弹性力学及有限元习题参考答案赵均海、汪梦甫.pdf

习习 题题 11 试由下式求出应变分量，并指出物体受力的状态。 u=f1(x,y)+Az 2+Dyz+y-z+a、 v=f2（x,y）+Bz 2-Dxz-x-z+b、 w=f3（x,y）-z（2Ax+2By+C）+x+y+c 式中 A、B、C、D，a，b，c， 是常数 解解： （： （1 1）由由 P P1616 几何方程几何方程( (1.23a)1.23a)得到得到应变应变分量的表达式分量的表达式： x= x yxf x ),(u 1 ， y= y ),( y v 2 yxf ， z=CBy2Ax2 z w ， x yf )，x（f y ）y，x（ y u x v 21 xy Dx y ）y，x（ z v y w 3 yz f Dy y ）y，x（ z u x w 3 zx f （2 2）由）由 P P7777 物理方程物理方程( (5.3a)5.3a)（广义（广义胡克定律胡克定律: :应变应变分量分量与与应力分量之间应力分量之间成线性成线性关系）关系） = x+ y +z= x yxf ),( 1 + y ),( 2 yxf CBy2Ax2 x yxf ),( 22 1 xx y ),( 22 2 yy yxf ）CBy2Ax2（22 zz ） )，x（f y ）y，x（ （ 21 xyxy x yf ）Dx y ）y，x（ （ 3 yzyz f ） Dy y ）y，x（ （ 3 zxzx f 由第五章空间问题 Lame 弹性常数与杨氏弹性模量 E、泊松比、剪切弹性模量 G 的关系 P77(5.4)得到： ）1（2 E G， ）21）（1（ E 其中 E 为杨氏弹性模量，为泊松比，G 为剪切弹性模量。 x yxf ),( 22 1 xx = ）21）（1（ E + ）1（ E x yxf ),( 1 yy 2= ）21）（1（ E + ）1（ E y ),( 2 yxf zz 2= ）21）（1（ E + ）1（ E ）CBy2Ax2（ xyxyxy ）1（2 E yzyzyz ）1（2 E xzxzxz ）1（2 E 由空间问题的平衡微分方程 P76(5.1a)（联系应力分量和体力分量的方程） 0X zyx xz xy x 0Y zyx yzyyx 0Z zyx z zy zx 已知： )A2 yx f （ ）21）（1（ E x f ）21）（1（ ）1（E x 2 2 2 1 2 x )B2 yx f （ ）21）（1（ E y f ）21）（1（ ）1（E y 1 2 2 2 2 y 0 z z ) yx f x f （ ）1（2 E y 2 2 2 1 2 xy 0 z xz ，0 z yz ) x f yx f （ ）1（2 E x 2 2 2 1 2 xy 2 3 2 xz x f ）1（2 E x 2 3 2 zy y f ）1（2 E y zyx X xz xy x )A2 yx f （ ）21）（1（ E x f ）21）（1（ ）1（E 2 2 2 1 2 +) yx f x f （ ）1（2 E 2 2 2 1 2 zyx Y yzyyx ) x f yx f （ ）1（2 E 2 2 2 1 2 + )B2 yx f （ ）21）（1（ E y f ）21）（1（ ）1（E 1 2 2 2 2 zyx Z z zy zx 2 3 2 x f ）1（2 E + 2 3 2 y f ）1（2 E 1.2 已知弹性体内的某一点的应力状态为： = =- -75Mpa;75Mpa; =0Mpa;=0Mpa; = =- -30Mpa;30Mpa;=50Mpa;=50Mpa; =75Mpa;=75Mpa; =80Mpa;=80Mpa; 试求方向余弦（1 2， 1 2， 2 2 ）的微分面上的全应力SN,正应力N,以及切应力N。 解：解： （l,m,n）=（1 2， 1 2， 2 2 ） (1) 先计算沿坐标轴方向的三个应力XN,YN,ZN。 