大学医用高等数学习题.ppt

1,习 题 二,第二章：一元函数微分学,2,3. 设 f(x) 在 x=x0 点处可导, 试计算下列极限.,3,4,5. 讨论下列函数在点是否可导?,f(x)在 x=0 处连续. 由导数定义有:,因此函数 f(x) 在 x=0 点处可导.,5,f(x) 在 x=0 处连续, 由导数定义有:,因此 f(x) 在 x=0 处不可导.,6,6. 确定 a, b 的值, 使 在 x=1点处可导.,解: f(x) 在 x=1 处连续, 因此有 a+b=1 x=1 处左导数: 2xx=1=2 右导数: a 因此有 a=2, b=-1,7,*7. 若函数 f(x) 在 x0 点可导, 且 f(x0)0, 试计算极限,8,8. 设曲线 y=2x-x3,(1) 求 (1, 1) 点处的切线方程及法线方程; (2) (x0, y0) 点处的切线通过 (0, -2) 点, 求 (x0, y0) 点及该点处的切线方程、法线方程.,(1) y=2-3x3 y|x=1=2-3=-1 切线方程: y-1= - (x-1) x+y-2=0 法线方程: y-1= x-1 x-y=0,9,8.(2),解: 过 (x0, y0) 的切线方程: y-y0=(2-3x02)(x-x0) 因 y0=2x0-x03 y-(2x0-x03)=(2-3x03)(x-x0) 过 (0,-2), x=0, y=-2 代入: -2-2x0+x03 =-2x03 +3x03 x03 =-1, x0=-1, y0=-1 切线方程: y+1=-x-1 即 x+y+2=0 法线方程: y+1=x+1 即 y=x,10,12.(5)求导数,11,13. (1) y=xlnx,(5) y = x2x+(2x)x y=e2xlnx+exln(2x) =e2xlnx(2xlnx)+exln(2x)xln(2x) = 2x2x(lnx+1)+(2x)xln(2x)+1,y=elnxlnx=elnxlnx2lnx1/x=xlnx2lnx/x,ln y=1/2ln x+lnsin x+1/2ln(1-ex),12,14.求由下列方程确定的隐函数的导数.,(1) y=1+xey y=ey+xeyy (1+xey)y=ey,(2) y=tan(x+y) y=sec2(x+y)(1+y) 1-sec2(x+y) y=sec2(x+y),13,14. (3) x y=y x 两边取对数：y ln x=x ln y 两边求导数：,xy=ex+y y+xy=ex+y(1+y),14,15.试证明曲线 上任一点处的切线, 截两个坐标的截距之和为 a,解: 对方程两边求导: 切线方程: 化为截距式: 截距之和为,15,16.求下列函数的二阶导数,(3) y=xx ln y=x ln x 1/yy=ln x+1 y=xx(ln x+1),16,16.(4),两边对 x 求导:,17,17.设 f (x) 存在, 求下列函数的二阶导数,y=f (x+e-x) y=f(x2) 2x y=2f(x2)+f(x2) 4x2 (2) y=lnf(x),18,19.一质点作直线运动, 其运动规律为 ,其中路程 s 的单位为米, 时间的单位为秒, 求质点在第四秒末的速度与加速度?,答: 4 秒末的速度为1/4 米/秒, 加速度为 -1/32 米/秒2,19,20. 许多肿瘤的生长规律为,其中, v 表示 t 时刻的肿瘤的大小(体积或重量), v0 为开始 (t=0) 观察时肿瘤的大小, a 和 A 为正常数. 问肿瘤 t 时刻的增长速度是多少?,20,26.利用 LHospital 法则求下列函数极限,(1) (2),21,26. (3),22,26. (4),23,26. (5),26. (6),24,26. (7),26. (8),25,26. (9) 设函数 f(x) 存在二阶导数，f(0)=0, f(0)=1, f(0)=2, 试求,因函数二阶可导，函数及其导数在 x=0 处连续,由洛必大法则：,26,26. (10) 设函数有二阶连续导数,且,解: 化为指数函数 由洛必大法则,由(9) 题结果有: 因此原式 =e2, 求,27,27.试确定下列函数的单调区间,(3) f(x)=xe-x , (4) (3) f(x)=e-x-xe-x=e-x(1-x)=0 驻点: x=1 当 x0, 当 x1 时 f (x)0 因此在 (, 1) 内单调增加, (1, +) 内单调减少.,(4) 驻点: x=1, x0, 当 x1 时 f (x)0 (0, 1) 内单调增加, (1, + ) 内单调减少,28,28. 求下列函数的极值.,(2) (0, e) 内 f(x)0 x=e 为极小值点。 