§ 抛物线及其标准方程

1 / 10 抛物线及其标准方程 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲 山课件 m 抛物线及其标准方程 【学情分析】： 学生已经学习过椭圆和双曲线，掌握了椭圆和双曲线的定义。经历了根据椭圆和双曲线的几何特征，建立适当的直角坐标系，求椭圆和双曲线标准方程的过程。 【教学目标】： （ 1）知识与技能： 掌握抛物线定义和抛物线标准方程的概念；能根据抛物线标准方程求焦距和焦点，初步掌握求抛物线标准方程的方法。 （ 2）过程与方法： 在进一步培养学生类比、数形结合、分类讨论和化归的数 学思想方法的过程中，提高学生学习能力。 （ 3）情感、态度与价值观： 培养学生科学探索精神、审美观和理论联系实际思想。 【教学重点】： 抛物线的定义和抛物线的标准方程。 【教学难点】： （ 1）抛物线标准方程的推导； （ 2）利用抛物线的定义及其标准方程的知识解决实际问题。 2 / 10 【课前准备】： Powerpoint 或投影片 【教学过程设计】： 教学环节教学活动设计意图 一、复习引入抛物线的定义 1.椭圆的定义：平面内与两定点 F1、 F2 的距离的和等于常数（）的点的轨迹 . 2双曲线的定义：平面内与两定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值等于常数（）的点的轨迹 . 3思考：与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数 e 的点的轨迹，当 0 e 1 时是椭圆，当 e1 时是双曲线那么，当 e 1 时它是什么曲线呢？ 抛物线的定义：平面内与一个定点和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹。点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线学生已经学过椭圆和双曲线是如何形成的。通过类似的方法，让学生了解抛物线的形成，从而理解并掌握抛物线的定义。 二、建立抛物线的标准方程如 图，建立直角坐标系 xoy，使x 轴经过点 F 且垂直于直线 l，垂足为 k，并使原点与线段kF的中点重合 设 ,则焦点 F 的坐标为（， 0），准线的方程为 3 / 10 设点 m(x， y)是抛物线上任意一点，点 m 到 l 的距离为 d 由抛物线的定义，抛物线就是点的集合 ； d= 化简得： 注：叫做抛物线的标准方程它表示的抛物线的焦点在x 轴的正半轴，坐标是，准线方程是 探究： 抛物线的标准方程有哪些不同的形式？请探究之后填写下表。 根据抛物线的定义，让学生逐步填空，推出抛物线的 标准方程。 通过填空，让学生牢固掌握抛物线的标准方程。 三、例题讲解例 1 求适合下列条件的抛物线的标准方程 (1)过点 (-3,2)； (2)焦点在直线 x-2y-4=0。 分析：根据已知条件求出抛物线的标准方程中的 p 即可，注意标准方程的形式。 解：（ 1）设抛物线方程为 y2=-2px 或 x2=2py(p0),则将点 (-3,2)方程得或。 所求的抛物线方程为 4 / 10 （ 2）令，由方程 x-2y-4=0的 =-2. 抛物线的焦点为 F(0,-2). 设抛物线方程为 x2=2py。则由得 , 所求的抛物线方程为 x2=-8y 或令 y=0由 x-2y-4=0得 x=4, 抛物线焦点为 (4,0). 设抛物线方程为 y2=2px。则由得 , 所求的抛物线方程为 y2=16x 注意：本题是用待定系数法来解的，要注意解题方法与技巧。 例 2 已知抛物线的标准方程，求焦点坐标和准线方程。(1)y2=6x； (2)y=ax2. 分析：先写成标准方程，再求焦点坐标和准线方程。 解：（ 1）由抛物线方程得焦点坐标为 ,准线方程是 （ 2）将抛物线方程化为标准方程，则焦点坐标为，准线方程 为 例 3 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 x 轴，抛物线上的点 m（ -3， m）到焦点的距离等于 5，求抛物线的方程和 m 的值。 分析：解本题的基本思路有两个，其一设抛物线方程，利用点 m 在抛物线上和点 m 到焦点的距离等于 5，列出关于 m、 p5 / 10 的方程组，解关于 m、 p 的方程组；其二利用抛物线的定义，得点 m 到准线的距离为 5，直接得 p 的关系式，求出 p 的值。为了让学生熟悉抛物线标准方程而设置的。 解：（方法一）设抛物线方程为 y2=-2px(p0),则焦点，由题设可得，解之得或 .