物理大二上唐莹08量子-online.ppt

第十七章 量子物理,17-3-3；17-4-1 的结论要会用,其中：17-4-3，精,139-159中，精,159中-186，泛,其余不要求,270-274中，精,1 物质波 波粒二象性,一 光的量子性,二 物质波,三 不确定关系,2 态函数 薛定谔方程的应用,二.薛定谔方程,3 原子结构,三. 一维无限深势阱,四. 一维势垒 隧道效应,二 .氢原子原子的电子壳层结构,一.电子自旋,12.11 12.15,12.18,12.22,12.26,一.概率波与态函数,19世纪末20世纪初 物理学的两大谜,狭义相对论（1905）,1.Michelson-Morley实验（1887）,2.Planck 方程式（1900）,量子力学（1925）,1.现象,物体受热就会发光, 温度不同时,辐射的波长不同,与温度有关的辐射，称为热辐射。,例如：加热铁块， 温度 看不出发光暗红橙色黄白色,(一)热辐射,（教材271页中274页中）,1 物质波 波粒二象性,一 光的量子性,(一)热辐射规律,(二)光电效应,(三)康普顿效应,激光 ,日光灯发光不是热辐射,高温物体发出的是紫外光；,炽热物体发出的是可见光；,低温物体发出的是红外光；,基本性质:,温度 发射的能量 电磁波,的短波成分,平衡热辐射 加热一物体,物体的温度恒定时,物体所吸收的能量等于在同一时间内辐射的能量,这时得到的辐射称为平衡热辐射,(2) 总辐出度M(T):,(1)单色辐出度(M)-辐射能量按波长的分布,2.热辐射的描述-几个物理量:,单位时间内,从物体单位表面发出的, 波长在附近单位波长间隔内的电磁波的能量。,(3)黑体,能完全吸收各种波长电磁波而无反射的物体,M 最大, 且只与温度有关而和材料及表面状态无关。,可见了解黑体的单色辐出度随波长和温度的变化规律很重要.,黑体是理想模型,近似黑体如图:,3.黑体辐射的实验定律,实验用类似模型可以控制不同的恒定温度,并设置色散装置,可测量黑体的单色辐出度.,测量单色辐出度M (T)的实验装置,黑体的单色辐出度的实验 测量结果:,两条实验定律:,(1)斯特藩-玻尔兹曼定律:,总辐出度-实验曲线下的面积:,其中斯特藩常量 =5.6710-8 W/( m2K4),(2)维恩位移定律：,其中 常量 b=2.89710-3 mK,M的极大值对应的波长m与温度的关系有,实例:炉火烧热的铁条,温度升高,由红变白.,(1)寻找 函数,4.量子概念诞生,1893年维恩参照麦克斯韦速率 分布函数给出,短波部分符合很好，长波区不好.,1896,瑞利和金斯把能量均分定理用于电磁辐射,得到,理论曲线如图，波长很长时与实验相符. (紫外灾难),或用频率表示为,普朗克公式的计算结果与实验完全符合.,普朗克：黑体辐射的经验公式,“一定要不惜任何代价，找到一个理论根据”。,普朗克:,1900.12.14普朗克在德国物理学会上报告了论文,“关于正常谱中能量分布的理论”,从理论上推出了热辐射公式,辐射黑体中的分子、原子可看作线性谐振子, 振动时向外辐射能量（也可吸收能量）,普朗克假定：振子的能量不连续:, = h,E=n n=1,2,3., 能量子,经典理论：振子的能量取“连续值”,(2) 普朗克量子假设,物体发射或吸收电磁辐射时, 交换能量的最小单位是“能量子”,“作用量子”,1921 叶企孙，W.Duane， H.H.Palmer 测得：,1986推荐值：,1998推荐值：,一般取：,普朗克获得1918年诺贝尔物理学奖,h是与光速c同样重要的常数,经典,能量,量子, = h,E=n n=1,2,3.,为什么在宏观世界中, 观察不到能量不连续的现象?,这样小的相对能量变化在现在的技术条件下还 不可能测量出来。 现在能达到的最高的能量分辨率为：,所以宏观的能量变化看起来都是连续的。,5.量子假说的含义及其与宏观现象的关系,例：设想一质量为 m=1g 的小珠子悬挂在一个小轻弹簧下面作振幅 A=1mm的谐振动。弹簧的劲度系数 k=0.1N/m。按量子理论计算，此弹簧振子的能级间隔多大？减少一个能量子时,振动能量的相对变化是多少？ 解：弹簧振子的频率,能级间隔,振子现有能量,相对能量变化,例.