中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题四】专题解析.doc

数学专题之【以三角形为基础】精品解析中考数学综合题专题训练【以三角形为基础的综合题四】专题解析 1在RtABC中，ACB90，AC5，以斜边AB为底边向外作等腰三角形PAB，连接PC（1）如图1，当APB90时，求证：PC平分ACB；若PC6，求BC的长；（2）如图2，当APB60，PC5 时，求BC的长ACBP图1ACBP图2（1）证明：过点P分别作AC、BC的垂线，垂足为E、F则四边形ECFP是矩形，EPF90ACBP图1DEFAPB90，EPAFPB90APF又PAPB，PEAPFB90，PEAPFBPEPF，矩形ECFP是正方形PC平分ACB解：延长CB至D，使BDAC5，连接PD在四边形ACBP中，ACBAPB90PACPBC180PBDPBC180，PACPBD又PAPB，ACBD，PACPBDPCPD，APCBPDAPCBPC90，BPDBPC90即CPD90，PCD是等腰直角三角形CDPC12BCCDBD1257ACBP图2EDAEA（2）以AC为边向外作等边三角形ACD，作DEBC于E，连接DB则DE AC ，CE AC PAPB，APB60，PAB是等边三角形ABAP，BAP60DAC，DABCAP又ADAC，ADBACPBDPC5在RtBDE中，由勾股定理得：( )2( BC )2( 5)2，解得BC ()2在平面直角坐标系中，已知点A（5，0），点B在第一象限，且AB与直线l：y x平行，AB长为8，若点P是直线l上的动点，求PAB的内切圆面积的最大值ABOyxl解：AB直线l，点P在直线l上PAB的面积SPAB是定值设PAB的内切圆的半径为r，则S PAr PBr ABrr AB长为8，是定值，当PAPB最小时，r最大，从而内切圆面积最大作点B关于直线l的对称点B，连接AB 交直线l于点P，连接PB，则PAPB最小此时PAPBPAPBABABOyxlBPMN点B和点B 关于直线l对称直线l垂直平分线段BBAB直线l，ABBBABB 是直角三角形且ABB90作AM直线l于M，作MNOA于N，设M（m， m）则ONm，MN m，OM m由OAMOMN，得 AM OA 53，BB2AM6又AB8，AB10r PAB的内切圆面积的最大值是：( )2 3已知ABC中，BAC120，ABAC4过点C作直线lAB点D在线段BC上，点E在直线l上若ADE120，CE1，求DC的长解：当点E在点C上方时，如图1在AC上取点F，使DFDC，连接DFBAC120，ABAC，ACBB30ABDCElF图1GDFCDCF30FDC120，DFA150CEAB，ACEBAC120DCE150，DFADCEADEFDC120ADFEDC120FDE在ADF和EDC中ADFEDC，DFDC，DFADCEADFEDC，AFCE1FCACAF413ABDCElF图2过D作DGAC于G，则GC FC DC 当点E在点C下方时i）情形1，如图2在CA延长线上取点F，使DFDC，连接DF则FDCFDCE30，FDC120又ADE120，ADFEDC120ADCADFEDC，AFCE1FCACAF415 ，DC ii）情形2，如图3过D作DFAC于F，过E作EGBC于G则BDF9030120又ADE120，ADFEDG120ADBFCBA图3lEDGADFEDG， 设DCx，则DG x 解得x1 4（舍去），x2 综上所述，DC的长为 或 或 4如图1是边长分别为4 和3的两个等边三角形纸片ABC和CDE 叠放在一起（C与C 重合），固定ABC，将CDE 绕点C顺时针旋转30得到CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（如图2）（1）探究线段BE与AD之间的大小关系，并证明你的结论；（2）将图2中的CDE沿射线CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的CDE记为PQR（如图3），当点Q与点F重合时停止平移设PQR移动的时间为t秒，PQR与AFC重叠部分的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；（3）在（2）的条件下，如果对于同一个S的值，对应的t值恰好有两个，直接写出t的取值范围CAQB图3FPRCAEBD(C)图1CAEB(C)图2DFCAQB图1FR(P)解：（1）BEAD证明：ABC，CDE都是等边三角形ACBC，DCEC，DCEACB60BCE30，ACE30ACD30，ACDBCEACDBCE，BEAD（2）当点R恰好落在AC上时（如图1）ACF30，RPQ60，PRC90PC2PR6，QC633CAQB图2FPR又CFBCcos304 