XN=lx+myz+ nzx=44.06Mpa YN= lxy+my+ nyz=-28Mpa ZN= l zx+m zx+ nz=-18.71Mpa (2) 计算斜面上的全应力 SN 2=X N 2 +YN 2+ Z N 2=3069.69 SN=55.4Mpa (3) 正应力 N=lXN+mYN+nZN=-5.2Mpa (4) 切应力 N 2=S N 2- N 2=3042.4Mpa N=55.2Mpa; 习题 1.3 解： （1）应力不变量： 因为 I1= x+ + ； I2= y+ 2 2 2 将已知代入上式，得：I1= 25 MPa ，I2= 3250 MPa （2）求主应力： 由| x | = 0 , 将已知带入， 即| 55 040 00 0 40030 | = 0 ， 展开，得： ( 55)( + 30) 1600 = 0 ， 化简，整理，得：3 252 3250 = 0 ，解得 1=46 MPa , 2= 0 MPa , 3= 71 MPa （3）主方向： l（) + = 0 + ( ) + = 0 + ( ) = 0 2+2+2= 1 第一主方向：将1= 46 MPa 及个分量代入上式，有： 101l+ 40 = 0 46 = 0 40+ 16n = 0 2+ 2+ 2= 1 21l +8n = 0 46 = 0 2+2+2= 1 , 解得： l = 8 505 = 0 = 21 505 即(l1,1,1) = ( 8 505，0， 21 505 ) 同理可得， 第二主方向：(l2,2,2) = (， ，)； 第三主方向：(l3,3,3) = (， ，). （4）主切应力： （1 2 3） 习题习题 8.68.6 图 8.20 为一受集中力 P 作用的结构，设 E 为常量， 1 6 v ，1t 。试按平面应力问 题计算，采用三角形单元，求出节点位移。 解： （1）定义单元 单元定义和有关数据列于表 1 中。在表 1 中 ,c ,c ,c i m jmijm jmijmi ijmij byyxx byyxx byyxx 表 1 单元定义与有关数据 i j m i b j b m b i c j c m c 1 (0,1) 2 (1,1) 4 (0,0) 1 2 1 -1 0 -1 0 1 2 (1,1) 4 (0,0) 5 (1,0) 1 2 0 -1 1 1 0 -1 2 (1,1) 5 (1,0) 6 (2,0) 1 2 0 -1 1 1 -1 0 2 (1,1) 3 (2,1) 6 (2,0) 1 2 1 -1 0 0 -1 1 (2)求各单元的刚度矩阵 从表 1 中可看出，单元的刚度矩阵为： 111213 1 212223 313233 (i1, j2,3) KKK KKKKm KKK 其中子阵表达式为： 2 2 11 22 (r,si, j,m) 114(1) 22 118 11 4(1)35 4(1) 62 rsrsrsrs rs rsrsrs b bc cb cc b Et K b cc cb b EtEE 11 1717 18 1212 171735 1212 ii E KK 12 5 1 18 12 1535 612 ij E KK 22 10 18 5 350 12 jj E KK 33 5 018 12 35 01 mm E KK 13 51 18 126 535 1 12 im E KK 23 1 0 18 6 535 0 12 jm E KK 由对称性可知： 2112 T KK 1331 T KK 2332 T KK 将上述各子式代入单元刚度矩阵中，得： 1 177551 1 121212126 717155 1 121261212 11 1100 18 66 355555 00 12121212 5555 00 12121212 11 1001 66 E K 同理，可求得单元、的刚度矩阵： 2 5555 00 12121212 11 0101 66 11 0101 18 66 555535 00 12121212 515177 1 126121212 515717 1 126121212 E K 3 5555 00 12121212 11 0110 66 511775 1 18 126121212 57171535 1 121212612 11 0110 66 5555 00 12121212 E K 4 11 1000 66 5555 00 12121212 517751 0 18 121212126 15717535 1 612121212 5555 