实验测得波谱的m=490nm,将太阳视为黑体,计算(1)太阳表面温度及太阳常数(单位表面积发射的功率Mo),解:(1)根据维恩位移定律 Tm=b 得,再根据斯特藩-玻尔兹曼定律,M0即太阳单位表面发射的功率,可测得太阳的温度！,太阳全部表面每秒发射的能量？,太阳辐射的总功率分布在以太阳为中心的球面上, 则地球上单位面积接受的功率,解:,(2)M0即太阳单位表面发射的功率, 太阳辐射的总功率,(2)地球每秒接受的太阳辐射能,由于d RE, 故地球可看作圆盘接受辐射,作 业,选做:教材274页，例题19-8 40页, 习题1.2,必做:拓展151（二）-1 改为计算题,GD为光电管，光通过石英窗口照射阴极K，光电子 从阴极表面逸出。,光电子在电场加速下向阳极A 运动，形成光电流。,光电效应引起的现象是(Hertz) 赫兹在1887年发现的，当1896 年汤姆逊发现了电子之后，勒 纳德才证明了所发出的带电粒 子是电子。,(二)光电效应,1.现象:光照射某些金属时能从表面释放出电子的效应。这时产生的电子称为光电子。,实验规律可归结为4条。,其中有3条与经典电磁场理论相矛盾。,（1）相同频率但强度大小不同的光照射， 截止电压Ua是相同的。,（经典电磁波理论: 光电子初动能应当随光强而不是随频率增大）,（2）不论光强多大， 只有当入射光频率 大于一定的红限频率 0 时，才会产生光电流。,（经典:电磁振动激发电子只要强度足够就应该激发),（3）光电效应是瞬时发生的 只要入射光频率 0，无论光多微弱，从光照射阴极 到光电子逸出，驰豫时间不超过10 -9 s 。,（经典:电磁振动激发电子需要一定响应时间）,2. 实验结果及经典理论的困难,对光电效应的解释: 一个光子将全部能量交给一个电子，电子克服金属 对它的束缚，从金属中逸出。, 光量子具有“整体性”， 光的发射、传播、吸收都是量子化的。,电磁辐射由以光速c 运动的、局限于空间某一小 范围的光量子（光子）组成，, = h,爱因斯坦光量子假设(1905),A：逸出功,3. 爱因斯坦的光量子论, 当 A/h 时，不发生光电效应,红限频率, I 光子数N 打出光电子多 im ,h A时才能产生光电效应, 电子吸收光子，从金属中逸出是瞬时发生的,爱因斯坦方程,光量子假设解释了光电效应的全部实验规律！,例.铝的逸出功A=4.2eV,用波长200nm的光照射铝表面,求:(1)光电子的最大动能;(2)截止电压;(3)红限波长,解:,=2.0 eV,(3)红限波长,竞赛二十届,例.能使某种金属产生光电效应的入射光最小频率为6.01014Hz, 求(1)此种金属的电子逸出功. (2)若在金属表面再施加3V的反向电压,求能激起光电流的入射光最小频率.,解:,爱因斯坦 由于对光电效应的理论解释和 对理论物理学的贡献 获得1921年诺贝尔物理学奖,1.能量,2.质量,E = mc2,光子有质量 m=h/c2,光子没有静止质量 m0 = 0,3.动量,P = mc = h/c=h/,E2=p2c2+m0c4 m0=0,P=E/c=h/c=h/,4.角动量,在运动方向上,或从：,光子的性质,28,光阑,探 测 器,0,散射波长,0,(三) 康普顿效应,1922-23年, 康普顿研究了X射线在石墨上的散射, 验证了光子说。,X射线被晶体散射,部分射线波长发生变化,变成两种不同波长的X射线,称为康普顿效应.,29,强度,0.700,0.750,原始,=0,=45,=90,=135,(1),(2),(4),(3),1.实验结果,(1)散射光有两种波长: , ,(2)-与散射角有关,与散射物质 的性质无关,测得c= 2.4310-12m,(3) 散射的强度与散射物质有关。 原子量小的散射物质，康普顿散 射较强，原波长的谱线强度较低。 反之相反。,30,强度,0.700,0.750,原始,=0,=45,=90,=135,(1),(2),(4),(3),2.经典理论预期,光的波动理论： 光波电磁场在晶体中引起原子受迫 振动，发射电磁波散射光；,受迫振动的频率与入射光相同;,射线散射时波长不会发生变化.,3.光子理论的解释,光子作为弹性粒子,与物质中的电子 发生弹性碰撞.,CAI(1,2,3),31,X射线光子与外层“静止”的“自由电子”弹性碰撞,碰撞过程中能量与动量守恒,碰撞光子把部分能量传给电子 光子的能量散射X射线的频率，波长,波长1的X射线 ：,光子,外层电子束缚能eV,室温下 kT10-2eV，,所以外层电子近似可看成是自由的静止的。