_小数的意义_教学的重构_数学史的视角_蔡宏圣.pdf

数学版2 0 1 6 . 7 - 8 数 与 代 数 “小数的意义” 教学的重构： 读写小数，引发冲突一 我们的教材和课堂教学都强调小数与分数的 联系。回到历史的长河里，可以发现在人类各个文 明中，都是先认识正整数和分数。直到18世纪，人 类才建立起稳定的十进小数表示形式， 这比微积 分的出现还要晚100多年！ 这个历史细节特别值 得人们思索，究竟是什么原因，让人类还要创造出 小数？小数、分数、整数间到底有什么内在渊源？教 学能否超越知识本身，给学生更多的积淀？在这些 想法的驱使下，我们有了新的尝试。 教学过程： 师：今天这节课，我们学习“小数的意义”。 大 家都认识小数吧？ 谁来随便说个小数？ 师：（a+b）c是什么意思？ 生：合着算。 先求长，再求面积。 师：ac+bc是什么意思？ 生：分开算，先求每个长方形的面积，再求总 面积。 师：这个图形完美地表达了乘法分配律。 来， 闭上眼睛回忆一下这个图形。 （手伸出来， 我来 说，你来比画）a在哪里？b在哪里？c在哪里？a+ b在哪里？ac在哪里？bc在哪里？ 好的，睁开眼 睛。 设计意图：乘法分配律是一个数学模型。 任何 数学模型都是概括抽象的产物， 任何一种数学模 型都是一种稳定的数学结构， 任何一种数学模型 也都体现着数学的抽象美和简洁美。 在课堂教学 中数学模型抽象建构完成以后，绝不是终点，而从 不同角度的玩味欣赏是对这一数学模型结构、深 刻理解、精准把握的必要环节。 （一）基本练习。 （填空题、判断题，略） （二）沟通联系。 师： 其实我们从二年级起就一直在使用乘法 分配律，只不过大家不知道它的名字而已。现在我 们一起来看看。 1.乘法口算中的乘法分配律现象。（具体题目略） 2.乘法笔算中的乘法分配律现象。 （具体题目略） 3.长方形周长计算中的乘法分配律现象。 （具 体题目略） 设计意图：通过基本练习进一步地熟悉乘法 分配律的结构和原理， 能运用数学模型进行推 理、判断、解释和应用。 而对原有知识的回忆和 沟通，打通了知识之间的联系，让学生更加深刻 地理解乘法分配律这一数学模型的实际应用价 值。 （三）延展思维。 师： 乘法分配律是指两个数的和与一个数相 乘，可以把它们分别和这个数相乘、再相加。 那如 果是三个数的和与一个数相乘呢？ （伴随课件演 示）如果是两个数的差与一个数相乘呢？你还有什 么思考呢？ 下节课我们继续探索。 （作者单位：北京新学道洛阳国际书院）J 蔡宏圣 数 学 史 的 视 角 三 练习巩固，拓展沟通 4 6 2 0 1 6 . 7 - 8数学版 与 代 数 数 交流碰撞，明晰认识二 生：0.5。 师：比0.5大的 生：0.9，1.5。 师：大得多的 生：10000.9。 师： 那有比0.5小的小数 吗？ 生：0.008，0.000008。 师：刚才这一交流，大家对 小数的读与写， 估计都没有问 题了，下面的学习，我们就重点 探讨它的意义。 老师带来了一 个小数，是多少？ （屏幕出示1.2 元与两个长方形， 图略）1元容 易表示（课件中把一个长方形涂 为红色），谁来说说“1.2元”中的 “.2”怎么表示？ 生：是 2 10 。 师：在图上怎么找呢？ 生：应该是1元中的 2 10 。 生：把另一个长方形平均分 成10份，取其中的2份。 生：也可以把它平均分成5 份，取其中的1份。 师：说的是一回事儿。（屏幕 出示把第二个长方形平均分成 10份，其中的2份涂成红色）也 就是说，这个“.2”满不满1元？ 生：不满。 师：现在挑战来了，今天我 们要在计数器上数出小数来。这 是因为著名数学家华罗庚说：数 是数出来的。（屏幕出示：数是数 出来的华罗庚） 一起读一 读。 