6PCCF，此时点P与点F重合所需时间t1313（秒）当点R恰好落在AB上时（如图2）所需时间t2( 6 )1 （秒）当点Q与点F重合时，所需时间t3616（秒）CAQB图3FPRMN此时点P与点F重合，所需时间为3秒当0t 3时（如图3）设PR、RQ分别交AC于M、NACF30，PQR60，QNC30QNQC，RNMQNC30RMN90，RNRQNQRQQC3tRM ( 3t )，MN ( 3t )CAQB图4FPRGSRMN MNRM ( 3t )2而SPQR 33 S SPQR SRMN ( 3t )2即y t 2 t 当3t 时（如图4）设PR交AB于G，则PFt3，GF( t3 )S SPQR SPFG ( t3 )2CAQB图5FPRH即y t 23t 当 t 6 时（如图5）设RQ交AB于H，则FQ6t，HQ( 6t )S SFQH ( 6t )2（3）0t 且t 35在等腰ABC中，ABAC，边AB绕点A逆时针旋转角度m得到线段AD（1）如图1，若BAC30，30m 180，连接BD，请用含m的式子表示DBC的度数；（2）如图2，若BAC60，0m 360，连接BD、DC，直接写出BDC为等腰三角形时m所有可能的取值_；ABDC图2（3）如图3，若BAC90，射线AD与直线BC相交于点E，是否存在旋转角度m，使 ，若存在，求出所有符合条件的m的值；若不存在，请说明理由ABDC图1ABDC图3E解：（1）ABAD，BADmABDADB90 mABAC，BAC30，ABCACB75DBCABCABD75( 90 m )CABD即DBC m15（2）30、120、210、300分四种情况，如图所示CABDCABDCAEBD（3）存在两个符合条件的m的值，m30 或m330如图1，当点E在线段BC上时，作EFAB于F在ABC中，BAC90，ABAC，ABC45ABDCE图1F在RtBEF中，FBE45，BE EF在RtAEF中， ，AEBE2EFsinm ，m30ABDCE图2F如图2，当点E在CB延长线上时，作EFAB于F则BE EF ，AEBE2EFsinEAF ，EAF30m3306如图，在ABC中，BAC90，ABAC6，D为BC的中点（1）若E、F分别是AB、AC上的点，且AECF，求证：AEDCFD；（2）当点F、E分别从C、A两点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿CA、AB运动，到点A、B时停止；设FED的面积为y，F点运动的时间为x，求y与x的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点F、E分别沿CA、AB的延长线继续运动，求此时y与x的函数关系式ABCDEF图2ABCDEF图1（1）证明：BAC90，ABAC6，D为BC的中点BADDACBC45ADBDDCAECF，AEDCFD（2）解：依题意有：FCAExAEDCFDS四边形AEDF SAED SADF SCFD SADF SADC 9SEDF S四边形AEDF SAEF 9 ( 6x )x x 23x9y x 23x9（3）依题意有：AFBEx6，ADDB，ABDDAC45DAFDBE135ADFBDE， SADF SBDESEDF SEAF SADB ( x6 )x9 x 23x9y x 23x97如图1，过ABC的顶点A作高AD，将点A折叠到点D（如图2），这时EF为折痕，且BED和CFD都是等腰三角形，再将BED和CFD沿它们各自的对称轴EH、FG折叠，使B、C两点都与点D重合，得到一个矩形EFGH（如图3），我们称矩形EFGH为ABC的边BC上的折合矩形（1）若ABC的面积为6，则折合矩形EFGH的面积为_；（2）如图4，已知ABC，在图4中画出ABC的边BC上的折合矩形EFGH；（3）如果ABC的边BC上的折合矩形EFGH是正方形，且BC2a，那么，BC边上的高AD_，正方形EFGH的对角线长为_图1图2图3图4ABDCBD(A)EFCEFHDGABC（1）3（2）作出的折合矩形EFGH为网格正方形ABCEFHG（3）2a， a8如图，在ABC中，点D、E分别在边BC、AC上，连接AD、DE，且1BCABCDE1（1）由题设条件，请写出三个正确结论；（要求：不再添加其它字母和辅助线，找结论过程中添加的字母或辅助线不能出现在结论中，不必证明）答：结论一：_；结论二：_；结论三：_（2）若B45，BC2，当点D在BC上运动时（点D不与点B、C重合），ABC（备用图）求CE的最大值；若ADE是等腰三角形，求此时BD的长（注意：在第（2）小题求解过程中，若有运用（1）中得出的结论，须加以证明）（1）如：ABAC；BADCDE；ADBDEC；ADCAED；ABDDCE；ADEACD； ； ；等（2）BC45，ABAC，BAC90ABCDE1BC2，ABAC解法一：1EDCBDAB，1BEDCDAB，ABDDCE ，即BDDCCEAB设BDx，CEy，则DC2x有x( 2x )y，即y x 2 x ( x1)2 0，当x1时，y最大值 CE的最大值为 解法二：1C，DAECAD，ADEACD ，AD 2AEAC( ACCE )AC 2 CECE AD 2当AD最小时，CE最大由垂线段最短，可知ADBCABAC，D为BC的中点BAC90，AD BC 21CE 1 即CE的最大值为 分三种情形加以讨论：1）当AEDE时，则DAE145BAC90，AD平分BACABAC，D为BC的中点BD BC12）当ADDE时解法一：1EDCBDAB，EDCDAB又BC，ABDDCEABDC，BDBCDC2 解法二：1C，DAECADADEACD当ADDE时，DCACBDBCDC2 2）当ADAE时，则AED145，DAE90此时点D与B重合，与题意不符，应舍去综上所述，若ADE是等腰三角形，则BD的长为1或2 9（1）如图，在RtABC中，ABC90，BDAC于点D求证：AB 2ADAC；（2）如图，在RtABC中，ABC90，点D为BC边上的点，BEAD于点E，延长BE交AC于点F若 1，求 的值；（3）在RtABC中，ABC90，点D为直线BC上的动点（点D不与B、C重合），直线BEAD于点E，交直线AC于点F若 n，请探究并直接写出 的所有可能的值（用含n的式子表示），不必证明BFACEDBACD图图BACD图（1）证明：如图，BDAC，ABC90，ADBABC又A=A，ADBABC ，AB 2ADAC（2）解：方法一：如图，过点C作CGAD交AD的延长线于点GBEAD，CGDBED90，CGBF又 1，ABBC2BD2DC，BDDC又BDECDG，BDECDGFEBACD图GEDGD EG由（1）可知：AB 2AEAD，BD 2DEAD 4，AE4DE 2又CGBF， 2方法二：如图，过点D作DGBF交AC于点GFEBACD图G 1，ABBC，BDDC BCDGBF， 2，FC2FG由（1）可知：AB 2AEAD，BD 2DEAD 4又DGBF， 4 2（3）当点D在BC边上时， 的值为n 2n当点D在BC延长线上时， 的值为n 2n当点D在CB延长线上时， 的值为nn 210（福建宁德）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角ABC中，ABAC，BAC90，小敏将一块三角板中含45角的顶点放在点A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分BAM，则AE也平分MAC请你证明小敏发现的结论；（2）当0 45时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD 2CE 2DE 2同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将ABD沿AD所在的直线对折得到ADF，连接EF（如图2）；小亮的方法：将ABD绕点A逆时针旋转90得到ACG，连接EG（如图3）请你从中任选一种方法进行证明；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出：当45 135且90时，等量关系BD 2CE 2DE 2仍然成立现请你继续探究：当135 180时（如图4），等量关系BD 2CE 2DE 2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由ABCDEG图3ABCDEF图2ABCDEM图1ABC图4ABCDEM图1证明：（1）BAC90，DAE45BADEAC904545，DAMMAE45AD平分BAM，BADDAMMAEEAC，AE平分MAC（2）（法一）小颖的方法：将ABD沿AD对折得到AFD，连接EF（如图2）由对折可得：BADFAD，DFAB45，DFDBABCDEF图2由（1）的结论可得：FAECAEAFAB，ABAC，AFACAEAE，AEFAECAFEC45，EFECDFE454590在RtDEF中，DF 2EF 2DE 2即BD 2CE 2DE 