,e,自由电子(静止),m0,h,波长的散射光,定性解释：,32,散射线中还有与原波长相同的射线,光子与石墨中被原子核束缚很紧的内层电子碰撞,相当于光子和整个原子碰撞,在弹性碰撞中散射光子的能量(波长)几乎不改变,由此可知，轻元素中由于电子处于弱束缚状态， 所以波长变长的散射线相对较强， 而重元素中由于电子处于强束缚状态， 波长变长的散射线相对较弱。,波长的散射光,33,光子:,能量 动量,碰撞前,碰撞后,能量 动量,电子:,能量守恒: h0+ m0 c2= h+ m c2,动量守恒:,0,定量推导：,0,34,联立解得：,=0.0243 = 2 .4310-3nm（理论值）,_称为电子的Compton波长,只有当入射波长0与c可比拟时，康普顿效应才显著。 因此要用X射线才能观察到。,与实验值c = 0.0241=2.4110-3nm很好符合,35,支持了“光量子”概念， 进一步证实了,首次实验证实了爱因斯坦提出的 “光量子具有动量”的假设：,证实了在微观的单个碰撞事件中， 动量守恒和能量守恒定律仍然成立。,康普顿获得1927年诺贝尔物理学奖。,P = E/c = h/c = h/, = h,4. 康普顿散射实验的意义,康普顿 （A. H.Compton) 美国人 (1892-1962）,36,例:设有波长为=1.0010-10 m的X射线的光子与自由电子作弹性碰撞.散射X射线的散射角=90,问(1)散射波长与入射波长的改变量为多少?(2)反冲电子得到多少动能?,解:(1),(2)反冲电子的动能,电子所得动能Ek即为光子能量的损失.,37,代入数据得Ek=4.7110-17 J =295eV,问题:什么散射角电子的反冲能量最大？,反冲电子获得的能量最大,38,1. 近代理论认为光具有波粒二象性,在有些情况下，光突出显示出波动性；,2. 基本关系式,粒子性：能量 ，动量P , 数量N,波动性：波长 ，频率 ,振幅E0,而在另一些情况下，则突出显示出粒子性。,式中,波矢量,光的波粒二象性,39,光子在某处出现的概率由光在该处的强度决定,I大，光子出现概率大；,I小，光子出现概率小。,光的波动性和粒子性统一于概率波理论。,光作为电磁波是弥散在空间而连续的,光作为粒子在空间中是集中而分立的,波动性:某处明亮则某处光强大, 即 I 大 粒子性:某处明亮则某处光子多, 即 N大,光子数 N I E02,怎样统一 ?,光子在某处出现的概率和该 处光振幅的平方成正比。,3. 波动性和粒子性的统一,40,那么实物粒子也应具有波动性。,L.V. de Broglie （1892-1986）,从自然界的对称性出发,认为:,既然光(波)具有粒子性,1924.11.29年：,德布洛意把题为“量子理论的研究”,的博士论文提交巴黎大学,1.物质波概念的提出,德布罗意假设,1924年:,二 物质波,41,与粒子相联系的波称为物质波,或德布罗意波,一个能量为E,动量为 p 的实物粒子同时具有 波动性, 且:, 德布罗意波长,他在论文中指出:,爱因斯坦 德布罗意关系式,42,1927年戴维孙（C.J.Davisson）和革末 （L.H.Germer）用加速后的电子投射到晶体 上进行电子衍射实验。,2.电子衍射实验,43,G,K,狭缝,电 流 计,镍,集,电,器,U,电子射线,单,晶,如果电子没有波动性实验结果应如何？,44,5,10,20,15,25,0,I,G,K,狭缝,电 流 计,镍,集,电,器,U,电子射线,单,晶,实验结果：,如果电子有波动性实验结果应如何？,45,3.用电子波解释实验结果,(1)定性,5,10,20,15,25,0,I,波长满足布拉格公式者，反射加强, 即： 2dsin=k,46,实验数据：,镍单晶,(2)定量,当加速电压U=54伏时， 在=65方向电流出现第1次峰值。,实验值：电子的德布罗意波长：,理论值：布拉格公式：,理论值比实验值稍大的原因是电子受正离子的吸引，在 晶体中的波长比在真空中稍小(动量稍大).经修正后， 理论值与实验结果完全符合。,47,晶体,电子束,电子不仅在反射时有衍射现象，汤姆孙实验证明了电子在穿过金属片后也象X 射线一样产生衍射现象。