天津市2018届高三数学下学期第四次月考试题理.pdf

2 天津一中、益中学校 2017-2018 高三年级四月考数学试卷（理） 一、选择题： 1、已知集合 ( ) 2 2 |320 ,|log210 AxxxBxx =+= ，则AB =（ ） A. 2 1, 3 B. 2 ,1 3 C. 1 ,1 2 D. 1 2 , 2 3 2、若实数 , x y满足 210 210 50 xy xy xy + + ，则3xy + 的最大值为（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 3、执行如图所示的程序框图，则输出的i =（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4、在ABC 中，角 , , A B C 的对边分别为 , , a b c，且 22 2 2, 3 babc A = ，则角C为（ ） A. 6 B. 4 或 3 4 C. 3 4 D. 4 5已知正项 等差数列 n a 中若 123 15 aaa += ，若 123 2,5,13 aaa + 成等比数 列，则 10 a 等于（ ） A. 21 B. 23 C. 24 D. 25 6、已知双曲线 ( ) 22 22 :10,0 xy Cab ab = 的焦距为 10，点 ( ) 2,1 P 在C的一条渐近线 上，则C的方程是（ ） 3 A. 22 1 2080 xy = B. 22 1 520 xy = C. 22 1 8020 xy = D. 22 1 205 xy = 7、设e是自然对数的底， 0 a ，且 1,0 ab 且 1 b ，则“log 2log ab e ”是 “01 ab ，若函数 ( ) 1 yfxxkx =+ 在定义域内有 且只有三个零点，则实数k 的取值范围是（ ） A. 1 ,1 3 B. 1 ,1 3 C. 2 11 ,1 3 e + D. 2 11 ,1 3 e + 二、填空题 9、对于复数 ( ) , zabi a bR =+ ，若 2 12 i zi i + = + ，则b =_ 10、若二项式 6 2 51 5 x x + 的展开式中的常数项为 m，则 2 1 m x dx = _ 11、在极坐标系中，A为曲线 2cos0 += 上的动点，B是直线 34 1 3 xt yt = + = 上的动 点，则 AB 的最小值为_ 12、已知一个公园的形状如图所示，现有 4种不同的植物要种在此公园 的 这五个区域内（四种植物均要使用），要求有公共边界的 两块相邻区域种不同的植物，则不同的种法共有_种 4 13、如图，在梯形 ABCD中，ABCD，AB4，AD3，CD2M 是线段AD上一 点，（可与 , A D重合）， 若 3 AC BM = uuur uuuu r ，则 AB AD uuu r uuur 的取值 范围是_ 14、已知 , a bR ， 4 ab += ，则 22 11 11 ab + + 的最大值为 _ 三、解答题： 15、已知函数 ( ) sincos, 6 fxxxxR =+ （1）将 ( ) fx 的图像向右平移 6 的单位，得到 ( ) g x 的图像，求 ( ) g x 的单调递增区间 （2）若 ( ) 5 12 f = ，且0 2 ，求sin2 的值 16、共享单车因绿色、环保、健康的出行方式，在国内得到迅速推广.最近，某机构在 某地区随机采访了 10名男士和 10名女士，结果男士、女士中分别有 7人、6人表示 “经常骑共享单车出行”，其他人表示“较少或不选择骑共享单车出行”. （1）从这些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“经常骑共享单车出行”的概率； （2）从这些男士中抽取一人，女士中抽取两人，记这三人中“经常骑共享单车出行”的 人数为X ，求 X 的分布列与数学期望. 