纳法.143.12放缩法.15 3.13综合法.17结语.18参考文献.18成果申明.19致谢.20不等式证明的若干方法邓 向 江内容摘要：在数学学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容.这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现，而不等式的证明则是不等式知识的重要组成部分.本文介绍讨论了一些证明不等式的方法，比如在初等不等式的证明中经常使用的比较法、作商法、分析法、综合法、数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法等等.并针对每一种方法举例分析讨论.熟练掌握这些证明不等式方法，并灵活运用常用不等式证明方法，对我们以后学习不等式证明有大有裨益.关键词：比较法 分析法 作商法 综合法 反证法 放缩法 Abstract:In the process of mathematics leaming. proving the inequality is a very important content. These contents are well represented in the elementary mathematics and higher mathematics, and proof of inequality is an important part of inequality of knowledge. This paper introduces and discusses some inequality proof method, for example, often used in the proof of inequality. In comparison, the commercial law, analysis, synthesis, induction, reduction to absurdity, scaling method, substitution method, the discriminant method. For each method example discussed. Mastery of these inequality proof method, and flexibility in the use of commonly used inequality proof method, after we study inequalities that there be of great advantage. Keywords:Comparison method analysis method the commercial law synthesis method reduction to absurdity scaling law 1.绪论在数学学习过程中，不等式证明是一个非常重要的内容，这些内容在初等数学和高等数学中都有很好的体现.在数量关系上，虽然不等关系要比相等关系更加广泛的存在于现实的世界里，但是人们对于不等式的认识要比方程要迟的多.直到17世纪以后，不等式的理论才逐渐发展起来，成为数学基础理论的一个重要组成部分. 而回顾数学学习历程，不等式的证明问题，由于题型多变、方法多样、技巧性强，在证明不等式前，往往需要依据题设和特征不等式的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤、技巧和语言特点，通过揭示问题的本质特征，使得难解性问题转化为可解性问题.同时加上无固定的规律可循，往往不是用一种方法就能解决的，它是多种方法的灵活运用，也是各种思想方法的集中体现.因此熟练掌握不等式证明的几种方法，并能灵活运用常用的证明方法，对以后的学习有着非常重要的意义.2.预备知识 不等式的性质是不等式变形的理论根据，因此不仅要明确不等式的性质是什么，更重要的是要明确性质有什么用，因此，接功能为标准对不等式性质予以梳理，可分为三类： 第一类，是侧重于理论指导的性质；第二类，是对一个不等式进行等价变形的依据；第三类，是对给出的两个不等式进行变形的依据.这类性质由于不是等价变形，故不能用于解不等式. 运用不等式进行处理有关大小关系问题时，应注意常常还要运用有关函数的性质作配合.3. 不等式的证明方法有：分析法，比较法，反证法，等式法，判别式法，换元法，分解法，作商法，迭合法，三角代换法，数学归纳法，放缩法，综合法.(1)分析法，分析法是教学中的一个难点，一是难在初学时不易理解它的本质是从结论分析出是结论成立的充分条件，二是不易正确使用连接有关分析推理步步骤的关系词. 分析法是证明不等式时一种常用的得方法，当证明不知道如何入手时，有时候可以运用分析法而获得解决，特别对于条件简单而结论复杂的题目往往更是行之有效.(2)比较法是证明不等式最重要的一直基本方法.比较法分为：作商法和作差法.作差法：若,则.它的三个步骤：作差变形判断符号（与零的大小）结论.(3) 反证法 反证法是根据正难则反的原理，即如果证明有困难时，或者直接证明需要分多钟情况而反面只有一种情况时，可以考虑用反证法，反证法不仅在几何中有着广泛的应用，而且在代数中也经常出现，用反证法证明不等式就是最好的应用，要证明不等式AB,先假设AB，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，得以证明原不等式成立.(4) 等式法 应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明.（5） 判别式法 通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式.