2（法二）小亮的方法：将ABD绕点A逆时针旋转90得到ACG，连接EG（如图3）ABCDEG图3由旋转可得：GACDAB，ACGB45，CGBD，AGADBADEAC45，GACEAC45GAEDAE45AEAE，AGEADEGEDE，ECG454590在RtECG中，CG 2CE 2GE 2即BD 2CE 2DE 2（3）等量关系BD 2CE 2DE 2仍然成立ABC图4145FED法一：将ABD沿AD对折得到AFD，连接EF（如图41）则BDFD，AFABAC，AFDABD18045135FADBAD，DAE45EAFFAD45，EAC90BAD45BAD45EAFEACAEAE，AFEACEEFEC，AFEC45DFE1354590在RtDEF中，DF 2EF 2DE 2即BD 2CE 2DE 2ABC图4245GED法二：将ABD绕点A逆时针旋转90得到ACG，连接EG（如图42）则BDCG，ADAG，ACGABD18045135DAG90，DAE45DAE45，GAE9045DAEGAEAEAE，ADEAGE，GEDEECG1354590在RtECG中，CG 2CE 2GE 2即BD 2CE 2DE 211（福建模拟）如图，在ABC中，ABAC5，BC6，点D为AB边上的一动点（不与A、B重合），过D作DEBC，交AC于点E把ADE沿直线DE折叠，点A落在点A 处，连接BA 设ADx，ADE的边DE上的高为y（1）求y与x的函数关系式；（2）当x取何值时，以点A、B、D为顶点的三角形与ABC相似；（3）当x取何值时，ADB是直角三角形？（4）当x取何值时，ADB是等腰三角形？ACB备用图ACBEDA解：（1）过A作AMBC于M，交DE于N，则BM BC6ACBEDANMDEBC，ANDE，即yAN在RtABM中，AM 4DEBC，ADEABC ， y x（0x5）（2）ADE由ADE折叠得到，ADAD，AEAE由（1）可得ADE是等腰三角形，即ADAEADADAEAE，四边形ADAE是菱形DAAC，BDABACABAC5，BC6，BACABC，BACCBDAABC，BDAC有且只有当BDAD时，DBAABC5xx，x （3）BDAA90，D不可能为直角顶点若BAD90四边形ADAE是菱形，点A 必在DE垂直平分线上，即直线AM上ANANy x，AM4，AM|4 x|在RtABM中，AB 2AM 2BM 2(4 x )23 2ACBEDANM在RtABD中，AB 2AD 2BD 2x 2(5x )2(4 x )23 2x 2(5x )2，解得x0（舍去）或x 若ABD90解法一：AMB90，BAMABM ， ，BA 在RtABD中，AD 2AB 2BD 2x 2( )2(5x )2，解得x 解法二：由知，AM|4 x|在RtABM中，AB 2AM 2BM 2(4 x )23 2在RtABD中，AB 2AD 2BD 2x 2(5x )2(4 x )23 2x 2(5x )2，解得x5（舍去）或x 综上，当x 或x 时，ADB是直角三角形（4）若BDAD，由（2）知，x 若BDBA，则BD 2AB 2(5x )2(4 x )23 2，解得x0（舍去）或x 若ADAB，则AD 2AB 2x 2(4 x )23 2，解得x5（舍去）或x 12（福建模拟）如图，在RtABC中，ACB90，AC8，BC6，点D是射线CA上的一个动点（不与C、A重合），DE直线AB于E点，点F是BD的中点，过点F作FG直线AB于G点，连接EF，设ADx（1）若点D在AC边上，求FG的长（用含x的式子表示）；若点D在射线CA上，BEF的面积为S，求S与x的函数关系式，并写出x的取值范围（2）若点D在AC边上，点P是AB边上的一个动点，DP与EF相交于O点，当DPFP的值最小时，猜想DO与PO之间的数量关系，并加以证明ABC备用图AGFBEDC解：（1）ACB90，AC8，BC6，AB 10AGFBEDC图1sinA ，cosA AED90，ADx，DEADsinA xDEAB，FGAB，FGDE又F是BD的中点，FG DE x在RtADE中，DE x，AEADcosA xi）当点D在AC边上时，如图1AGFBEDC图2BEABAE10 xS BEFG ( 10 x ) x x 2 x（0x 8）ii）当点D在CA延长线上时，如图2BEABAE10 xS BEFG ( 10 x ) x x 2 x（x 0）（2）猜想：DO3POAGFBEDCOPDH图3证明：作点D关于AB的对称点D，连接DF交AB于点P，如图3则DPFP的值最小由（1）知FG DE DE，即DE2FG由DPEFPG，得EP2PG EG过P作PHAB交EF于H，则PH FG