17、如图，在四棱锥中 PABCD，PA平面 ABCD，ADBC，ADCD，且 AD=CD= ，BC=2 ，PA=2 （1）取PC中点N ，求证：DN 平面PAB （2）求直线AC 与PD所成角的余弦值 A B C D M （第 13 题图） 5 （3）在线段 PD上，是否存在一点 M，使得二面角 MACD的大小为 45，如果存 在，求 BM与平面 MAC 所成角，如果不存在，请说明理由 18、已知首项均为 1的数列 ( ) ,0, nnn abbnN ，满足 1 1 3 nn n nn ab b ab + + = + （1）令 n n n a c b = ，求数列 n c 的通项公式 （2）若数列 n b 为各项均为正数的等比数列，且 4657 4 b bb b = ，设 , , n n n a n p b n = 为偶数 为奇数 ，求数列 n p 的前2n项和 2n S 19、过椭圆 ( ) 22 2 :1 03 9 xy Cb b += 的上顶点A作相互垂直的两条直线，分别交椭圆 于不同的两点M ， N （点M ， N 与点 A 不重合） （1）设椭圆的下顶点为 ( ) 0, Bb ，当直线AM 的斜率为 5时，若 2 ANBAMB SS = ， 求b的值； （2）若存在点M ， N ，使得 AMAN = ，且直线AM ， AN 斜率的绝对值都不为 1，求离心率e的取值范围. 20、已知 0 a ，函数 ( ) xx fxeeeax =+ （1）讨论 ( ) fx 的单调性 （2）若对 1 , 2 x + ，不等式 ( ) 2 e fx 恒成立，求a的取值范围 （3）已知当ae 时，函数 ( ) fx 有两个零点 ( ) 1212 , x xxx + 6 参考答案 一、选择题 14 DCCA 58 ADBA 1、 21 1,1 32 AB = = 1 2 , 2 3 AB = I 2、 方法一：线性规划 方法二： 21 5 xy xy + ( ) ( ) ( ) 2727 321511 3333 xyxyxy +=+ += 等号成立条件 213 52 xyx xyy = = += 符合不等式组 3、 4,2 Si = 12,3 Si = 26,4 Si = 50,5 Si = 92,6 Si = 4、 22222 2cos abcbcAbcbc =+=+ 22 2 abbc =+ Q 222 2 bcbcbbcbc +=+= 6 BC = 5、 1232 155 aaaa += ( ) ( )( ) ( )( ) 2 213 5213100718 aaadd +=+=+ 2 d = ( ) 2 2221 n aann =+=+ 10 21 a = 6、可知 5 c = ，渐近线方程为 b yx a = ，代入( ) 2,1 可得： 2 12 b ab a = ，所以 :2:1:5 a b c = ，即 2 5,5 ab = ，所以双曲线方程为 22 1 205 xy = 7、若01 ab ，若log 2log ab e ，则01 ab 不 一定成立，所以是必要非充分条件 8、所求问题等价于 ( ) 1 fxxkx += 有且只有三个零点 7 方法一：令 ( ) ( ) 2 31, 30 1ln1,01 ln1,1 xxx g xfxxxxx xxx + =+=+ + ， ( ) 23, 30 1 1,01 1 1,1 xx gxx x x x + = 时，临界条件为 ykx = 与 ( ) 2 31 g xxx =+ 相切，联立方程 2 31 ykx yxx = =+ 可 得： ( ) 2 310 xk x += ，所以 ( ) 2 3401 kk = ， 所以01 k ，综上所述： ) 3,1 k 方法二：当 0 x = 时， ( ) 10 fxx + ，所以 0 x = 不是方程的根 当 0 x 时 ( ) ( ) 1 1 f xx f xxkxk x + += 令 ( ) ( ) 1 3, 30 1 ln1 1,01 ln1 1,1 xx x fxx x g xx xxx x x xx + + =+ ， ( ) g x 在( ) 0,1 单调递增 x y 1 1 3 x y 1 1 3 8 当 ( ) 1, x + 时， ( ) 22 1ln12ln xx gx xxx =+= ，所以 ( ) g x 在 ( ) 2 1,e 单调递增，在( ) 2 , e + 单调递减， ( ) 2 2 1 1 g e e = + 所以 ( ) g x 图像如图所示： 其中 ( ) ,1 xg x + 所以可得 1 ,1 3 k 二、填空题 9、 ( )( ) 212 2 125 ii i zii i + = + 22 zib = = 10、常数项为 2 4 22 6 511 153 55 