当可以判断方程有没有根以及有几个根，b2-4ac0无根，b2-4ac=0有两个相等根即一个根，b2-4ac0有两个不相等根.（6） 换元法 所谓的换元法就是根据不等式的结构特征，选择适当的代量变换，从而化繁为简，或实现某种转化，关健是制造和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化，复杂问题简单化，变得容易处理.（7） 分解法 按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的.（8）作商法 作商法是当不等式两边为正的乘积形式时，通过作商把其转化为证明左/右与1的大小.即：若，则： 1 ； 1 ； 1 它的三个步骤：作商变形判断与1的大小结论.（9） 迭合法 把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证.（10） 三角代换法 借助三角变换，在证题中可使某些问题变易.常见的三角代换法有：1.若，可设2.，可设，3.若可设(11)数学归纳法 数学归纳法是一种数学证明方法，典型地应用于确定一个表达式在所有自然数范围内是成立的或者用于确定一个其他形式在一个无穷序列是成立的.用数学归纳法证明的步骤是： 一，证明当取第一个值时，命题成立，第一步就获得了递推的基础，但仅靠这一步还不能说明结论的普遍性，在第一步中，考察结论成立的最小正整数就足够了，没有必要再考察几个正整数，即使命题对几个正整数都成立，也不能保证命题对其他正整数也成立.二，假设命题成立，证明当命题也成立，证明了第二步，就获得了递推的依据，但没有第一步就失去了递推的基础，只有把第一步和第二步结合起来，才能获得普遍性的结论.三，下结论，命题对从开始的所有正整数都成立.(12) 放缩法 放缩法就是在证明不等式中，利用不等式的传递性，做适当的放缩或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明，放缩法的目的性强，应适当好处，同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，不能放过头，也不能放的不够适度，否则不能达到目的.因此，放缩法是一个极容易掌握的难点，真正考它的机会不多，掌握放缩法的关键是熟练掌握不等式的基本性质及代数式的变形方法，目的性要明确.(13) 综合法 综合法就是由已知条件或已知不等式出发，通过一系列的推出变换，推导出所求的不等式.利用综合法由因果证明不等式，即要推揭示出条件与结论之间的因果关系，因此要着力于分析已知与求证之间的差异和联系，不等式两边的差异和联系，再分析不等式左右两端的差异后，合理运用已知条件，进行有效的变换是证明不等式关键. 3.不等式证明的常用方法3.1分析法 (1)从求证的不等式出发，逐步寻求使不等式成立的充分条件，直至所需条件被确认成立，就断定求证的不等式成立，这种证明方法就叫分析法. (2)所分析的方法是“执果导因”：从求证的不等式出发，探索使结论成立的充分条件直至已成立的不等式,它与综合法是对立统一的两种方法. (3)用分析法证明不等式的逻辑关系是：,已知B逐步推演不等式成立的条件A. (4)分析法的本质是从结论分析出使结论成立的充分条件，要正确使用有关步骤的关键词. (5)分析法是证明不等式的一直常用方法，当证明不知道如何入手时，这时候运用分析法就有可能获得解决. 例3.1.1 . 证明：因为都是正数，所以要证.只需证,即证.即证.即证.因为成立，所以成立.3.2比较法 比较法是证明不等式最重要的一直基本方法.比较法分为：作商法和作差法. 作差法：若,则. 它的三个步骤：作差变形判断符号（与零的大小）结论.作差法是当要证的不等式两边为代数和形式时，通过作差把定量比较左右的大小转化为定性判断左右的符号.从而降低问题的难难度，作差是化归，变形是手段，变形的过程是因式分解，把差式变形为若干因子的成乘积或若干个完全平方的和，进而判定其符号，得出结论. 例3.2.1求证：. 证明：因为.所以.（2）作商法：若. 它的的三个步骤；作商变形判断与1的大小结论.作商法是当不等式的两边为正的乘积的形式时，通过作商法把证明左/右与1的大小. 例3.2.2 设，求证：. 证明：因为 ， 所以.而， 故 .3.3反证法 反证法是假设要求证的结果是对的,根据结果推理得出与现有已知条件不符的结果,即证明要求证结果是错误的,即反证法,就是从结果推条件,和一般的由条件求结果的顺序相反. 用反证法证题一般分为三个步骤：1、 假设命题的结论不成立.2、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾.3、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确即：提出假设推出矛盾肯定结论. 例3.3.1已知，且 求证： 中至少有一个是负数.选题意图：本题考查利用反证法证明不等式.证明：假设 都是非负数， ， .这与已知矛盾. 中至少有一个是负数.3.4等式法 应用一些等式的结论，可以巧妙地给出一些难以证明的不等式的证明.例3.4.11为的三边长，求证：.证明:由海伦公式，其中.两边平方，移项整理得 .又因为, 所以得. 3.5判别式法通过构造一元二次方程，利用关于某一变元的二次三项式有实根时判别式的取值范围，来证明所要证明的不等式.当可以判断方程有没有根以及有几个根，b2-4ac0无根，b2-4ac=0有两个相等根即一个根，b2-4ac0有两个不相等根. 例3.5.1设，且求证：. 证明：设，则.将代入中得，即. 因为，由，得 .解得 ，故.3.6换元法换元法是数学中的一个基本方法.在不等式的证明过程中，按照所征不等式的结构特点，将不等式中的变量作适当的代换，可使不等式的结构明朗.从而使不等式证明变得简单易证明，这种方法称为换元法.