高中数学 2.1.4 函数的奇偶性课件1 新人教B版必修1.ppt

函数的奇偶性,学习目标,1.理解函数奇偶性的定义，掌握用定义判断和证明函数的奇偶性；2.探究并归纳函数奇偶性的判断及其他们的图像特征；3.激情投入、高效学习，体会特殊性与一般性的关系。,y=x2,-x,x,当x1=1,x2=-1时，f(-1)=f(1),当x1=2,x2=-2时，f(-2)=f(2),对任意x，f(-x)=f(x),函数图像关于y轴对称,这样的函数我们称之为偶函数,函数图像关于原点对称,这样的函数我们称之为奇函数,如何用数学语言表述函数图象关于y轴和原点对称呢？,偶函数定义：如果对于函数(x)定义域内的任意一个x，都有(-x)=(x)成立，则称函数(x)为偶函数.图象关于Y轴对称,奇函数定义：,如果对于函数(x)定义域内的任意一个x，都有(-x)=(x)成立,则称函数(x)为奇函数.图象关于原点对称,函数的奇偶性,问题1：奇函数、偶函数的定义中有“任意”二字，说明函数的奇偶性是怎样的一个性质？与单调性有何区别？,强调定义中“任意”二字，说明函数的奇偶性是在定义域上的一个整体性质，它不同于函数的单调性.,问题2：x与x在几何上有何关系？具有奇偶性的函数的定义域有何特征？,奇函数与偶函数的定义域的特征是关于原点对称.,如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形.反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.如果一个函数是偶函数，则它的图象是以y轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数是偶函数.,2.奇函数与偶函数图象的对称性,对于定义在R上的函数f(x)，下列判断是否正确？,若f(2)=f(2)，则函数f(x)是偶函数,若f(2)f(2)，则函数f(x)不是偶函数,错。不满足任意性,对。,例1.判断下列函数奇偶性.,该函数是偶函数,该函数是奇函数,该函数是非奇非偶函数,该函数是非奇非偶函数,定义域不关于原点对称的函数都是非奇非偶函数,1判断下列函数的奇偶性：,练习：,该函数是奇函数,该函数是偶函数,该函数是非奇非偶函数,该函数是偶函数,(4),(7),(8),(偶),2.判断下列函数的是否具有奇偶性,(1)f(x)xx3；(2)f(x)x2；,(3)h(x)x31；,(非奇非偶),(5)f(x)(x1)(x1)；,(6)g(x)x(x1)；,(奇),练习,(非奇非偶),(偶),(奇),(偶),(非奇非偶),3.判断下列论断是否正确,(错),(对),(错),(对),练习,(1)如果一个函数的定义域关于坐标原点对称，则这个函数关于原点对称且这个函数为奇函数；(2)如果一个函数为偶函数，则它的定义域关于坐标原点对称.(3)如果一个函数定义域关于坐标原点对称，则这个函数为偶函数；(4)如果一个函数的图象关于y轴对称，则这个函数为偶函数.,5.如果函数f(x)、g(x)为定义域相同的偶函数，试问F(x)f(x)g(x)是不是偶函数？是不是奇函数？为什么？,4.如果f(0)a0，函数f(x)可以是奇函数吗？可以是偶函数吗？为什么？,练习,(不能为奇函数但可以是偶函数),(是偶函数),6.如图，给出了奇函数yf(x)的局部图象，求f(4).,7.如图，给出了偶函数yf(x)的局部图象，试比较f(1)与f(3)的大小.,练习,例.已知函数f(x)既是奇函数又是偶函数。求证：f(x)=0,证明：因为f(x)既是奇函数又是偶函数所以f(-x)=f(x),且f(-x)=-f(x)所以f(x)=-f(x)所以2f(x)=0即f(x)=0.,这样的函数有多少个呢？,1、函数的奇偶性分类：奇函数偶函数非奇非偶函数既奇又偶函数2、既奇又偶函数的表达式为：f(x)=0,xA，定义域A是关于原点对称的非空数集。既奇又偶函数有无数多个。,课堂小结：,如果定义域关于原点对称，且对定义域内的任意一个x,练习1.若奇函数在原点有定义，则f(0)=?,0,练习2.判断的奇偶性？,定义域是0，f(x)=0,是既奇又偶函数。,奇偶函数的单调性,奇同偶异,例1已知函数y=f(x)在R上是奇函数，而且在（0，+）上是增函数，证明y=f(x)在（-，0）上也是增函数.,答案：（1）非奇非偶（定义域关于原点不对称）.（2）奇函数.,小结,1、单调性：定义域某区间，是函数的局部性质奇偶性：整个定义域，是函数的整体性质2、判断奇偶性的步骤和方法（1）定义法：定义域是否关于原点对称？f(x)与f(-x)的关系？（2）图像法：（3）性质法：,练习2.设f(x)是奇函数，而且在（0，+）上是减函数，证f(x)在（，0）上是减函