00 12121212 11 0101 66 E K （3）总体刚度矩阵为： 17712500520000 71725005120000 122340020710007 55034557002470 0005177000052 00257170000512 18 5507001701220035 12 21270000175500 0010000125340125 00024002503425 000755001 E K 22170 00702120055017 （4）求总体荷载列阵 11223445566 T xyxyxxyxyxy KPPPPPPPPPPPP （5）引入边界条件，求解刚度方程 本题中的几何边界条件为： 14 0 经处理后的总体刚度方程变为： 1 2 2 3 3 4 5 5 0 03400210007 00345502470 0051770052 2571700512 18 01000034012535 12 00240003425 00755122170 07021255017 0 v u v u vP E v u v 6 6 u v 求解上述反防尘即可得节点位移为： 1 2 2 3 3 4 5 5 6 6 0.6179 -3.6032 1.1516 -10.6447 -2.4807 -4.1620 -3.5491 -9.5866 v u v u v P vE u v u v 1.4.试证明在( 3 3 ， 3 3 ， 3 3 )方向上的正应力 N 和切应力 N 与不变量的关系为： N = 3 1 1 , N = 3 1 )3(2 2 2 1 解：根据书 P11 页可以知道，第一应力不变量 1 = 1 + 32 ， 2 = 133221 ， 又斜面法向应力表达式为： 3 2 2 2 1 2 nml N ， 22 3 2 2 2 1 22 3 22 2 22 1 2 )(nmlnml N ，又 3 3 nml,则 3 2 2 2 1 2 nml N =)( 3 1 321 = 1 3 1 ， 22 3 2 2 2 1 22 3 22 2 22 1 2 )(nmlnml N = 2 321 2 3 2 2 2 1 )( 9 1 )( 3 1 = 2 321323121 2 321 )( 9 1 )(2)( 3 1 = 2 12 2 1 9 1 )2( 3 1 = 2 2 1 3 2 9 2 ， 既)3(2 3 1 62 3 1 2 2 12 2 1 N ，综上所述，原题的证。 1.5 试利用坐标轴旋转，证明各向同性的线弹性体的主应力状态与主应变状态重合。 证明： 如上图所示设 1， 2， 3 轴为物体内某点的应变主轴对应的剪应变23=31=12=0.现取 x， y， z 轴分别为 1，2，3 轴，则由广义胡克定律第 4 式得：23=C411+C422+C433 （a） 式中1，2和3为改点主应变（对应 1，2，3 轴） 。 将此坐标系绕 2 轴转 180 0,得新的坐标轴 1,2,3,以(l 1,m1,n1),(l2,m2,n2),和(l3,m3,n3) 分别表示 1,2,3轴对原坐标系 0123 各轴的方向余弦,知: l1=n3=cos180 0=-1 m2=cos0 0=1 l2=l3=m1=m3=n1=n2=cos90 0=0 因此，新坐标轴也指向应变主轴方向，剪应变也应该等于零，且因各项同性时，弹性系数 C41,C42和 C43应该不随方向面改变，故取 x，y，z 分别为 1,2和 3轴，同样由式（4-3） 第 4 式得：23=C411+C422+C433 (b) 式中，1，2，3为该点主应变（对应 1，2，3轴） ，而由转轴应力分量变化 公式得：23=n3m223=-23 又由转轴应变分量变换公式（3-12）得： 1=l1 2 1=1 1 x 3 3 2 2 1 (l1,m1,n1) (l2,m2,n2) y (l3,m3,n3) 2=m2 2 2=2 (d) 3=n3 2 3=3 (c)，(d)，(b)则有 -23=C411+C422+C433 （e） （a）与（e）比较，可知：23=-23 欲使上式成立，只有23=0.同理可证23=31=0.这说明，若 1，2，3 是应变主轴，也是应 力主轴。