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小专题(七)与圆的切线有关的计算与证明1如图,已知RtABC,ABC90,以直角边AB为直径作O,交斜边AC于点D,连接BD.取BC的中点E,连接ED,求证:ED与O相切证明:连接OD.ODOB,OBDBDO.AB是直径(已知),ADB90.ADBBDC90.在RtBDC中,E是BC的中点,BECEDE.DBEBDE.又ABCOBDDBE90,ODEBDOBDE90.OD是O的半径,ED与O相切2如图,四边形ABCD为菱形,ABD的外接圆O与CD相切于点D,交AC于点E.(1)判断O与BC的位置关系,并说明理由;(2)若CE2,求O的半径r.解:(1)O与BC相切理由:连接OD,OB,O与CD相切于点D,ODCD,ODC90.四边形ABCD为菱形,ADCDCB.ODOB,OCOC,CBCD.OBCODC.OBCODC90.又OB为半径,O与BC相切(2)ADCD,ACDCAD.AOOD,OADODA.CODOADADO,COD2ACD.又CODACD90,ACD30.ODOC,即r(r2)r2.3如图,已知AB是O的直径,且AB12,AP是半圆的切线,点C是半圆上的一动点(不与点A,B重合),过点C作CDAP于点D,记COA.(1)当60时,求CD的长;(2)当为何值时,CD与O相切?说明理由解:(1)过点C作CEAB于点E.在RtOCE中,OEOCcosCOA63,则CDOAOE633.(2)当90时,CD与O相切理由:90,则在四边形OCDA中,COAOADCDA90,OCD90.OCCD.又OC是O的半径,CD是O的切线4(2018宿迁)如图,AB,AC分别是O的直径和弦,ODAC于点D.过点A作O的切线与OD的延长线交于点P,PC,AB的延长线交于点F.(1)求证:PC是半圆O的切线;(2)若ABC60,AB10,求线段BF的长解:(1)证明:连接OC.ODAC,OD经过圆心O,ADCD.PAPC.在OAP和OCP中,OAPOCP(SSS)OAPOCP.PA是O的切线,OAP90.OCP90,即OCPC.又OC是O的半径,PC是O的切线(2)OBOC,OBC60,OBC是等边三角形COB60.AB10,OC5.由(1)知,OCF90,CFOCtanCOB5.5如图,ABC内接于O,AB是直径,O的切线PC交BA的延长线于点P,OFBC交AC于点E,交PC于点F,连接AF.(1)判断AF与O的位置关系并说明理由;(2)若AC24,AF15,求O的半径解:(1)AF与O相切理由如下:连接OC,PC是O的切线,OCPC.OCF90.OFBC,BAOF,OCBCOF.OBOC,BOCB.AOFCOF.在OAF和OCF中,OAFOCF(SAS)OAFOCF90.又OA是O的半径,AF与O相切(2)OAFOCF,AOECOE.OEAC,AEAC12.EF9.OAF90,OAEAFE.,即,OA20,即O的半径为20.6如图,四边形ABCD内接于O,对角线AC为O的直径,过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E,点F为CE的中点,连接DB,DC,DF.(1)求CDE的度数;(2)求证:DF是O的切线;(3)若AC2DE,求tanABD的值解:(1)AC为O的直径,ADC90.CDE90.(2)证明:连接OD.CDE90,F为CE中点,DFCECF.FDCFCD.又ODOC,ODCOCD.ODCFDCOCDFCD.ODFOCF.ECAC,OCF90.ODF90.DO是O的半径,DF为O切线(3)在ACD与ACE中,ADCACE90,EACCAD,ACDAEC.AC2ADAE.又AC2DE,20DE2(AEDE)AE.(AE5DE)(AE4DE)0.AE5DE,AD4DE.在RtACD中,AC2AD2CD2,CD2DE.又ABDACD,tanABDtanACD2.7如图,已知以RtABC的边AC为直径作O交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC的延长线于点D,点F为BC的中点,连接EF.(1)求证:EF是O的切线;(2)若O的半径为3,EAC60,求AD的长解:(1)证明:连接FO,易证OFAB.AC为O的直径,CEAE.OFAB,OFCE.OEOC,OF所在直线垂直平分CE.FCFE.FECFCE,OECOCE.ACB90,OCEFCE90.OECFEC90,即FEO90.又OE是O的半径,FE为
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