故所求的抛物线方程为 y2=-8x，的值 为 （方法二）由抛物线的定义可知，点 m 到准线的距离为 5，m 的坐标为（ -3， m）， ,p=4 ，故所求的抛物线方程为y2=-8x，的值为 四、巩固练习 1选择： 若抛物线 y2=2px(p），则点 m 到准线的距离是 _a_，点 m 的横坐标是 6 / 10 四、巩固练习 3 (1)已知抛物线的标准方程是 y2=6x，求它的焦点坐标和准线方程； (2)已知抛物线的焦点坐标是 F(0， 2)，求它的标准方程 线的标准方程是 x2= 8y 4已知点 m 与点 F（ 4， 0）的距离比它到直线 L： x+5=0的距离小 1，求点 m 的轨迹方程。 分析：根据抛物线的定义可知，动点 m 的轨迹是以 F 为焦点，直线 x+4=0 为准线的抛物线。 又由焦点位置可得，所求的点的轨迹方程是抛物线的标准方程。 解：如图 8-20 所示，设点 m 的坐标为 m(x,y),则由已知条件得 “ 点 m 与点 F（ 4， 0）的距离比它到直线 L： x+5=0 的距离小 1” ，就是 “ 点 m 与点 F（ 4， 0）的距离等于它到直线 L：x+4=0 的距离 ” ，根据抛物线的定义可知，动点 m 的轨迹是以 F 为焦点 m，直线 x+4=0为准线的抛物线，且 所求的抛物线方程为 y2=16x.围绕抛物线标准方程练习，让学生熟练掌握抛物线的定义和标准方程。 五、课后练习 1.(浙江 )函数 y ax2 1 的图象与直线 y x相切，则 a (B) 7 / 10 (A)(B)(c)(D)1 2.（上海）过抛物线的焦点作一条直线与抛物线相交于 A、B 两点，它们的横坐标之和等于 5，则这样的直线（ B） (A)有且仅有一条 (B)有且仅有两条 (c)有无穷多条 (D)不存在 3.抛物线上一点的纵坐标为 4，则点与抛物线焦点的距离为(D) (A)2(B)3(c)4 (D)5 4.（江苏卷）抛物线 y=4上的一点 m 到焦点的距离为 1，则点 m 的纵坐标是 (B) (A)(B)(c)(D)0 5求经过点 A（ 2， 3）的抛物线的标准方程： 分析：抛物线的标准方程中只有一个参数 p，因此，只要确定了抛物线属于哪类标准形式，再求出 p 值就可以写出其方程，但要注意两解的情况 解：经过点 A（ 2， 3）的抛物线可能有两种标准形式： y2 2px或 x2 2py（如图） 点 A（ 2， 3）坐标代入，即 9 4p，得 2p 点 A（ 2， 3）坐标代入 x2 2py，即 4 6p，得 2p 所求抛物线的标准方程是 y2 x 或 x2 y 6.点 m 与点 F（ 4， 0）的距离比它到直线 l： x 5 08 / 10 的距离小 1，求点 m 的轨迹方程 分析：画出示意图 2-14 可知原条件 m 点到 F（ 4， 0）和到 x 4 距离相等，由抛物线的定义，点 m 的轨迹是以 F（ 4，0）为焦点， x 4 为准线的抛物线所求方程是 y2 16x 根据学生情况分层布置作业。 练习与测试：（说明：题目 6 个（以上） 其中基础题 4 个，难题 2 个；每个题目应该附有详细解答） 1选择题 （ 1）已知抛物线方程为 y ax2（ a 0），则其准线方程为（ D ） (A) (B) (c) (D) （ 2）抛物线（ m0 ）的焦点坐标是（ B ） (A)（ 0，）或（ 0，） (B)（ 0，） (c)（ 0，）或（ 0，） (D)（ 0，） （ 3）焦点在直线 3x 4y 12 0 上的抛物线标准方程是（ c ） 9 / 10 (A)y2 16x或 x2 16y(B)y2 16x 或 x2 12y (c)x2 12y或 y2 16x(D)x2 16y或 y2 12x 2根据下列条件写出抛物线的标准方程 （ 1）过点（ 3， 4） （ 2）过焦点且与 x 轴垂直的弦长是 16 解：（ 1）或 （ 2） y2 16x 3点 m 到点（ 0， 8）的距离比它到直线 y 7 的距离大 1，求 m 点的轨迹方程 解： x2 32y 4已知动圆 m与直线 y=2相切，且与定圆 c:x2+(y+3)2=1外切，求动圆圆心 m 的轨迹方程。 分析：设动圆圆心为 m(x,y),半径为 r，则由题意可得 m 到c（ 0， -3）的距离与到直线 y=3的距离相等，则动圆圆心的轨迹是一条抛物线，其方程易求。 解：设动圆圆心为 m(x,y),半径为 r， 则由题意可得 m 到 c（ 0， -3）的距离与到直线 y=3 的距离相等， 则动圆圆心的轨迹是以 c（ 0， -3）为焦点， y=3为准线的一条抛物线，其方程为 x2=-12y。 变题：（ 1）已知动圆 m 与 y 轴相切，且与定圆c:x2+y2=2ax(a0