从而证明对各向同性弹性体内任一点，应变主轴与应力主轴重合。 习题 2.1 单位厚度矩形截面悬臂梁如图所示,不计体积力,位移分量分别表示为: M ulx y EI , 2 2 22 MM vlxy EIEI 其中, 3 12 h I .试证明这一组位移分量是基本问题的弹性力学问题解答. 解解:这是一个位移边值问题.欲证明这一组位移分量是基本问题的弹性力学问题解答,只需证 明在弹性体内满足平衡方程,在位移边界上能够满足位移边界条件即可. 将这一组位移分量带入位移表示的平衡方程: 222 222 11 0 122 Euvuvv X vxyx y 222 222 11 0 122 Evvvvu Y vyxx y 因为体积力 X=0,Y=0,则有: 上 2 h 部分= 2 1 E v 00000 下 2 h 部分= 2 11 00 122 EMV MV M vEIEIEI 两式均满足.再考虑位移边界条件,由于悬臂梁上下两部分相同高度都为 2 h ,沿 X 轴是对称的, 所以 u=0,且因为无论是 x=0 还是 x=L,均有 v=0,所以能够满足位移边界条件. 2.2 已知应力分量为： 若不计体积力，试证明它是弹性力学问题的解，并确定系数 C，在图 2.12 所示平面构件边 界上画出边界面力分布。 解：欲证明是否为弹性力学问题的解，则需证明在弹性体内部满足式（2.24） ，在应力边界 上能够满足式（2.13） 。 由不计体积得 X=0，Y=0， 由平衡方程和应力表示的应变协调方程得： 得： 2 q C 由圣维南原理知：1, 0lm， x X， xy Y， （2.13）可知： 所以是弹性力学问题的解。 所以边界面力分布如下图所示 3.1 已知应力函数 32 ()A xxy ， 试求对于下图所示正方形板在图示坐标系中的应 力边界（不计体积力） 。 解:将应力函数 32 ()A xxy代入应力函数表示的协调方程 444 4224 20 xxyy 显然该应力方程恒满足协调方程。 由于不计体力，对应的应力分量为 2 2 2 x Ax y 2 2 6 y Ax x ， 2 2 xy Ay x y x 代表了一个沿 x 轴方向上的应力场，如下图 x 6yAx 代表了一个沿 x 轴方向上的应力场，如下图 切应力 2 2 xy Ay x y 的应力场分布如下图 边界上的应力由上述上图的边界面力叠加得到。 则由比较法，该正方形板的应力边界条件： 上边： 0,6,2yxyyAxAa 下边： ,6,2yxyyaAxAa 左边： ,2 2 xxy a xAaAa 右边： ,2 2 xxy a xAaAa 习题 3.2 试证明表达式 22 3 P (34) 2h xyhy 是一个应力函数， 试画出对于如图 3.12 所示矩形板在坐标系中的边界面力。如果 hl，短边面力用一组合力表示，则适合解决什 么问题(不计体积力)？ 解： (1)将应力函数带入相容条件 4 x4 +2 4 x2y2 + 4 y4 = 0 由于 4 x4 = 0, 4 x2y2 = 0, 4 y4 = 0 因此应力函数是满足相容条件的 (2)应力分量表达式 = 2 y2 = 12 3 ,= 2 x2 = 0,= 2 xy = 3 2 (1 42 2 ) (3)矩形板各边上的面力(如下图)： AB 面: l = cos(,) = 1 m = cos(,) = 0 所以 = (1) ()=0 = ( 12 3 ) =0 = 0 = (1) () =0 = 23 (3 2 122 ) 其分布形状为抛物线形， 合成为 = 23 2 2 (3 2 122) = AD 面：l = cos(,) = 0 m = cos(,) = 1 所以 = (1) () = 2 = 23 (3 2 12 2 4 ) = 0 = 0 DC 面：l = cos(,) = 1 m = cos(,) = 0 所以 = 1 ()= 12 3 按直线规律分布 = () = = 23 (32 122) O y x l h/2 h/2 按抛物线规律分布 = 12ply 3 2 2 = 0 = ( )= 2 2 = = p 23 2 2 (3h 2 122) = 由以上分析可知，该应力函数可解决悬臂梁受集中力的弯曲问题。 