§3． 变化率问题

1 / 6 3 变化率问题 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址莲山课 件 k 3 变化率问题 3 导数的概念 【学情分析】： 本节的中心任务是形成导数的概念 .概念形成划分为两个层次： 1、借助气球膨胀率问题，了解变化率的含义；借助高台跳水问题，明确瞬时速度的含义 . 2、以速度模型为出发点，结合其他实例抽象出导数概念，使学生认识到导数就是瞬时变化率，了解导数内涵 . 学生对导数概念的理解会有些困难，所以要对课本上的两个问题进行深入的探讨，以便顺利地使学生形成导数的概念。 【教学目标】： 知道了物体的运动规律，用极限来定义物体的瞬时速度，学会求物体的瞬时速度掌握导数的定义 . 【教学重点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义 . 【教学难点】： 理解掌握物体的瞬时速度的意义和导数的定义 . 2 / 6 【教学过程设计】： 教学环节教学活动设计意图 (1)引入变化率和瞬时速度 1.瞬时速度定义：运动物体经过某一时刻 (某一位置 )的速度，叫做瞬时速度 . 2.确定物体在某一点 A 处的瞬时速度的方法： 要确定物体在某一点 A 处的瞬时速度，从 A 点起取一小段位移 AA1，求出物体在这段 位移上的平均速度，这个平均速度可以近似地表示物体经过 A 点的瞬时速度 . 当位移足够小时，物体在这段时间内运动可认为是匀速的，所得的平均速度就等于物体经过 A 点的瞬时速度了 . 我们现在已经了解了一些关于瞬时速度的知识，现在已经知道物体做直线运动时，它的运动规律用函数表示为 s=s(t)，也叫做物体的运动方程或位移公式，现在有两个时刻 t0，0+t ，现在问从 t0 到 t0+t 这段时间内，物体的位移、平均速度各是： 位移为 s=s(t0+t) s(t0)(t 称时间增量 ) 为导数概念的引入做铺垫 平均速度 根据对瞬时速度的直观描述，当位移足够小，现在位移由时间 t 来表示，也就是说时间足够短时，平均速度就等于瞬时速度 . 现在是从 t0到 t0+t ，这段时间是 t. 时间 t 足够短，3 / 6 就是 t 无限趋近于 0.当 t0 时，平均速度就越接近于瞬时速度，用极限表示瞬时速度 瞬时速度 所以当 t0 时，平均速度的极限就是瞬时速度 (2)例题讲解例 1、物体自由落体的运动方程 s=s(t)=gt2，其中位移单位 m，时间单位 s， g=/s2.求 t=3 这一时段的速度 . 解：取一小段时间 3， 3+t ，位置改变量 s=g(3+ t)2 g32=(6+t)t ，平均速度 g(6+t) 瞬时速度为： 由 匀 变 速 直 线 运 动 的 速 度 公 式 得v=v0+at=gt=g3=3g=/s 例 2、已知质点 m 按规律 s=2t2+3 做直线运动 (位移单位：cm，时间单位： s)， (1)当 t=2， t= 时，求 . (2)当 t=2， t= 时，求 . (3)求质点 m 在 t=2 时的瞬时速度 . 让学生进一步认识瞬时速度，为引入导数的概念做好铺垫 . 分析： s 即位移的改变量， t 即时间的改变量，即平均速度，当 t 越小，求出的越接近某时刻的速度 . 解： =4t+2t 4 / 6 (1) 当 t=2， t= 时， =42+2=/s (2)当 t=2， t= 时， =42+2=/s (3)v=(4t+2t)=4t=42=8cm/s (3)导数的概念 设函数在处附近有定义，当自变量在处有增量时，则函数相应地有增量，如果时，与的比（也叫函数的平均变化率）有极限即无限趋近于某个常数，我们把这个极限值叫做函数在处的导数，记作，即 注意： (1)函数应在点的附近有定义，否则导数不存在 (2)在定义导数的极限式中，趋近于 0 可 正、可负、但不为0，而可能为 0 (3)是函数对自变量在范围内的平均变化率 . 要让学生理解导数概念 例 3、求 y=x2在点 x=1处的导数 . 分析：根据求函数在一点处的导数的方法的三个步骤，先求y ，再求，最后求 . 解： y=(1+x)2 12=2x+(x)2 ， =2+x =(2+x)=2.y|x=1=2. 注意： (x)2 括号别忘了写 . 学生自学教材 P75 例 1 5 / 6 (4)课堂小结 (1)理解函数的概念。 （ 2）求函数的导数的一般方法： 求函数的改变量 . 求平均变化率 . 取极限，得导数 . 补充题目： 1.一直线运动的物体，从时间到时，物体的位移为，那么为（） 从时间到时，物体的平均速度；在时刻时该物体的瞬时速度； 当时间为时物体的速度；从时间到时物体的平均速度 2一球沿一斜面自由滚下，其运动方程是 s=s(t)=t2(位移单位： m，时间单位： s)，求小球在 t=5时的瞬时速度 解：瞬时速度 v= (10+t)=10m/s. 瞬时速度 v=2t=25=10m