,（汤姆逊Tomson 1927）,其它实验,电子通过金多晶薄膜的衍射实验,戴维孙和汤姆孙因验证电子的波动性分享 1937年的物理学诺贝尔奖金,48,电子的单缝、双缝、三缝和四缝衍射实验,（约恩逊1961),由于电子波长比可见光波长小35个数量级 (10-310-5倍),因而电子显微镜可使分辨率大大提高。,49,例题：,1. 在宏观上，如飞行的子弹m=10-2Kg，速度 v=5.0102m/s 对应的德布罗意波长为：,2.在微观上，如电子m0=9.110 -31kg， 速度v =5.0107m/s, 对应的德布罗意波长为：,太小测不到！,“宏观物体只表现出粒子性”,思考：此例电子波长与x射线相当,为什么电子没有 x射线那样的穿透力?,50,例: P151-（二）5,动能为0.025eV的中子：,T=290K的 热中子：,例:P151-（二）6,要获得电子波长0.01nm,加速电压,51,粒子的波动性在位置、动量等物理量测量中,表现出,p,三 不确定关系,x方向电子的位置不确定量为：,x =d,52,1927海森堡（W.Heisenberg) 不确定关系,严格的理论给出,考虑到在两个一级极小值之外还有电子出现,其它物理量间也有不确定关系,53,可见，在原子尺度内，讨论速度已无意义。 轨道概念也不适用! 电子在空间的概率分布电子云。,设：电子Ek = 10eV，远小于电子静能,则,原子线度 x= 10 -10 m，,例1原子中电子运动不存在“轨道”,用不确定性关系作数量级估算,54,例2 在示波管中电子的运动。加速电压,在荧光屏上电子的位置确定在 0.1mm范围内可以认为令人满意。 即,由,得,而,所以可以用经典力学来处理。,h 0 :,55,解：,例3 波长589.3nm的钠光，谱线宽度,计算此光子沿x 轴运动时，,位置的不确定量x,不确定性关系的启发,1. 表明：不可用经典手段处理微观粒子,2. 微观粒子不可能静止,3. 给出了宏观与微观的分界线,-如何描述微观粒子的运动状态?,物质波的本质（物理意义）?,56,波动性：,“可叠加性”“干涉”“衍射”“偏振”,具有频率和波矢,没有实在的物理量在周期性变化,粒子性：,“整体性”,有确定轨道,随机性，没有“路径”,同,具有能量，动量,同,有一个物理量在周期性变化,微观粒子波粒二象性的理解,57,既是波,又是粒子,微观粒子波粒二象性的理解,既不是经典的波,也不是经典的粒子.,微观体系不是经典的粒子，它没有确定的“路径”; 也不是经典的波，没有实在的物理量在波动。,是粒子，具有“颗粒性”、“完整性”； 是波,具有相干叠加性。,58,如何描述微观物体的状态?,物质波的物理意义?,2 态函数 薛定谔方程及应用,二.薛定谔方程,三. 一维无限深势阱,四. 一维势垒 隧道效应,一.概率波与态函数,59,平面简谐波 y(x, t) = Acos( t-kx),复数表示式,物质波,1.薛定谔（Schrdinger）假设:,用波函数描述状态,2.波函数的物理意义：,一 概率波和态函数,1926年玻恩（M.Born）对波函数物理意义的假定：,在某一时刻、空间某一地点,粒子出现的概率正比于该时刻、该地点波函数的平方.,60,I大，光子出现概率大；,I小，光子出现概率小。,波动性:某处明亮则某处光强大, 即 I 大 粒子性:某处明亮则某处光子多, 即 N大,光子在某处出现的概率和该处光振幅的平方成正比,回忆光的波粒二象性：,某处波函数振幅的平方,正比于该处单位体积内的粒子数,61,德布罗意波并不像经典波那 样代表实在的物理量的波动， 而是描述粒子在空间的概率分 布的概率波。,右图是计算机根据波函数计算绘制的原子内部图象,其中原子核被放大了.,经典的“轨道”已无意义!,62,物质波的波函数 是描述粒子在空间概率分布的“概率振幅”。,t 时刻在处 附近dV内发现粒子的概率为：,代表t时刻，在 处单位体积内找到粒子的概率，称为概率密度。,其模的平方,63,它无直接的,物理意义，,对单个粒子，,不同于经典波的波函数，,给出粒子的概率密度分布；,对N 个粒子，,给出粒子数的分布。,由于进行了量子力学的基本研究，特别是对 波函数作出的统计解释，获1954年诺贝尔物理学奖。