3.3 试给出 = A5+B23+ 3+ 2+ 2可以作为应力函数的条件，确定图 3.13 所 示受均布载荷作用的单位厚度矩形悬臂梁时的各系数及应力分量（h l，且不计体力） 。 解： （1）相容条件： 将 = A5+B23+ 3+ 2+ 2带入相容方程， 得120A+ 24B = 0,若满足相 容方程，有： A = 1 5B. (a) （2）应力分量表达式 = 2 2 = 203302 +6, = 2 2 = 103+2 + 2, A D C B 3 2 6 2 + 6 2 = 2 = 302 2。 （3）考察边界条件：主要边界 y = 2 上，应精确满足应力条件 ()= 2 = 0 ,得 10 8 3+2 + = 0; (b) ()= 2 = ,得 10 8 3+2 + = ; (c) ()= 2 = ,得E 15 4 2= 0; (d) 在次要边界x = 0上,主矢和主矩都为零，应用圣维南原理用三个积分的边界条件代替： ()=0 2 2 = 0 ,满足条件； ()=0 2 2 = 0 ,得 5 2 +3= 0 ； (e) ()=0 2 2 = 0 ,满足。 联立求解(a)，(b)，(c)，(d)，(e),得： A = 53，B = 3，C = 10，D = 4，E = 3 4。 将各系数带入应力分量表达式，得： = ( 4 2 2 3 5 6 2 2 )， = 2 ( 1 3 4 3 3 )， = 3 2 (1 4 2 2 ). 3.4 受端荷载作用的单位厚度矩形悬臂梁如图所示，试取应力函数形式： = A + B2+ 3 确定各系数及应力分量（hl,且不计体积力） 。 解： 由题知， 不计体积力， 所以 X=Y=0， 将所假设的应力函数代入平衡方程， 则应力分量为： = 2 2 = 2 +6 = 2 2 = 0 = 2 = (+ 2 + 32) 根据圣维南原理，得： = 0, ()= = (2 +6) = 1 2 1 2 2 = 0 1 2 1 2 可得 B=0 即 = 6 = 0 = ( +32) 由边界条件确定 A,C，并求出应力分量： ( )= 2 = 0, ( )= 2 = 0, ()=0= 0, = ()=0 + = 0 1 2 1 2 得：A + 3 4 2 = 0 A + 1 4 2 = 即 = 3 2 = 2 3 所以 = 12 3 = 0 = 3 2 + 6 3 2 3.5 、设有单位厚度三角形悬臂梁（如图 3.15 所示） ，密度为，试取应力函数为纯三次多 项式： = 3+2 +2+3 图图 3.15 3.15 习题习题 3.53.5 图图 解：应力函数: = 3+2 +2+3 满足平衡方程的相应的应力分量表达式为: x= 2 y2 = 2 + 6 y= 2 2 = 6 +2 xy= 2 = 2 2 （1） 、上边界有(y)y=0= 0 , (xy)y=0= 0 , 解得: A=0，B=0。即 x= 2 + 6 y= xy= 2 （2） 、在斜边界上: l=cos (90。+ ) = sin ，m = cos sin x+ cos xy= 0, sinxy+cos y= 0 (2 + 6) 2 = 0 2 = 0 ,x = y = 1 即： (2 +6 ) 2 = 0 2 = 0 得： 2C = cot , 6D=cot2 即应力分量形式为： x= （xcot 2ycot2） y= xy= cot y g x 题 8.6：如图所示：为一个受到集中力 P 作用的结构，假设 E 为弹性模量，泊松比= 6 1 ， t=1。试按平面应力问题计算，采用三角形单元，求出节点位移。 1 1、将结构划成单元，并对其编号。 2 2、定义单元、定义单元 单元定义和有关数据见下表。 jimjim imjimj mjimji xxcyyb xxcyyb xxcyyb , , , ： 3 3、求各单元的刚度矩阵求各单元的刚度矩阵 从上表可以看出，4 个单元刚度不同通过 MATLAB 编程求解得到 i j m i b j b m b i c j c m c 单 元 号 1 （0,1） 2 （0，0） 3 （1，1） 2 1 -1 0 1 1 -1 0 2 （0，0） 4 （1，0） 3 （1，1） 2 1 -1 1 0 0 -1 1 3 （1，1） 4 （1，0） 5 （2，0） 2 1 0 -1 1 1 -1 0 3 （1，1） 5 （2，0） 6 （2，1） 2 1 -1 0 1 0 -1 1 单元的刚度矩阵为： 333231 232221 131211 1 KKK KKK KKK K3, 2, 1mji 其中子矩阵表达式为： srsrsrsr srsrsrsr rs bb v cccbbc bccbcc v bb Et K 2 1 2 1 2 1 2 1 )1 (4 2 mjisr, EE EEEEt 2, , 2 22 10 944. 