师：大家的朗读水平也很 高，读得真有味。 很久没数过数 了吧？ 生：我数过的，我睡不着的 时候就数羊。 师：还有这个用处，倒是没 有想到。 回顾一下咱们是怎么 数数的。 老师带来了一个计数 器的模型，咱们一起来数一数。 （课件中出示标明数位的计数 器）在十位上依次拨上1粒珠， 拨3次。 生：（齐）十、二十、三十。 师：怎么没有数成一、二、 三？ 生：珠子拨在十位上，要数 成十、二十、三十。 师：那如果珠子拨在千位 上，你会数成 生：数成一千、二千、三千。 师：都是3粒珠子，大家每 次数的都不一样。 看来，你们不 是 在 数 有 几 粒 珠 子 ， 而 是 在 数（生： 有几个计数单位） 对，而且它们之间有什么关系？ 生：满十进一。 师：（随学生回答板书：满 十 进 一 ）数 数 有 个 规 则 叫 “满 十进一”。 老师现在想把百位 上的一粒珠子还回去，如果还 到十位上，要在十位上拨几粒 珠子？ 生：要拨10粒珠子，也就是 1个百中有10个十。 师：对，我们做减法的时候 当遇到不够减的情况时就是这 么做的，所以“满十进一”的另一 面就是 生：退一作十。 （师板书“退一作十”） 师：大家看，这些都是我们 以前数数过程中积累的知识。现 在， 你能在计数器上拨出1.2 吗？ （学生每人有一张计数器模 型图，从右往左各档位上依次标 明了“个、十、百、千”，学生在图 上画珠） 师：数学学习中独立思考很 重要，这思考之后的交流更重 要，因为在交流中我们才能完善 自己的想法。请15号和32号同 学展示你们的想法。 （15号学生的写法：1写在 十位上，2写在个位上，小数点 写在中间。32号学生的写法：把 1.2都写在个位上） 师：看了这两份作业，谁来 说说你的想法？ 生：我觉得15号同学写得 不对，这个1写在十位上，表示 1个十，可是我们要拨的是1.2。 生：我认为15号同学和32 号同学写得都不对，15号同学 把1写在十位上，但实际上这个 1并没有满十；32号同学把2写 在了个位上，但这个2没有满 4 7 数学版2 0 1 6 . 7 - 8 一，不能写在个位上。 师：我给大家一个建议，我 们讨论问题时逐个进行。 比如， 先说第一位同学的，我们把它说 透彻了，大家一致认为真的有问 题，我们再把它撤下来，再来说 第二个，行吗？ 生：我认为15号同学的写 法表示1个十和2个一，1个十和 2个一表示的是12，而1.2的1应 该是写在个位上的， 把1写在十 位上肯定是不对的，大家同意吗？ 生：（齐）同意！ 师：既然如此，我把15号同 学的写法给拿下来了。不过我们 也得感谢他，他的写法让我们明 白了，这个1肯定不能写到十位 上。按照这样的话，那32号同学 的写法就对了吧？这个1已经写 到了个位上，总没有问题了吧？ 生：32号同学的 “1” 写对 了，是写在个位上的，可是“.2” 写错了，它还没有满一，所以“2” 不能写在个位上，大家同意我的 想法吗？ 师：哎，她刚才说的几句话 中，哪几句特别重要？ 谁来重复 一下？ 生：因为“.2”没有满一，所 以不能写在个位上。 师：“.2”中的“2”不满一，所 以不能写在个位上。 换句话说， 写在个位上的数最小是多少？ （生：1）那这个“.2”该写到哪儿 啊？ 生：往后面写。 师：请允许我插一句，老师 刚刚在大连上课，也是四年级的 学生，有个学生也在动脑筋，他 是这么写的，你觉得怎么样？ （出示作业纸：1写在个位， 然后在十位、百位、千位的地方 写了省略号，“2” 写在千位的左 边） 生：我认为也不对，把这个 数写在前面，比千大的就是万位 了，应该写在个位的后面。 生：1.2的“1”已经满一了， 要写在个位上。但“2”不满一，所 以不能写到个位上。 师：那“2”怎么写呢？ （师展示学生的写法：1写 在个位上，2写在个位后面） 师：看看这位同学的写法。 生：我不同意，他没有写小 数点，应该加上小数点。 师：（点上小数点）现在同意 吗？ 生：不同意（指着已经写在 个位后面的“2”的上面空白处）， 我认为这里最好加个计数单位。 师：好，我们慢慢来。有一点 看来大家已经认可了， 这个“2” 只能写到个位的后面。刚才她非 常棒，进一步提醒我们思考一个 新的问题，那“2”表示什么呀？ 生：我认为“2”表示1的十 分之二，大家同意我的想法吗？ 生：（齐）同意。 生：我认为“2”表示0.2的 意思。 师：“2”就表示0.2，看来大 家有新的发现了！ 生：“2”一定是个新的单位， 而且是比“个”小的单位。 师：当你对新知识感到迷茫 的时候，实际上是对旧知识的理 解还不全面、不透彻。大家看，这 是我们人类最早认识的计数单 位“个（一）”，一个一个数，太麻 烦， 满十进一也就是把 “个”乘 10得 到 一 个 新 的 计 数 单 位 “十”，再不断地满十进一也就是 依次乘10， 相应地得到更大的 计数单位百、千。你看，我们从右 往左观察， 依次乘10得到一个 个更大的计数单位，那么 生：从右往左观察，是一个 个变大；从左往右观察，肯定是 越来越小，一个个缩小。 生：从左往右数，是依次除 以10。 师：是不是？ 来看。 （屏幕出 示从左往右的箭头，以及依次“ 10”）以前到了“个（一）”这个地 方就到底了，“个（一）”就是最小 的计数单位。 那么，“个（一）”后 面还有计数单位吗？ 是什么呢？ 生：“一” 后面还有计数单 位！ 用“一”再除以10。 师：那是什么计数单位？ 生：是十分位。 生： 我知道为什么是十分 位，因为它是1，除以10也就是 个（一）的十分之一。 师： 谁听清楚了？ 他刚才 说 生：（小声地） 一就是个，1 除以10就是 师：你最关键的地方没有说 给大家听，自信点，大声告诉大 数 与 代 数 考察旧单位，创造新单 位 三 4 8 2 0 1 6 . 7 - 8数学版 家！ 生：（大声地）因为个再除以 10，就是十分之一，就叫十分位。 师：1除以10就相当于把1 平均分成（生：10份） 那1 份是（生：1份就是十分之 一，也叫0.1）把“一”除以10，得 到新的单位 “十分之一（0.1）”， 它所在的地方就是十分位。那十 分之一是最小的单位吗？ 生：不是。 还有0.01。 师：0.01是怎么来的？ 生： 就是十分之一再除以 10，也就是百分之一。 师：后面还有吗？ 生：千分之一，万分之一。 师：规律找到了，老师用省 略号表示更多的计数单位。刚才 说“十分之一（0.1）”所在的地方 叫十分位，那么其他新的计数单 位所在的地方叫什么呢？ 生：分别叫“百分位”“千分 位”“万分位”。 师：这样一来，一个小数就 分成了三部分：整数部分、小数 部分和小数点。 现在谁能说说 1.2表示什么？ 生：1.2表示1个一和2个 十分之一。 师：真好！1.2表示1个一、 2个0.1，我这么说行吗？ 生：（齐）可以。 师：（出示1.26）这会儿比 刚才难了， 能说清楚它的意义 吗？ 生：表示1个一、2个0.1和 1个0.01。 师：还有另外一种说法。 生： 就是1个一、2个十分 和6个百分。 生：我来补充，表示1个一、 2个十分之一和6个百分之一。 （师出示0.058） 生：我觉得表示5个百分之 一和8个千分之一，大家同意我 的看法吗？ 生：我还有一种说法，就是 0个一、0个0.1、5个0.01和8 个0.001，大 家 同 意 我 的 想 法 吗？ 生：我觉得个位上和十分位 上不需要说有几个单位了。 师：那这里的“0”有什么作 用？ 生：这里的“0”用来占位。所 以，我们不需要说它有0个计数 单位。 师：真棒，五年级的知识，大 家学得真简单。