Cx x = 原式 3 23 3 1 1 126 33 x dxx = 11、曲线为 ( ) 2 2222 2cos02011 xxyxy +=+=+= 即圆心为( ) 1,0 ，半径为 1 的圆， 直线为 34 3944034130 13 x xxxy y + = +=+= + 所以 AB 的最小值为 ( ) 3113 11 5 C l dr + = = 12、两块不相邻的区域情况为：( ) ( ) ( ) ( ) , A DA EB DC E 所以不同的种法有 4 4 496 NA = 种 13、设 ,0,1 AMAD = uuuu ruuur BMAMABADAB = uuuu ruuuu ruuu ruuuruuu r 1 3 1 y x y=1 3 1 9 1 2 ACADDCADAB =+=+ uuuruuuruuuruuuruuu r ( ) 22 111 =1 222 BMACADABADABADABAD AB =+ uuuu r uuu ruuuruuu ruuuruuu ruuuruuu ruuur uuu r 1 9813 2 AD AB =+= uuur uuu r 5913 2295,8 22 AD AB = + uuur uuu r 14、 ( ) ( ) 2 22 2 22222222 22 22 112182 111172 12 abab abab ababa baba b aba bab + + += + + + 令 99 tababt = 原式 ( ) ( ) 2 2 22 2 80 1680 172 99 16 tt tt tt t t = + + + 2152 4 8 5164 58 + = 等号成立条件： 4 594 5 tab = 15、解析 （1） ( ) 2 3131 sincossinsincossin 2222 fxxxxxxx = 31cos21311 sin2sin2cos2 442224 x xxx =+ 11 sin 2 264 x =+ ( ) 11 sin 2 264 g xx = 222 26263 kxkkxk + + Q ( ) 2 2 24242 2 9 018819 9 b bbbbb b + + 22 0309363 bcc ，且 1 k 则 ( ) 2222 90 b kbkb += 有不为1的正根.只要 ( ) 24 2 2 940 9 0 bb b b = 解得 03 b . b 的取值范围是( ) 0, 3 . 6 ,1 3 e 20、解析：（1） ( ) ,1 2,1 x axe x fx eaxe x + = + ( ) ,1 2,1 x a x fx ea x 时， ( ) fx 在R 上单调递增 当 0 a ln120 2 a ea 时， ( ) fx 在 ,ln 2 a 单调递减，在 ln,+ 2 a 单调递增 （2）方法一：（参变分离） ( ) 1 ,1 2 2,1 x axex fx eaxe x + = + 17 当 1 ,1 2 x 时， 2 e axe + ( ) 1 1 22 22 2 1 2 2 e e f ae e ae e e ae f + + 当 1 x 时， 34 22 2 x x eee eaxea x + 设 ( ) 34 x ee g x x = ( ) ( ) 22 4 13 434 0 x xx x ee xeee gx xx + = 时， ( ) fx 在 1 , 2 + 上单调递增 1 22 e f 即可，解得：ae ( 0, ae 当 20 ea 时， ( ) fx 在( ) ,1 单调递减，在( ) 1,+ 单调递增 ( ) ( ) min 1 22 ee fxfa = 18 ,0 2 e a 2 ae 时， ( ) fx 在 ,ln 2 a 单调递减，在 ln,+ 2 a 单调递增 ( ) min ln 22 ae f xf = 即 3 ln 22 ae aa + ，令 ( ) , 2 a te = + 设 ( ) 22 ln g tttt = 则 ( ) ( ) 22 1ln2ln0 g ttt =+= ( ) g t 在( ) , e + 单调递减 而 ( ) ( ) 3 0 2 g tg ee = ，所以原不等式无解 （此处也可不构造函数， lnln1 22 aa aaa += ，显然 2 ae a