,64,例: 设粒子在一维空间运动,其状态可用波函数描述为：,其中A为实常数,求：1)归一化的波函数；2)概率密度 3)何处几率最大,即：,解：,1)由归一化条件,归一化的波函数,2)概率密度：,3)何处几率最大,65,到目前为止，争论仍在进行。,费曼在他的讲义中写到：“目前只能讨论概率。虽 然是目前，但非常可能永远如此，非常可能永远 无法解决这个疑难，非常可能自然界就是如此。”,狄拉克在1972年的一次关于量子力学发展的会议 上作的闭幕词中这样说道：,波函数统计诠释涉及对世界本质的认识,哥本哈根学派,爱因斯坦,66,“在我看来，很显然，我们还没有得到量子力 学的基本定律。我们现在正在使用的定律需要作重 要的修改，只有这样，才能使我们具有相对论性的 理论。非常可能，从现在的量子力学到将来的相对 论性量子力学的修改，会象从玻尔理论到目前的量 子力学的那种修改一样剧烈。当我们作出这样剧烈 的修改之后，当然我们用统计计算对理论作出物理 解释的观念可能会被彻底修改。” 狄拉克,67,3.波函数须满足的数学条件,波函数的有限性：,根据波函数统计解释，在空间任何有限体积元 中找到粒子的概率必须为有限值。,波函数的单值性：,根据统计解释，要求波函数单值，从而保 证概率密度在任意时刻都是确定的。,势场性质和边界条件要求波函数及其一阶 导数是连续的。,波函数的连续性：,自然条件：单值、有限和连续,归一化条件,68,2) 是否正确，由实验检验,1.讨论,1) 是“建立”，不是导出,3) 地位相当于牛顿第二定律,4) 局限：非相对论；,没有自旋,1928年狄拉克（Dirac） 相对论方程,二 薛定谔方程,1926年薛定谔“建立”了非相对论量子力学的 动力学方程,69,当U(x)不含时间（定态）,2.定态薛定谔方程,可分离变量：,易证：,定态波函数具有如下形式：,定态薛定谔方程,振幅波函数满足：,70,本次必会内容,2.物质波函数的意义,已知函数会求概率、概率密度、分布函数,1. 不确定关系及计算,3. 薛定谔方程 理解薛氏方程的地位， 会用薛氏方程求解微观问题。（下次）,作业：拓展P153-154: 7, 9,71,应用牛顿定律解题步骤：,1.受力分析,2.列出动力学方程,3.代入初始条件求解,例:光滑水平面上固定半径为R的圆环围屏,质量为m 的滑块沿内壁运动,摩擦系数为. 求:(1)当滑块速度为v时,所受摩擦力及切向加速度. (2)滑块的速度由v减至v/3所需时间.,三 无限深势阱中的粒子,1.势能函数,代入方程,2.写出通解,系数待定,3.由波函数自然条件定特解,应用薛定谔方程解题步骤：,72,学完一维无限深势阱内容, 思考并回答以下问题：,1.一维无限深势阱中的粒子受到什么力的作用？ 若是一个经典的粒子将如何运动？ 2. 波函数求解步骤。 3. 计算了什么结果？即最后你求出了什么？ 4.量子数是如何得到的？ 5.波函数是如何描述状态的？ 6. 根据计算结果说明粒子是如何在势阱中运动的？ 7.试比较经典结果与量子方程结果。,关于一维无限深势阱：,73,是实际情况的极端化和简化,粒子在势阱内受力为零，势能为零，在阱内自由运动。 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 不能到阱外。,74,75,势函数,，,1.定态薛定谔方程,令,得,阱内：,阱外：,76,2.分区求通解,A和B是待定常数,3.由波函数自然条件定特解,，（A 0）,阱外：,阱内：,由波函数连续性的要求，阱内的波函数在阱壁 上的值也必为零。,要求：,77,能量本征值（能级）,结果表明： 1）粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值。,能量量子化并不是强行假设, 而是方程求解的自然结果,能量量子化,2）最低能量(零点能),不确定关系零点能。,因为若束缚态动能为零，即速度的不确定范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大，即不被束缚。这与事实不符.,78,由归一化条件,4.根据归一化条件写出定态波函数,概率密度,考虑到振动因子,79,o,5、重新理解能量量子化 另一个角度考虑,由波函数连续性的要求，阱内的波函数在阱壁上的值也必为零。