我们刚才都是 在冷静地思考，还不知道这些 计数单位在数学上都长啥样呢， 想看看长什么样吗？（出示） 如果“一”长这个样子，那你觉 得“十分之一”长什么样子？ 生：像老师的手指头那么 瘦。 师：（出示）看谁能用数 学语言描述准确！ 生：把1平均分成10份，只 剩下其中的1份。 师：恭喜这位同学，用数学 语言说准确了。就相当于把这个 正方形平均分成10份， 就剩下 其中的1份。你知道下面该看谁 长什么样吗？ 生：百分之一。 师：谁来说说看？ 生：把1平均分成100份， 取其中的1份就是百分之一。 师：还有其他办法得到百分 之一吗？谁还能描述一下它长什 么样子？ 生：还可以把“十分之一”再 平均分成10份，1份就是百分 之一。 生：百分之一是非常小的方 块。 生：也可能比又细又长的 “十分之一”还要瘦。 师：（出示）现在，老师 把这些单位都组合在一起了，你 知道它们各是哪些数吗？ 生：第一幅图表示1.9。 师：如果老师把空白的十分 之 一 也 涂 满 ，那 表 示 多 少 了 ？ （生：2）那你们说得那么多的“十 分之一”哪去了？ 生：我觉得这么多“十分之 一”都进到个位上了。 师 ：我们以前只知道整数 部分能满十进一，现在发现满十 进一也能在小数部分和整数部 分之间进行，这是非常大的收 获，继续来！第二幅图，你看出了 哪个数？ 生：4.3。 生：不对，应该是4.03，把1 平均分成了100份，取其中的1 份就是0.01。 师：4.3的错给了我们一个 教训，我们计数时首先还是要找 准什么？ 生：计数单位。 师：对了，找准计数单位，再 慢慢来。 那么，0有什么用呢？ 生：0用来占位。 与 代 数 数 感受“数是数出来的”四 4 9 数学版2 0 1 6 . 7 - 8 师：最后一幅图？ 生：3.32。 师：这里的一小格是计数单 位“百分之一”，这里十分位上的 “3”哪来的？ 生：因为已经满了3个十分 之一，所以这3个十分之一就化 成0.3。 师：谁能说得更明白？ 生：一共有32个百分之一， 其中30个百分之一就看成了3 个十分之一，因为满十进一。 师：好，又是满十进一。来点 有难度的，现在如果把3.32这 个数看成一个整体， 你看到了 332个什么？ 生：332个百分之一。 师：300是哪里来的？ 生：1个一就是100个百分 之一，3个一就是300个百分之 一。 师：今天学的是小数的意 义，小数原本就是以前学的什么 数？ 生：就是以前学的分数。 师：说得更具体些，一个零 点几的小数就是怎样的分数？ 生：就是十分之几、几分之 几的分数。 师：几分之几和十分之几有 区别吗？ 生：几分之几也有可能是百 分之一、千分之一。 师：几分之几还可以是三分 之一、五分之二吗？ 而十分之几 它的分母 生：十分之几的分母就是 10，几分之几的分母随便是多少 都可以。 师：所以要说准确。 一位小 数就是十分之几的分数，那两位 小数就是怎样的分数？（生：百分 之几） 也就是分母是多少的分 数？（生：100）那千分之几表示怎 样的分数？ 生：千分之几表示三位小 数。 师：好，接着看屏幕（课件出 示下图），你又看到了什么？ （生答略） 师：给这幅图拟个标题那就 是“掉进分数计算里去了”。这个 说法表示什么意思呢？ （学生一 脸纳闷儿）我讲一个故事你们就 明白了。 人类使用的整数有无 数个，但是计数单位都是个、十、 百、千、万等，所以整数的加减乘 除计算就很方便。但分数就不同 了，我们后面学习会知道分数的 分母不一样，它的单位就不一 样， 因此分数的计算可麻烦了！ 麻烦到什么程度呢？如果穿越到 几百年前的欧洲，你能解决8个 分数相加的计算题，那你就是顶 尖的数学家！ 所以，分数特别羡 慕整数，希望把自己的计数单位 变得像整数一样能“满十进一、 退