DE由DOEPOH，得DO3PO13（福建模拟）如图，在RtABC中，A90，AB6，AC8，点D、E分别是边AB、AC上的动点将ABC沿DE折叠，使点A落在BC边上的点F处（1）当DEBC时，判断以DE为直径的圆与BC的位置关系，并说明理由；（2）当DEF为等腰三角形时，求AD的长；（3）若以D、E、F为顶点的三角形与ABC相似，求AD的长；（4）随着点D、E的移动，点F位置也在不断变化，当点D从点B开始移动，至点E与点C重合，直接写出这一过程中点F移动的路径的长EDABCFABC备用图解：（1）连接AF交DE于G，则AFDE，AGFG AFEDABCFG在RtABC中，A90，AB6，AC8，BC10DEBC，AFBC，ADEABC得DE BC5，GF SABC BCAF ABACAF ，GF AF 以DE为直径的圆与BC相交EDABCF21（2）DFEDAE90，当DEF为等腰三角形时，只能DFEF此时DEF为等腰直角三角形，1452145，ADF90DFAC，BDFBAC， 设ADx，则DFx，BD6x ，解得x 即AD的长为 （3）当FDEABC时，FDEABCADEFDE，ADEABC，DEBC由（1）知，此时AD AB3EDABCFG当FDEACB时，FEDABC连接AF交DE于G则AFDE，AGFG AF，DAGADE90又ADEFDE，BACB90DAGB，AFBF同理AFCF，AFBFCF BC5AG AF 由ADGBCA，得 EDABCF1F2得 ，AD （4）4提示：当点D与点B重合时，BF1BA6CF11064当点E与点C重合时，CF2CA8点F移动的路径的长为F1F2CF2CF184414（上海模拟）如图，ABC中，ABAC10，BC12，P是边AB上的一个动点，过点P作PDAB交BC相于点D，以点D为正方形的一个顶点，在ABC内作正方形DEFG，其中D、E在边BC上，F在边AC上（1）设BP的长为x，正方形DEFG的边长为y，求y关于x的函数关系式，并确定函数的定义域；（2）当P、G、F三点共线时，求BP的长；（3）P、D、G三点能否构成等腰三角形？若能，求出BP的长；若不能，请说明理由BCA备用图BCA备用图EPDBCAFGEPDBCAFGH解：（1）ABC中，ABAC10，BC12BHHC6，AH8过A作AHBC于H，则DBPABH ，即 EPDBCAFGHBD x，PD x又四边形DEFG是正方形，EFBC，EFDEy由FCEABH，得EC y xy y12BCAHMy x 当点G落在边AB上，易知AGFABC得 ，即y x ，解得x 过C作CMAB于MEPDBCAFGH由CBMABC，得BM x （2）当P、G、F三点共线时，连接PG则PGBD，PGD90AHBDPGBDP90BAHEPDBCAFGPDGABH，得PG y由APFABC，得 ，即y x ，解得x 即BP的长为 EPDBCAFG（3）若PDGD则 x x ，解得x3若PDPG，则PDGPGDPDGPDB90，BPDB90，BCPDGPGDBCEPDBCAFGPDGABC，得PD y x ( x )，解得x 若PGDG同理可得GPDABC，GD PD x x x，解得x 15（浙江模拟）如图，已知直线l：y3x6与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C的坐标为（8，0）直线l沿x轴正方向平移m个单位（0m10）得到直线l，直线l 与x轴、直线BC分别相交于点D、E（1）求sinACB的值；（2）当CDE的面积为 时，求直线l 的解析式；EABDxOyllC（3）将CDE沿直线l 对折得到CDE，记CDE与四边形ADEB重叠部分的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求当S最大时四边形DCEC 的周长EABDxOyllC解：（1）y3x6，当x0时，y6B（0，6），OB6C（8，0），OC8BC 10sinACB （2）y3x6，当y0时，x2A（2，0），ACBC10EABDCxOyllCSABC ACOB 10630由题意知ll，CDENCAB ( )2， ( )2CD5，D（3，0）设直线l 的解析式为y3xb，把D（3，0）代入，得b9直线l 的解析式为y3x9（3）由（2）可知，当m5时，点C 正好落在AB上当5m 10时，点C 在ABC内EABDCGxOyllCFSSCDE SCDE ( )2SABC ( )230 (10m )2当0m 5时，点C 在ABC外，设CD、CE分别交AB于点F、GACBC10，ABC是等腰三角形易知DAF、EBG、CDE都是与CAB相似的等腰三角形SDAF SEBG ( )2SABC m 2S302 m 2 (10m )26m m 2综上可知，S关于m的函数关系式如下：S 显然，在5m 10范围内，当m5时，S最大 在0m 5范围内，S6m m 2 (m )210，当m 时，S最大10当m 时，S最大10易知四边形DCEC 是菱形，所以当S最大时四边形DCEC 的周长4(10m )4(10 ) 16（江苏模拟）车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角是45的位置（如图1中的位置）例如，图2是某巷子的俯视图，巷子路面宽4m，转弯处为直角，车辆的车身为矩形ABCD，CD与DE、CE的夹角都是45时，连接EF，交CD于点G，若GF的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过（1）试说明长8m，宽3m的消防车不能通过该直角转弯；（2）为了能使长8m，宽3m的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（ 和 分别是以O为圆心，以OM和ON为半径的弧），具体方案如图3，其中OMOM ，请你求出ON的最小值图2DBAGCEF图3NOMM N 图1DBAGCEFH解：（1）作FHEC于H，则FHEH4EF4且GEC45GC DC4，GEGC4GF443，即GF的长度未达到车身宽度消防车不能通过该直角转弯（2）若C、D分别与M 、M重合，则OGM为等腰直角三角形OG4，OM4DBAECNOMM N GFOFONOMMN44FG843C、D在 上连接OC，设ONx在RtOCG中，OGx3，OCx4，CG4由勾股定理得( x3)24 2( x4)2解得x4.5即ON的最小值为4.5米17（上海模拟）如图，在RtABC中，C90，点O为AB中点，以O为坐标原点，x轴与AC平行，y轴与CB平行，建立直角坐标系，AC与y轴交于点M，BC与x轴交于点N将一把三角尺的直角顶点放在坐标原点O处，绕点O旋转三角尺，三角尺的两直角边分别交射线CA、射线BC于点P、Q（1）证明：OMPONQ；ABPCxOMyQN（2）若A60，AB4，设点P的横坐标为x，PQ长为y当点P在边AC上运动时，求y关于x的函数关系式及定义域；（3）若A60，AB4，当PQC的面积为 时，求CP的长（1）证明：由题意知POQMON90PONQON90，POMPON90QONPOMONAC，OMBC，且C90，OMPONQ90ABPCxOMyQNOMPONQ（2）解：在RtABC中，C90，A60，AB4AC2，BC2O是AB的中点，且ONAC，OMBCOM，ON1则P（x，），CP1x由OMPONQ，得 NQ ，CQ 在RtCPQ中，yPQ 即y关于x的函数关系为y （1x 1）（3）当点Q在边BC上时ABPCxOMyQN由（2）知，CP1x，CQ SPQC CPCQ (1x )( ) 解得x10，x22CP1或3当点Q在BC延长线上时易知，CP1x，CQ SPQC CPCQ (1x )( ) 解得x11 ，x21 0，x 3x1 不合题意，应舍去，x1 CP2 综上所述，当PQC的面积为 时，CP的长为1或3或2 EABCFPDG18（江苏模拟）如图，已知线段AB长为12，点C、D在线段AB上，且ACDB2动点P从点C出发沿线段CD向点D移动（移动到点D停止），分别以AP、BP为斜边在线段AB同侧作等腰RtAEP和等腰RtBFP，连接EF，设APx（1）求线段EF长的最小值；（2）当x为何值时，EPF的外接圆与AB相切；（3）求四边形AEFB的面积y与x的函数关系式；（4）设EF的中点为G，直接写出整个运动过程中点G移动的路径的长解：（1）作EHAB于H，FKAB于K，ELFK于LEABCFPDGHKLMNAPx，PB12x（2x 10）EH AP x，FK PB ( 12x )6 xELHKHPPK AP PB6FLFKLKFKEH6 x x6xEF 2EL 2FL 26 2( 6x )2当x6时，EF 2有最小值36线段EF长的最小值是6（2）作GMAB于M，则GM ( EHFK )3可见在点P由点C向点D移动过程中，点G到AB的距离始终为3，而由（1）知线段EF的长随x的变化而变化，当x6，即点P运动到AB中点时，EF62GM，而由题意可得EPF90，EPF是直角三角形，所以点G是EPF外接圆的圆心，只有此时EPF的外接圆才与AB相切当x6时，EPF的外接圆与AB相切（3）延长AE、BF交于点H易知ANB是等腰直角三角形，四边形PENF是矩形S四边形AEFB SANB SENF SANB SEPF 126 x ( 12x ) x 23x36即y x 23x36（4）由（2）知点G到