因此阱内的波一定是一个驻波。,允许的波长为:,粒子的动量,能量,粒子被限制在势阱内，粒子在阱外的概率为零,能级的量子化是由微观粒子的波动性造成的。,驻波条件！,80,n =1, 2, 3, （量子数）,能量是量子化的，,能级,存在最低能量（零点能),这是不确定关系要求的，是量子客体具有波粒二象性这种固有属性所决定的。,一维无限深势阱结论总结：,a或m很大（宏观）,E0（E连续）,81,一维无限深方势阱中运动的粒子波函数：,n称为量子数; n为本征态; En为本征能量。,*能量本征值En对应的能量本征函数组成完备的集合。 能量量子数n从1至.,*任何一个叠加态的波函数都可用这一组完备的本征函数展开。这组完备集合满足正交性。,*所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、确定的本征值、独立完整地存在于其中。 Ref.P158-例题17-5,82,o,a,定态波函数是驻波形式, 边界处是波节.,一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度,量子经典,玻尔对应原理,83,比较经典结果与量子结果,经典结果,量子结果,粒子的速度、能量可以连续取任意值,能量是量子化的。,粒子在阱内匀速运动，或静止,粒子能量不为零，粒子无法静止。,粒子在各处概率相等,粒子出现的概率为,粒子在x1x2之间的概率为,粒子在x1x2之间的概率为,84,例P205-17.28:质量为m的微观粒子处在长度为L的一维无限深势阱中,试求:,解:(1),(1)粒子在0 x L4区间内出现的概率,并对n=1和n的情况进行讨论.,(2)在哪些量子态上,L4处的概率密度取极大?,概率密度,定态波函数,粒子在0 x L4区间内出现的概率:,85,L/4,n=1,经典粒子 在x1x2之间的概率为,(2) L4处的概率密度,L4处的概率密度最大对应于,L4处的概率密度极大.,86,学完一维无限深势阱内容, 思考并回答以下问题：,1.一维无限深势阱中的粒子受到什么力的作用？ 若是一个经典的粒子将如何运动？ 2. 波函数求解步骤。 3. 计算了什么结果？即最后你求出了什么？ 4.量子数是如何得到的？ 5.波函数是如何描述状态的？ 6. 根据计算结果说明粒子是如何在势阱中运动的？ 7.试比较经典结果与量子方程结果。,关于一维无限深势阱：,87,是实际情况的极端化和简化,粒子在势阱内受力为零，势能为零，在阱内自由运动。 在阱外势能为无穷大，在阱壁上受极大的斥力, 不能到阱外。,三 无限深势阱中的粒子,88,89,势函数,，,1.定态薛定谔方程,令,得,阱内：,阱外：,90,2.分区求通解,A和B是待定常数,3.由波函数自然条件定特解,，（A 0）,阱外：,阱内：,由波函数连续性的要求，阱内的波函数在阱壁 上的值也必为零。,要求：,91,能量本征值（能级）,结果表明： 1）粒子被束缚在势阱中，能量只能取一系列分立值。,能量量子化并不是强行假设, 而是方程求解的自然结果,能量量子化,2）最低能量(零点能),不确定关系零点能。,因为若束缚态动能为零，即速度的不确定范围为零，则粒子在空间范围趋于无穷大，即不被束缚。这与事实不符.,92,由归一化条件,4.根据归一化条件写出定态波函数,概率密度,考虑到振动因子,波函数,93,o,5、重新理解能量量子化 另一个角度考虑,由波函数连续性的要求，阱内的波函数在阱壁上的值也必为零。因此阱内的波一定是一个驻波。,允许的波长为:,粒子的动量,能量,粒子被限制在势阱内，粒子在阱外的概率为零,能级的量子化是由微观粒子的波动性造成的。,驻波条件！,94,n =1, 2, 3, （量子数）,能量是量子化的，,能级,存在最低能量（零点能),这是不确定关系要求的，是量子客体具有波粒二象性这种固有属性所决定的。,一维无限深势阱结论总结：,a或m很大（宏观）,E0（E连续）,95,一维无限深方势阱中运动的粒子波函数：,n称为量子数; n为本征态; En为本征能量。,*能量本征值En对应的能量本征函数组成完备的集合。 能量量子数n从1至.,*任何一个叠加态的波函数都可用这一组完备的本征函数展开。这组完备集合满足正交性。