1 10 944. 1 2 1 ) 6 1 1 (4 01. 0 )1 (4 )3, 2, 1( 0.2143 0 0 0.2143- 0.2143- 0.2143 0 0.5143 0.0857- 0 0.0857 0.5143- 0 0.0857- 0.5143 0 0.5143- 0.0857 0.2143- 0 0 0.2143 0.2143 0.2143- 0.2143- 0.0857 0.5143- 0.2143 0.7286 0.3000- 0.2143 0.5143- 0.0857 0.2143- 0.3000- 0.7286 1 mjiEK )3, 4, 2( 0.5143 0 0.5143- 0.0857 0 0.0857- 0 0.2143 0.2143 0.2143- 0.2143- 0 0.5143- 0.2143 0.7286 0.3000- 0.2143- 0.0857 0.0857 0.2143- 0.3000- 0.7286 0.2143 0.5143- 0 0.2143- 0.2143- 0.2143 0.2143 0 0.0857- 0 0.0857 0.5143- 0 0.5143 2 mjiEK )5, 4, 3( 0.2143 0 0.2143- 0.2143- 0 0.2143 0 0.5143 0.0857- 0.5143- 0.0857 0 0.2143- 0.0857- 0.7286 0.3000 0.5143- 0.2143- 0.2143- 0.5143- 0.3000 0.7286 0.0857- 0.2143- 0 0.0857 0.5143- 0.0857- 0.5143 0 0.2143 0 0.2143- 0.2143- 0 0.2143 3 mjiEK )6, 5, 3( 0.7286 0.3000 0.5143- 0.2143- 0.2143- 0.0857- 0.3000 0.7286 0.0857- 0.2143- 0.2143- 0.5143- 0.5143- 0.0857- 0.5143 0 0 0.0857 0.2143- 0.2143- 0 0.2143 0.2143 0 0.2143- 0.2143- 0 0.2143 0.2143 0 0.0857- 0.5143- 0.0857 0 0 0.5143 4 mjiEK 4 4、总体刚度矩阵组装、总体刚度矩阵组装 单元编号 整体编码 1,2,3 2,4,3 3,4,5 3,5,6 局部编码 , ,i j m , ,i j m , ,i j m , ,i j m 以整编码体表示 的单元刚度矩阵 1 33 1 32 1 31 1 23 1 22 1 21 1 13 1 12 1 11 KKK KKK KKK 2 33 2 34 2 32 2 43 2 44 2 42 2 23 2 24 2 22 KKK KKK KKK 3 55 3 54 3 53 3 45 3 44 3 43 3 35 3 34 3 33 KKK KKK KKK 4 66 4 65 4 63 4 56 4 55 4 53 4 36 4 35 4 33 KKK KKK KKK 总体刚度矩阵为： 666564636261 565554535251 464544434241 363534333231 262524232221 161514131211 KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK KKKKKK K 通过 MATLAB 求解得到： 总体刚度矩阵 5 5、求总体载荷列阵、求总体载荷列阵 T yxyxyxyxyxyx PPPPPPPPPPPPP 665544332211 E 式子中 yxyx PPPP 2211 ,限制了结构的刚体位移。 