2017_2018学年高中数学第二章变化率与导数2.2导数的概念及其几何意义课件北师大版.pptx

2.2 导数的概念及其几何意义,1.导数的概念 定义:设函数y=f(x),当自变量x从x0变到x1时,函数值从f(x0)变到f(x1),函数值y关于x的平均变化率为,当x1趋于x0,即x趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率,在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0点的导数.,2.函数y=f(x)应在x=x0及其附近有意义,否则导数不存在.,【做一做1】 函数f(x)=x2在x=1处的导数为 .,解析:y=(1+x)2-1=2x+(x)2,答案:2,2.导数的几何意义 (1)割线的斜率. 已知f(x)图像上两点A(x0,f(x0),B(x0+x,f(x0+x),过A,B两点的割线的斜率是 ,曲线割线的斜率就是函数的平均变化率. (2)切线的斜率. 当点B沿曲线趋近于点A时,割线AB绕点A转动,它的最终位置为直线AD,这条直线AD叫作此曲线在点A的切线.则当x0时,割线AB的斜率趋近于在点A的切线AD的斜率,即 = 切线AD的斜率. (3)导数的几何意义. 函数y=f(x)在x0处的导数,是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线的斜率.函数y=f(x)在x0处切线的斜率反映了导数的几何意义.,名师点拨曲线的切线与导数 (1)曲线的切线并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个,甚至可以有无穷多.与曲线只有一个公共点的直线也不一定是曲线的切线. (2)函数f(x)在x0处有导数,则在该点处函数f(x)表示的曲线必有切线,且导数值是该切线的斜率. (3)曲线y=f(x)在x=x0处的切线方程为y-f(x0)=f(x0)(x-x0).,【做一做2】 函数y=f(x)= 在x=1处的切线方程为 .,则切线方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.,答案:x+y-2=0,思考辨析 判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内画“”,错误的画“”. (1)函数f(x)在定义域内的任一点都存在导数. ( ) (2)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点. ( ) (3)若f(x0)=0,则曲线y=f(x)在点(x0,f(x0)处的切线与x轴垂直. ( ) (4)若曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0)处的导数不存在,则在该点处的切线也不存在. ( ),探究一,探究二,探究三,思维辨析,导数的定义 【例1】 如果一个质点由定点A开始运动,在时间t的位移函数为y=f(t)=t3+3,求t1=4时的导数. 分析:根据函数y=f(x)在点x0处导数的求解步骤即可解题.,函数y=t3+3在t1=4时的导数f(4)=48.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤 (1)求函数的增量y=f(x0+x)-f(x0);,可以简记为“一差,二比,三极限”.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,导数的几何意义,(1)点P处的切线的斜率; (2)点P处的切线方程. 分析:利用导数的几何意义求出切线的斜率,进而求得切线方程.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟求过曲线上一点的切线方程的步骤 (1)求斜率.求出曲线在点(x0,f(x0)处的导数,即切线的斜率. (2)写方程.用点斜式y-f(x0)=f(x0)(x-x0)写出切线方程. (3)变形式.将点斜式化为一般式.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练2在平面直角坐标系xOy中,若曲线y=ax2+ (a,b为常数)过点P(2,-5),且该曲线在点P处的切线与直线7x+2y+3=0平行,则a+b的值是 .,答案:-3,探究一,探究二,探究三,思维辨析,导数几何意义的综合应用 【例3】 已知函数f(x)= 的图像上一点A(4,f(4),O为坐标原点,点B为曲线段OA上一动点,求AOB的面积的最大值. 分析:因为线段OA是固定的,点B在曲线段OA上运动,当点B到OA的距离最大时,AOB面积最大,要使点B到OA的距离最大,需要过点B作平行于OA的切线,进而求得点B坐标,再求面积.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,探究一,探究二,探究三,思维辨析,反思感悟1.与导数的几何意义相关的题目大多与解析几何有关,如直线方程、直线间的位置关系等,因此要综合应用所学知识解题. 2.解决此类问题的关键是函数在某点处的导数,已知切点可以求斜率,已知斜率也可以求切点,切点坐标是常设的未知量.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练3求曲线y=f(x)= 和y=g(x)=x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积.,同理曲线y=x2在点(1,1)处的切线斜率为,探究一,探究二,探究三,思维辨析,所以曲线y=x2在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1. 两条切线与x轴围成的三角形如图所示,探究一,探究二,探究三,思维辨析,求切线方程时,忽略“过”与“在”的差异 【典例】 求曲线y=2x2-7过点P(3,9)的切线方程. 易错分析:求切线方程时,一般先判断该点是否在曲线上,本题中求过点P的切线方程,且点P不在曲线上,所以求出切点坐标是解决此类问题的关键.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,解:设曲线为y=f(x),其在点(x0,y0)处的导数为f(x0),232-7=119, 点P(3,9)不在曲线y=f(x)上, 切线斜率k=4x0, 设切线方程为y-y0=4x0(x-x0),即切点为(2,1)或(4,25). 从而所求切线方程为8x-y-15=0或16x-y-39=0.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,纠错心得1.求曲线在某点处的切线方程时,该点即为切点,可直接求得斜率,写出切线方程,此时切线有且只有一条. 2.求曲线过某点的切线方程时,不论该点是否在曲线上,都不一定是切点,此时应设法求得切点坐标,再写出切线方程,此时切线可能有一条或多条.,探究一,探究二,探究三,思维辨析,变式训练求过点P(-1,0)的曲线y=x2+x+1的切线方程.,解:设曲线y=f(x)=x2+x+1上一点M(x0,y0), 则该点处的切线斜率,于是过点(x0,y0)的切线方程为y-y0=(2x0+1)(x-x0). 点(-1,0)在切线上, -y0=(-1-x0)(2x0+1).,即切点为(0,1)或(-2,3). 则过点(0,1)的切线方程为y-1=x,即x-y+1=0; 过点(-2,3)的切线方程为y-3=-3(x+2),即3x+y+3=0.,1 2 3 4 5,1.设函数f(x)=ax3+2,若f(-1)=3,则a=( ),a=1.,答案:C,1 2 3 4 5,(1,f(1)处的切线斜率为( ) A.2 B.-1 C.1 D.-2,答案:B,1 2 3 4 5,3.若函数f(x)在x0处的导数f(x0)= ,则函数f(x)在x0处的切线的倾斜角为 .,即函数f(x)在x0处的切线的倾斜角为60.,答案:60,1 2 3 4 5,4