极小值 f(e)=e,29,28. (3),驻点: x =1, x = -1 (- ,-1) 内 f(x)0 ; (1,+) 内 f(x)0; 所以 x = -1 为极小值点. 极小值: f(-1)=-3 x =1为极大值点. 极大值 f(1)=3,30,28. (4),驻点：x=2; x=3 处不可导。 当 x0; x2 时 f(x)3 时 f(x)0. x=3为极小值点. f极小(3)=0,31,29. 试问 a 为何值时, 函数 f(x)=a sin x+1/3sin3x 在 x=/3 处具有极值? 它是极大值, 还是极小值?并求此极值.,解: f(x)=a cos x+cos3x 当 x=/3 时 a cos /3+cos=0, a/2-1=0 , a=2 f (x)=-2sin x-3sin3x f (/3)=-23/20 因此 x= /3 处具有极大值. f(x= /3)= 23,32,31. 测量某个量, 由于仪器的精度和测量的技术等原因, 对量 A 进行 n 次测量, 其测量的数据分别为 x1, x2,xn,取数 x 为量 A 的近似值, 问 x 取何值时, 才能使其与 xi (i=1, 2, , n) 之差的平方和最小? 解: 令,33,32. 19个月婴儿体重 W(g) 的增长与月龄 t 的关系有经验公式,lnW-ln(341.5-W)=k(t-1.66) 问 t 为何值时, 婴儿的体重增长率 v 最快? 两边对 t 求导:,34,代入原式中:,35,33. 已知口服一定剂量的某种药物后, 其血药浓度 c 与时间 t 的关系可表示为,问 t 为何值时, 血药浓度最高, 并求其最高浓度.,36,35. 已知半径为 R 的圆内接矩形, 问它的长和宽为多少时矩形的面积最大?,解: 设矩形的宽和长分别为 x, y 则有: x2+y2=4R2 矩形的面积: S=xy=xR2-x2,37,36. 在研究阈值水平时电容放电对神经的刺激关系中, Hoorweg发现引起最小反应(肌肉的收缩)时, 电压U与电容器的电容量 c 有关, 其经验公式为:,其中 R 是电阻a , b 为正常数. 若电容的单位为微法(F), 电压为伏特(V), 由物理学,与负荷相对应的电能为E=5cU2 (尔格(erg), 从而有,试问, 当电容为多少微法时, 电能最小, 其最小电能为多少?,38,37. 判别下列曲线的凹凸区间与拐点.,y=x arctan x y =arctan x+x/(1+x2) y“=1/(1+x2)+ (1-x2) / (1+x2)2 = 2/(1+x2)20 所以曲线在 (-,+) 内是凹的.,(2) y=ln(x2-1) 曲线在 (-,+) 内是凸的.,39,38. 求下列曲线的凹凸区间与拐点。,（1）y=3x4-4x3+1 y=12x3-12x2 令 y“=36x2-24x=12x(3x-2)=0 x=0, x=2/3,40,38.（2）y=ln(1+x2),令 y“=0 , x=-1, x=1,41,38. (3),x=-3 ，x=0 x=3 处,42,38.（4）y=(x-5)5/3+2x+1,x=5 处函数连续, 而二阶导数不存在 当 x5 时, y0 故 (-, 5) 内函数是凸的 (5, +) 内函数是凹的 x =5 是拐点.,43,*39. 已知曲线 y=ax3+bx2+cx+d 在 (1, 2) 点处有水平切线, 且原点为该曲线上的拐点, 求 a, b, c, d 之值, 并写出此曲线方程.,解: y=3ax2+2bx+c y=6ax+2b 曲线过 (1, 2): 2=a+b+c+d 曲线过原点: 0=d 当 x=1 时, y=0 : 3a+2b+c=0 当 x=0 时, y=0 : 2b=0 解方程组得: a= -1, b=0, c=3, d=0 曲线方程: y=-x3+3x,44,40. (1) 求下列曲线渐近线,因此曲线有水平渐近线 : y =1,因此曲线有垂直渐近线: x =1,45,因此曲线有垂直渐近线: x =0,因此有斜渐近线 y = x,46,40. (3) 描绘下列函数的图形,定义域: (0,+), 渐近线为 x=0, y=0,47,f(e)=1/e , f(e3/2)=3/2e-3/2,48,40. (4),驻点: x=-1, x=3; x=1 处不可导. x=1 处二阶导数不存在, 渐近线: x=1,49,f(-1)=2 f(0)=-9/4 f(3)=0,50,练习题：,函数 在（-，+）内可导，则求 f(0) 2. y = sin x2+ln2x , 则 y= 3. y = e-2x-arctan2 , 则 dy = 4. y = x3+3 在 x=1 处的切线方程为 5. y=x+exy 求 y 6. 求极限:,5