换元法的目的是把命题化简、化熟、把复杂的、不熟悉的问题简单化，化为熟悉的命题使需解决问题容易化.方法有：对称换元法，化已为简；增量换元法，若一变量在某一常量附近变化时，可设这一变量为该常量加上另一个变量，从不等式的结构整体把握，适度进行变量代换，可是问题简单明了. 例3.6.1 设，求证：.分析：结果分析我们发现，把中的两个互换，不等式不变，说明这是个对称不等式，如果我们令,则原不等式可化为：.这是个简单而且容易与已知不等式联系的不等式，因而可以按上述换元证明不等式.证明：令 则. ,当时，有.当时，有(否则中必有两个不为正值，不妨设 , 则 ,这与矛盾）， 因此. 得. 把代入上式得:. 例3.6.2增量换元法已知,求证：. 证明：设,显然. 则. 故.3.7分解法按照一定的法则，把一个数或式分解为几个数或式，使复杂问题转化为简单易解的基本问题，以便分而治之，各个击破，从而达到证明不等式的目的. 例3.7 ，且，求证：. 证明：因为 . 所以 , .3.8作商法若，则：.它的三个步骤：作商变形判断与1的大小结论.作商法是当不等式两边为正的乘积形式时，通过作商把其转化为证明左/右与1的大小. 例3.8.1 设，求证：.由于要比较的两试成幂的结构，故结合函数的单调性，故可采用作商比较法来证明. 证明：作商得：，又指数函数的性质 当时，；当时，. 当时，.即 .3.9迭合法 把所要证明的结论先分解为几个较简单部分，分别证明其各部分成立，再利用同向不等式相加或相乘的性质，使原不等式获证. 例3.9.1已知：，求证: . 证明：因为，所以 .由柯西不等式 所以原不等式获证.3.10三角代换法 借助三角变换，在证题中可使某些问题变易.常见的三角代换法有：1.若，可设.2.，可设，.3.若可设. 例3.10.1已知求证：证明：令,则.原不等式等价于. 即，而.则原不等式成立. 例3.10.2求证. 证明：设，令，则.所以原不等式得证. 例3.10.3已知:求证：证明：原式可化为，令则.所以.证明完毕. 3.11数学归纳法 当要证明一个命题对于不小于某正整数的所有正整数都成立时，可以用以下两个步骤：证明当时命题成立假设当时，（ 且）时命题成立，证明时命题成立.在完成这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立.这种证明方法就称为数学归纳法.用数学归纳法证明时要分两个步骤，缺一不可.一证明第一步，就获得递推的基础，但仅仅靠这一步是不能说明结论的正确性.在这一步中，只需要验证命题结论成立的最小的正数就可以了，没有必要验证命题对几个正整数的成立.二证明的第二步，就获得了推理的依据，仅仅有第二步没有第一步，则失去了递推的基础；而只有第一步没有第二步，就有可能得出不正确的结论，因为单单靠第一步，我们无法递推下去，所以我们无法判断命题对是否正确.在第二步中命题成立，可以作为条件加以应用，时的情况则有待利用命题的已知条件，公理，定理，定义加以证明.完成一步，二步后最后对命题做一个总结. 例3.11.1观察下面两个数列，从第几项起始终小于？证明你的结论. 证明：(1)当时，有命题成立.(2)假设当时命题成立，即有.当时，即当 时命题成立.又(1)、(2)可知，.所以从第5项起满足始终小于. 例3.11.2证明不等式.证明：(1)当时，上式左边右边，不等式成立.(2)假设当时，命题成立，即有,即当时 不等式成立，又由可知，不等式对一切正整数均成立.例3.11.3设，证明. 证明：当时，时不等式成立. 假设当时不等式成立，即.当时,., .即当时，不等式成立.综上所述，对所有的，不等式恒成立.3.12放缩法 在证题过程中，根据不等式的传递性，常采用舍去一些正项（或负项）而使不等式的各项之和变小（或变大），或把和（或积）里的各项换以较大（或较小）的数，或在分式中扩大（或缩小）分式中的分子（或分母），从而达到证明的目的.值得注意的是“放”、“缩”得当，不要过头.常用方法为：改变分子（分母）放缩法、拆补放缩法、编组放缩法、寻找“中介量”放缩法. 例3.12 .1求证： . 证明 : 令 所以.例3.12.2求证.证明：由得 .所以原式得证.例3.12.3（添加一些项或者舍弃一些项）已知求证：. 证明：, . . 例3.12.4（先放缩再求和或者先求和再放缩）函数求证： 证明：,故有 .所以原试得证. 例3.12.5（固定一部分项，放缩另外的项）求证：. 证明：, .所以原式得证. 3.13综合法 利用某些已经证明过的得不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法. 综合法的思维特点是，又因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的证明方法. 例3.13 已知：同号，求证：. 证明：因为x,y.同号，所以 ,则.即.结语 通过本文的撰写，使我更多、更进一步了解了不等式的证明、各种证明方法的运用.更了解了不等式证明的重要性.不等式不仅在我们学习中经常遇到，在我们的生活中也会经常遇到. 在这次毕业设计过程中，我不仅学习了不等式证明的原理、各种解不等式的逻辑方法 ，虽然不等式的证明方法多种多样，要想熟练掌握每一种方法有一定的难度，但通过本文撰写一些常用不等式证明方法后，更好地为我以后进一步学习不等式的证明打下了扎实的基础，现在我深深感受到了不等式的证明对我的重要性，所以在此我感谢朱老师对我的指导和关心，相信在以后的学习和实践中我会更加努力，更好地学习好和利用好不等式.参考文献：1肖光基.利用已知不等式不等式证明不等式的探讨J;四川师范大学学报(自然科学版);1980年03期.2黄先开.曹显兵,等.历届考研试题.北京： 世界图书出版公司, 2004.3段琦.若干积分不等式的证明及应用.绵阳师范高等专科学校学报.4谭三松、张松元.证明不等式的基