,*所谓叠加态，就是各本征态以一定的几率、确定的本征值、独立完整地存在于其中。 Ref.P158-例题17-5,96,o,a,定态波函数是驻波形式, 边界处是波节.,一维无限深方势阱中粒子的波函数和概率密度,量子经典,玻尔对应原理,97,学完一维无限深势阱内容, 思考并回答以下问题：,1.一维无限深势阱中的粒子受到什么力的作用？ 若是一个经典的粒子将如何运动？ 2. 波函数求解步骤。 3. 计算了什么结果？即最后你求出了什么？ 4.量子数是如何得到的？ 5.波函数是如何描述状态的？ 6. 根据计算结果说明粒子是如何在势阱中运动的？ 7.试比较经典结果与量子方程结果。,关于一维无限深势阱：,98,3. 计算了什么结果？即最后你求出了什么？,粒子可能的能量值 (能级),粒子坐标的概率分布函数,态函数,概率分布函数,4.量子数是如何得到的？,由波函数在边界连续(波函数的标准化条件)得到的.,99,o,a,5.波函数是怎样描述状态的?,以2态为例:,a,o,能量:,100,坐标: 概率分布函数,能量:,动量:,其它物理量:,6. 根据计算结果说明粒子 是如何在势阱中运动的？,101,7.比较经典结果与量子结果,经典结果,量子结果,粒子的速度、能量可以连续取任意值,能量是量子化的。,粒子在阱内匀速运动，或静止,粒子能量不为零，粒子无法静止。,粒子在各处概率相等,粒子出现的概率为,粒子在x1x2之间的概率为,粒子在x1x2之间的概率为,102,教材:,103,例P205-17.28:质量为m的微观粒子处在长度为L的一维无限深势阱中,试求:,解:(1),(1)粒子在0 x L4区间内出现的概率,并对n=1和n的情况进行讨论.,(2)在哪些量子态上,L4处的概率密度取极大?,概率密度,定态波函数,粒子在0 x L4区间内出现的概率:,104,L/4,n=1,经典粒子 在x1x2之间的概率为,(2) L4处的概率密度,L4处的概率密度最大对应于,L4处的概率密度极大.,105,补充1:粒子在一维无限深势阱中运动, 某一能态上的波函数的曲线如图.则*表示_,且粒子出现概率最大的位置为_.,0 a x,概率密度,补充2:一维无限深势阱宽度为a,粒子的波函数,则粒子的概率密度为_.在阱内 发现粒子的概率为_.当n时,其概率是_.,106,一维势垒的势函数为:,各区内的一维定态薛定谔方程分别是:, ,四 势垒 隧道效应,107,可求得波函数分别为:,隧道效应,经典结果：,如果E U0,如果E U0,透过率=1,反射率=1,量子结果：,透过率、反射率,透过率、反射率,108,109,扫描隧道显微镜（STM） （Scanning Tunneling Microscopy）,STM是一项技术上的重大发明，用于观察表面的微观结构（不接触、不破坏样品）。,原理：利用量子力学的隧道效应,1986. Nob：,鲁斯卡（E.Ruska） 1932发明电 子显微镜,隧道效应的应用,110,例:粒子在外力场中沿x轴运动,如果它在力场中的势能分布如图所示,对于能量为EU0从左向右运动的粒子,用1,2,3分别表示在,三区发现粒子的概率,则有:, ,例:20世纪80年代以后,显微技术出现革命.产生了以扫描隧道显微镜为代表的新一代显微镜.其基本原理是量子力学_效应,分辨率达到原子的量级.,隧道效应,或势垒贯穿,(C),作业: P152-8,9; P154-8,111,氢原子中的电子在原子核的静电场内,故势函数,电子的定态薛定谔方程是:,因势场为球对称场,故改用球极坐标,将方程变为:,1、氢原子的薛定谔方程,为中心力场U( r ),3 原子结构,一. 氢原子,112,代入球极坐标薛定谔方程,可得:,按照波函数标准条件解三个微分方程,就得到氢原子 的量子化特性三量子数n,l,m,对波函数(r,)分离变量,得:,113,2.氢原子中电子的概率分布,电子的概率密度:,电子在空间体元dV=r 2sindrdd中的概率为:,n=2 l =1 ml =1,电子云,114,氢原子中电子的径向概率分布,115,由此看出径向概率幅、角向概率幅都是驻波。 这是由原子的稳定性决定的。,116,3.