6 6、引入几何边界条件为：、引入几何边界条件为： 0 2211 vuvu 根据划 0 置 1 法,经过处理的总体矩阵为： 6 6 5 5 4 4 3 3 5 5 5 4 4 3 3 0.5143 0 0.5143- 0.0857 0 0 0 0.0857- 0 0.2143 0.2143 0.2143- 0 0 0.2143- 0 0.5143- 0.2143 1.7572 0.3000- 0.5143- 0.0857 0.2143- 0 0.0857 0.2143- 0.3000- 1.1571 0.2143 0.2143- 0 0.5143- 0 0 0.5143- 0.2143 1.4571 0.6000- 0.7286- 0.3000 0 0 0.0857 0.2143- 0.6000- 1.4571 0.3000 0.7286- 0 0.2143- 0.2143- 0 0.3000- 0.0857 1.1571 0 0.0857- 0 0 0.5143- 0.2143 0.3000 0 1.7572 v u v u v u v u E p P P P P P P P x y x y x y x 通过 MTLAB 求解上述方程为： 假设 P=0 0 0 0 0 0 0 -1 C=u3 v3 u4 v4 u5 v5 u6 v6 c=inv(k)*P 求解得节点位移为： 2422. 3 4083. 1 2544. 1 2691. 0 5821. 0 0985. 0 1151. 0 0084. 0 1 6 6 5 5 4 4 3 3 E v u v u v u v u 题 3-6 解：根据题意，采用半逆解法求解。根据材料力学弯曲的基本公式，假设材料符合简单的胡 克定律，可以认为矩形截面柱的纵向纤维无挤压，即0x。 （1）假设应力分量的函数形式。 0x （2）推求应力函数的形式。根据题意可知，体力为 X=0,Y=g,将0x带入教材应力公 式（2.25） ，x 2 2 y -Xx有 2 2 0 y 对y进行两次积分，得： ( )f x y （a） 1( )( )yf xfx (b) 其中(f x),1( )fx都是x的待定函数。 （3） 由相容方程求解应力函数， 将式(b)带入相容方程 （2.26） 444 4224 20 xxyy ， 得： 44 1 44 dd 0 dd f xfx y xx 这是 y 的一次方程，相容方程要求它有无数多的根，从而可知它的系数和自由项 都必须等于零。 4 4 d d f x x =0 ， 4 1 4 d d fx x =0 两个方程要求 32 ( )fAxxBxCx, 3 1 2 ( )fxExFx （c） 上两个方程中(f x）的常数项，1( )fx常数项和一次项已被略去。得应力函数表达式： 3232 ()()y ABxCxFxxEx (d) （4）由应力函数求应力分量。将式（d）带入教材中的式（2.25）得应力分量为： 2 2 0x y (e) 2 2 6262yYyAxyByExFgy x (f) 2 2 32xyABxC x y x (g) (5)考察边界条件，利用边界条件确定待定系数 0,()0x xa 0()0xy x ()xy xaq 0()0y y 0()0xy y 考察左边界： 0,()0x xa ， 自然满足； 0()xy x=-C=0 ； （h） 考察右边界 ()0x xa ， 自然满足； 2 ()32xy xaABCaaq (i) 考察上边界： 0()0y y 6 2ExF=0 从而推出 E=F=0 （j） 0()0xy y ， 2 32AxBx=0 得 A=B=0 与(i)相矛盾， 除非 q=0,否则不可能完 全满足，考虑上边界是很小部分的边界，属于次要边界，因此应用圣维南原理，使应力边界 达到近似满足，即合力为零，合力矩为零。 考虑次要边界条件，应有圣维南原理，三个积分的应力边界条件为 0 0 ()0 a y ydx （k） 0 0 ()0 a y yxdx (L) 232 0 00 ()( 32)0 aa yx ydxABxC dxaABax (m) 由式(i)、(m)联立求解得 2 32AaBaq 3 Aa 2 0Ba