勒贝格积分定义及基本定理.ppt

第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,目的：了解Riemann 可积性与Lebesgue可积性之间的关系，熟练掌握Lebesgue积分的极限定理，并能熟练运用这些定理。 重点与难点：L-积分极限定理及其应用。,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,基本内容： 一R-积分与 L-积分的关系 问题1：回忆 f 的Riemann可积性与| f | 的Riemann可积性是否等价。对 常义Riemann积分而言，情形又 如何？,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,我们曾经提到Lebesgue积分是Riemann积分的推广，然而对广义Riemann积分来说，Riemann可积性并不意味着Lebesgue可积性，这从前面的例子已经看到。,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,那么，通常意义下的Riemann可积性是否意味着Lebesgue可积性呢？如果不是的话，则就不能认为Lebesgue积分是Riemann积分的自然推广，幸运的是，答案是肯定的。,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,定理的叙述（L-可积函数何时Riemann可积）,此处 表示在a,b上的Lebesgue积分， 表示在a,b上的Riemann积分。,如果有界函数在闭区间a,b上是Riemann可积的，则在a,b上也是Lebesgue可积的，且,证明：显然，由本节定理1，只需证明是a,b上的可测函数。 由于 f Riemann可积，取a,b的分点组,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,记 分别为 f 在 下的 下确界和上确界，由Riemann积分的定义知,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,令 为如下的函数列：,则因 ，故当区间长度缩小时，上确界不增，下确界不减，所以,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,于是 ，即,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,注意到 都是有界可测的，所以 是非负Lebesgue可积函数，从而,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,又,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,这说明 ， 故 。 由本节定理3知 ，进一步 ，因此 f 在a,b上可测，证毕。,二Levi定理 问题2：回忆Riemann积分中，积分 与极限交换顺序的条件？,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,(1) Levi定理 问题3：从定理的条件，函数序列的极 限与函数序列可否比较大小？ 问题4：定理中并未假定集合的测度有 限，也未假定函数序列有界， 如何克服这一困难？,问题5：定理的条件中，假定了函数序 列的单调性，这说明函数序列 至少是几乎处处收敛的，单几 乎处处收敛的函数序列的积分 与极限必可交换顺序吗？如何 克服这一困难？,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,勒维Levi定理 设,是E上的非负可测函数序列，,则,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,(2) Levi定理的证明,先设 ，对任意 ， 取正整数 l, k, 使,其中,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,设正整数 m0 使 时，对一切 ，都有 ， 则当 时，,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,注意到 ，且在 Ek 上， ， 由Egoroff定理知，存在 ，使 ，且在 上 一致收敛到 。,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,因此 ，由 的任意性便知 。 另一方面，由于对任意 m，显然有 ，,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,所以 ，从而 。 综上得 。,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,又,故当 时，,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,当 时，由积分定义， 对任意 M 0，存在 k, l 使 ， 其中 。由 与 及上面的证明知,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,由 m 的任意性立得 。 证毕。,三Lebesgue基本定理 问题6：我们知道级数与序列是可以相 互转换的，试将Levi定理改用 级数的形式叙述？,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,(1) Lebesgue基本定理,如果 是 E 上的非负 可测函数序列， ，则,则 Sk 是 E 上的非负可测函数， 并且 ，,令 ，,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,(2) Lebesgue基本定理的证明,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,故由Levi定理知 证毕。,问题7：如果 Ek 是一列互不相交的可 测集， ，f 是E上的 非负可测函数，能否利用 Lebesgue基本定理证明 ？,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,(3) 推论,若 是 E 的互不相交的可 测子集列， ，则当 f(x) 在 E 上 有积分时， f(x) 在每一 Ek 上都有积分， 且,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,证明：记 为 Ek 的特征函数，则 。 注意到 故由定理2得,类似可证 。 由 f(x) 在 E 上有积分知 与 至少有一个不为，不妨设 ，,第18讲 R-积分与L-积分的关系, L-积分的极限定理,于是由