§椭圆的标准方程

1 / 6 椭圆的标准方程 椭圆的标准方程 教学目标： （一）、知识与技能：理解椭圆标准方程的推导；掌握椭圆的标准方程；会根据条件求椭圆的标准方程，会根据椭圆的标准方程求焦点坐标。 （二）、过程与方法：让学生经历椭圆标准方程的推导过程，进一步掌握求曲线方程的一般方法，体会数形结合等数学思想；培养学生运用类比、联想等方法提出问题。 （三）、情感态度与价值观：通过具体的情境感知研究椭圆标准方程的必要性和实际意义；体会数学的对称美、简洁美，培养学生的审美情趣，形成学习数 学知识的积极态度。 教学重点：椭圆的标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导 教学过程： （一）、问题情境： 生活中存在着大量的椭圆，比如：餐桌 问题 1：汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状是椭圆，怎样设计才能精确地制造它们？ 问题 2：把一个圆压扁了，像一个椭圆，它究竟是不是椭圆？ 问题 3：电影放映机上的聚光灯泡的反射镜、运用高能冲击波击碎肾结石的碎石机等仪器设备都是运用椭圆的性质制2 / 6 造的。怎样才能准确地制造它们？ 学生回忆 椭圆的定义：平面内到两定点 F1、 F2距离之和等于常数（大于 F1F2）的点的轨迹叫做椭圆，两定点 F1、 F2 叫做椭圆的焦点，两定点间的距离叫做焦距 注：满足几个条件的动点的轨迹叫做椭圆？ （ 1）平面内；若把平面内去掉，则轨迹是什么？ （ 2）椭圆上的点到两个焦点的距离之和为常数；记为 2a； 两焦点之间的距离称为焦距，记为 2c,即 : 2c. （ 3）常数 ,若，则轨迹是什么？若呢？ （二）师生探究： 1、回顾求圆的标准方程的基本步骤 建立坐标系、设点、找等量关系、代入坐标、化简 2、如何建立适当的坐标系？ 原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单 (一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴。 ) 建立适当的直角坐标系：建立直角坐标系 xoy，使 x 轴经过点 ,并且 o 与线段的中点重合 设点：设是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为，那么焦点的坐标分别为 .又设 m 与的距离之和等于常数 y 3 / 6 F2 o P F1 根据条件得 所以得： x 化简：整理得： 由椭圆的定义可知： 令，其中，代入上式整理得 : 思考：怎样推导焦点在 y 轴上的椭圆的标准方程？ 问题 1:椭圆标准方程的特点是什么 ? 问题 2:如何判断椭圆焦点位置 ? 椭圆的定义 平面内到两个定点的距离的和等于常数（大于）的点的轨迹。 图形 标准方程 4 / 6 焦点坐标 a,b,c 的关系 焦点位置的判断 分母哪个大，焦点就在哪个轴上 （三）学生活动 一、基础训练 1、若动点 P 到两定点 F1( 4,0)， F2(4,0)的距离之和为 8，则动点 P 的轨迹为（ B） A.椭圆 B.线段 F1F2 c.直线 F1F2D.不存在 2、求下列椭圆的焦点坐标 1、 2、 3、 4、 3、已 知椭圆的方程为，则，焦点坐标为：，焦距为如果曲线上一点 P 到焦点的距离为 8，则点 P 到另一个焦点的距离等于。 二、例题讲解 例 1、求适合下列条件的椭圆方程 （ 1） a 4， b 3，焦点在 x 轴上； 5 / 6 （ 2） b=1，焦点在 y 轴上 ; （ 3）若椭圆满足：，焦点在 x 轴上，求它的标准方程 ; 变：若把焦点在 x 轴上去掉呢？ (4)两个焦点分别是 ,且经过 ; （ 5）已知椭圆经过两点，求它的标准方程 ; 解答：（ 1） （ 2） （ 3），変题： （ 4） (5) 反思研究：（ 1）求椭圆方程的步骤： 1.定型， 2.定位， 3.定量 （ 2）椭圆的标准方程可统一成 例 2、已知一个运油车上的贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆，它的焦距为 m，外轮廓线上的点到两个焦点之和为 3m，求这个椭圆的标准方程。 解：以两焦点所在直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系，则这个椭圆的标准方程为 根据题意知，所以 因此，这个椭圆的标准方程为： 课堂小结：这节课我们学习 了椭圆的标准方程，掌握了求焦点在 x轴上和在 y轴上的标准方