量子化条件和量子数,(1)能量量子化和主量子数n 使R(r)满足连续条件可得:,按照波函数标准条件解三个微分方程,就得到氢原子 的量子化特性.,n:主量子数,与玻尔理论所得结果相同.,n=1,氢原子处于基态,n1氢原子处于激发态.,117,(2)角动量量子化和角量子数l 使()满足有限 条件的波函数有定解,必须有电子绕核运动的角动 量的量子化:,与玻尔理论比较,区别 (1) l = 0, Lmin= 0 ; 玻尔理论 Lmin=h 2,(2) l 受主量子数的限制,118,(3)角动量空间量子化和磁量子数ml： 使()满足单值条件可得 电子绕核运动的角动量L的空间取向不连续, 其在磁场方向的投影满足量子化条件:,即：角动量 在空间的取向只有(2l +1)种可能性，,是量子化的。,119,l = 2，,只有五种可能的取向。,对 z 轴旋转对称,例如：,120,空间取向量子化,由此看来: 微观物理量取分立值(量子化),是普遍规律,121,氢原子中的电子在原子核的静电场内,故势函数,电子的定态薛定谔方程是:,因势场为球对称场,故改用球极坐标,将方程变为:,1、氢原子的薛定谔方程,为中心力场U( r ),3 原子结构,一. 氢原子,122,代入球极坐标薛定谔方程,可得:,按照波函数标准条件解三个微分方程,就得到氢原子 的量子化特性三量子数n,l,m,对波函数(r,)分离变量,得:,123,2.氢原子中电子的概率分布,电子的概率密度:,电子在空间体元dV=r 2sindrdd中的概率为:,n=2 l =1 ml =1,电子云,124,氢原子中电子的径向概率分布,125,由此看出径向概率幅、角向概率幅都是驻波。 这是由原子的稳定性决定的。,126,3.量子化条件和量子数,(1)能量量子化和主量子数n 使R(r)满足连续条件可得:,按照波函数标准条件解三个微分方程,就得到氢原子 的量子化特性.,n:主量子数,与玻尔理论所得结果相同.,n=1,氢原子处于基态,n1氢原子处于激发态.,127,(2)角动量量子化和角量子数l 使()满足有限 条件的波函数有定解,必须有电子绕核运动的角动 量的量子化:,与玻尔理论比较,区别 (1) l = 0, Lmin= 0 ; 玻尔理论 Lmin=h 2,(2) l 受主量子数的限制,128,(3)角动量空间量子化和磁量子数ml： 使()满足单值条件可得 电子云绕核运动的角动量L的空间取向不连续, 其在磁场方向的投影满足量子化条件:,即：角动量 在空间的取向只有(2l +1)种可能性，,是量子化的。,129,l = 2，,只有五种可能的取向。,对 z 轴旋转对称,例如：,130,空间取向量子化,由此看来: 微观物理量取分立值(量子化),是普遍规律,131,让原子束经过不均匀的强磁场,观察屏幕上沉积的原子,N,S,B,K,P,1922年，史特恩（O.Stern) 和盖拉赫（W.Gerlach) 的实验揭示了角动量取向的量子化。,将分离成(2l1)个空间成分。,132,基态银原子n=1,应该出现怎样的现象? l0 基态原子的角动量等于其价电子的角动量, 轨道磁矩=0。 基态银原子束在磁场中应该不分裂.,电子云转动产生“轨道”磁矩。角量子数为l 的原子 经不均匀磁场后，由于磁矩有(2l1)个不同取向， 将分离成(2l1)个空间成分。,133,1.施特恩-盖拉赫实验(1922-1927),让原子束经过不均匀的强磁场,观察屏幕上沉积的原子,N,S,B,K,P,1922年，史特恩（O.Stern) 和盖拉赫（W.Gerlach) 的实验揭示了角动量取向的量子化。,基态银原子,分裂为两束,二. 电子自旋,134,但基态银原子束分离成两个空间成分， 表明：电子除具有“轨道”角动量外 还应具有某种角动量。,1924年,W.Pauli为了解释氢原子光谱的精细结构, 提出了1/2量子数,但未给出物理解释.,电子云转动产生“轨道”磁矩。角量子数为l的原子 经不均匀磁场后，由于磁矩的不同取向，将分离 成(2l1)个空间成分。,135,1925年乌伦贝克（G.E.Uhlenbeck）和古德兹 米特（S. Goudsmit）提出了大胆的假设：,电子带负电，磁矩的方向和 自旋的方向应相反。,这个是模型假设！实际并非如此！,2.电子的自旋（electron spin）,136,电子的自旋,电子有自旋运动,自旋角动量及相应的自旋磁矩在磁场 中的取向也是量子化的.,电子自旋角动量在磁场中的分量为: