中考数学复习第三章变量与函数3.5二次函数的综合应用（讲解部分）检测.pdf

二次函数的综合应用 考点一 抛物线与距离、面积、角度 直角坐标系中两点之间的距离 如图，（） 轴时，线段 ； （） 轴时，线段 ； （）当线段不平行于坐标轴时，常过线段的端点作坐标轴的 平行线，转化为（）（）两种情况，利用勾股定理求线段长 （ ） （ ） 图形的面积 （）如图，当三角形的底边平行于坐标轴，或者在坐标轴 上时， 轴时，作 轴， ； 轴时，作 轴， （）用割补法转化为（）的情况求三角形面积如图，作 轴，则 （） （ ）（ ） 如图，作 轴，则 （） （ ）（ ） 如图，从三角形的顶点作坐标轴的平行线，构成矩形，则 矩形 （）求四边形和多边形的面积时，可以作坐标轴的平行线， 割补为三角形、矩形等来解 直角坐标系中的“距离和最短”问题 如图，作点 关于直线 的对称点 ，连接 交直线 于点 ，则 最短，解答时，可以先求出直线 的解析式，再求 出点 坐标 有关角的问题，可以构造直角三角形，利用锐角的三角函 数求值；或者构造全等（或相似）三角形把角的问题转化为边的 问题来解 考点二 抛物线与特殊三角形、特殊四边形 用尺规作出图形，用顶点的坐标表示图形的边长，利用图 形的边之间的关系，如等腰三角形的两腰相等，直角三角形的勾 股定理，平行四边形的对边平行且相等，圆心到切点的距离等于 半径，等等，构造方程或直接得解 如图，过 的顶点作坐标轴的平行线，可得 ，所以 ，所以 ， ，即 ， 考点三 抛物线与全等三角形、相似三角形 用顶点的坐标表示图形的边长，利用全等（或相似）三角形 的对应边相等（或成比例）解答问题，注意分类讨论思想的应用， 不要漏解 考点四 二次函数在实际生活（生产）中的应用 主要考查利润最大，方案最优，面积最大等问题 一般步骤： （）先分析问题中的数量关系，列出函数关系式； （）确定自变量的取值范围； （）分析所得函数的性质； （）解决提出的问题 第三章 变量与函数 方法一 求图形的面积 在求图形的面积时，先观察图形的边是不是平行于坐标轴； 每一条边都不平行于坐标轴时，过顶点作坐标轴的平行线，把图 形割补为标准图形后再求面积 例 （ 黑龙江齐齐哈尔， 分）如图，已知抛物线 与 轴交于点 （，）和点 （，），与 轴交于点 ，连接 交抛物线的对称轴于点 ， 是抛物线的顶点 （）求此抛物线的解析式； （）求出点 和点 的坐标； （）若点 在第一象限内的抛物线上，且 ，求 点坐标 注：二 次 函 数 （ ） 的 顶 点 坐 标 为 ， () 解析 （） 由抛物线过点 （ ，） 和点 （，） 得， ， ， 解得 ， ， 抛物线的解析式为 （）令 ，则 ， （，）， （） ， （，） （）设 （，）（，）， ， ， ， ， ， 由， 解得 （不合题意，舍去）， ， （，） 变式训练 （ 江苏盐城， 分）如图，在平面直角 坐标系中，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 ，抛 物线 经过 、 两点，与 轴的另一交点为点 （）求抛物线的函数表达式； （）点 为直线 上方抛物线上一动点 连接 、，设直线 交线段 于点 ， 的面 积为 ， 的面积为 ，求 的最大值； 过点 作 ，垂足为点 ，连接 ，是否存在点 ， 使得 中的某个角恰好等于 的 倍？ 若存在，求点 的横坐标；若不存在，请说明理由 备用图 解析 （）根据题意得 （，），（，）， 抛物线 经过 、 两点， ， ， ， ， （）如图，令 ，则 ， 解得 ， （，）， 过 作 轴于 ，交 于 ，过 作 轴交 于 ， ， ， ， 设 ， ()， ， ()， （，）， ， ()， （） 当 时， 取得最大值，最大值是 （，），（，），（，）， ， ， ， 是以 为直角的直角三角形，取 的中 点 ， ， ()， 连接 ， 年中考 年模拟 ， ， ， 过 作 轴的平行线交 轴于 ，交 于 ， 情况一：如图， ， ， ， 即 ， 设 ， ()， ， ， ， 解得 或 （舍去）， 情况二：， ， 设 （）， ， ， ， ， ， ， ， ， 设 ， ()， ， ， ， 解得 或 （舍去）， 综上可得，点 的横坐标为 或 方法二 抛物线与三角形、四边形的综合应用 抛物线与三角形、四边形的综合应用问题有两类，一类是用 参数表示图形顶点的坐标，进而表示图形的边长，利用特殊三角 形、四边形的边的关系，列方程，求出参数和点的坐标；另一类是 用顶点坐标求出边长，验证图形的形状 例 （ 四川宜宾， 分）如图，抛物线 与 轴分别交于 （，），（，）两点 （）求抛物线的解析式； （）在第二象限内取一点 ，作 垂直 轴于点 ，连接 ，且 ，将 沿 轴向右平移 个单位，当 点 落在抛物线上时，求 的值； （）在（）的条件下，当点 第一次落在抛物线上记为点 ， 点 是抛物线对称轴上一点试探究：在抛物线上是否存在点 ， 使以点 、 为顶点的四边形是平行四边形？ 若存在，请求 出点 的坐标；若不存在，请说明理由 解析 （） 抛物线 与 轴分别交于 （， ），（，）两点， ， ， 解得 ， ， 抛物线的解析式为 （） ，且 ， ，又 ， （，） 设平移后点 的对应点为 ，则 点的纵坐标为 ， 代入抛物线解析式可得 ，解得 或 ， 的坐标为（，）或（，）， （，）， 当点 落在抛物线上时，向右平移了 或 个单位， 的值为 或 （） （） ， 抛物线的对称轴为直线 ， 可设 （，）， 由（）可知 点坐标为（，）， 当 为平行四边形的边时，记 交对称轴于点 ，过 作 轴于点 ，此时 也为平行四边形的边，过 作对称 轴的垂线，垂足为 ，如图， 则， 在 和 中， ， ， ， （）， ， 设 （，），则 ， ，解得 或 ， 当 或 时，代入抛物线解析式可求得 ， 点坐标为（，）或（，）； 当 为平行四边形的对角线时， 也为平行四边形的 对角线， （，），（，）， 第三章 变量与函数 线段 的中点坐标为（，）， 线段 的中点坐标为（，）， 设 （，），且 （，）， ，解得 ， 把 代入抛物线解析式可求得 （，） 综上可知， 点的坐标为（，）或（，）或（，） 变式训练 （ 四川广安， 分）如图，已知抛物线 与 轴相交于点 （，），与 轴正半轴相交于点 ，对称轴是直线 （）求此抛物线的解析式以及点 的坐标； （）动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿 轴正方向运动，同时动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的 速度沿 轴正方向运动，当 点到达 点时，、 同时停止运 动过动点 作 轴的垂线交线段 于点 ，交抛物线于点 ， 设运动的时间为 秒 当 为何值时，四边形 为矩形； 当 时， 能否为等腰三角形？ 若能，求出 的值； 若不能，请说明理由 解析 （） 抛物线 对称轴是直线 ， （） ，解得 ， 抛物线过 （，）， ， 抛物线的解析式为 ， 令 可得，解得 或 ， 点坐标为（，） （）由题意可知 ， 在抛物线上， （，）， 四边形 为矩形， ， ，解得 或 （舍去）， 当 的值为 时，四边形 为矩形 （，），（，）， ，且可求得直线 的解析式为 ， 当 时， 当 为等腰三角形时，有 或 两种 情况， 由题意可知 ， （，） （）（） ， （） （） ， 又由题意可知 ， 当 时，有 ， 解得 （舍去）或 ； 当 时，有 ，解得 综上可知，当 的值为 或 时， 为等腰三角形 方法三 利用二次函数的性质解决最优化问题 利用二次函数求最值的方法：一是利用公式，对于二次函 数 （），当 时，函数有最值 ；二 是配方法，把一般式化为顶点式利用任意一个数的平方大于等 于 ，求出最值 利用最值解决实际生活中的最优化问题，应认清变量所 表示的实际意义，要符合实际 例 （ 浙江绍兴，）某农村拟建一间矩形种牛饲养 室，饲养室的一面靠现有墙（墙足够长），已知计划中的建筑材料 可建围墙的总长度为 设饲养室的长为 （），占地面积为 （） （）如图 ，问：饲养室的长 为多少时，占地面积 最大？ （）如图 ，现要求在图中所示位置留 的门，且使饲养室 占地面积最大小敏说：“只要饲养室长比（）中的长多 就行 了”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确 解析 （） （） ， 当 时，占地面积 最大 （）（） （） ， 当 时，占地面积 最大，即当饲养室长为 时， 占地面积最大 ， 小敏的说法不正确 变式训练 （ 江西， 分）某乡镇实施产业扶贫， 帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚到了收获季节，已知该 蜜柚的成本价为 元 千克，投入市场销售时，调查市场行情，发 现该蜜柚销售不会亏本，且每天销售量 （千克）与销售单价 （元 千克）之间的函数关系如图所示 （）求 与 的函数关系式，并写出 的取值范围； （）当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最 大？ 最大利润是多少？ （）某农户今年共采摘蜜柚 千克，该品种蜜柚的保质 期为 天，根据（）中获得最大利润的方式进行销售，能否销售 完这批蜜柚？ 请说明理由 解析 （）设 与 的函数关系式为 （）， 将（，）