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,第二章,空间向量与立体几何,本章高效整合,知能整合提升,1空间向量的概念与运算(1)空间向量的有关定理共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(b0,ab的充要条件是存在实数,使得ab.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使pxayb.空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对空间任一向量p,存在有序实数组x,y,z,使得pxaybzc.其中,a,b,c叫做空间的一个基底,两向量的数量积两个非零向量a,b的数量积ab|a|b|cosa,b向量的数量积的性质(e是单位向量)ae|a|cosa,e;)abab0;)|a|2aaa2;)|ab|a|b|.向量的数量积满足如下运算律:)(ab(ab);)abba(交换律);)a(bc)abac(分配律),2平行与垂直关系的证明(1)利用向量处理平行问题空间图形的平行关系包括直线与直线的平行,直线与平面的平行,平面与平面的平行,它们都可以用向量方法来研究具体情况如下:设a,b是两条不重合的直线,它们的方向向量分别为a,b,那么abab.根据实数与向量积的定义:abakb(kR,k0)平面与平面平行可以转化为两个平面的法向量平行:设两个不重合的平面,的法向量分别为a,b,那么ab.,(2)利用向量处理垂直问题空间的线线、线面、面面垂直关系,都可以转化为空间两个向量垂直的问题来解决设a,b分别为直线a,b的一个方向向量,那么ababab0;设a,b分别为平面,的一个法向量,那么abab0;设直线l的方向向量为a,平面的法向量为b,那么lab.此外,也可证明l的方向向量与平面内两条相交直线所对应的方向向量垂直,热点考点例析,答案:(1)A,思维点击证明平行问题,除了应用传统的线线平行的判定定理外,还可以利用向量共线及平面的法向量进行证明证明垂直问题,除了应用传统的垂直问题的判定定理外,还可利用向量数量积进行判断,是非常有效的方法利用空间向量解立体几何问题,优点是思维量小,缺点是计算量大,思维点击建立坐标系,通过向量坐标运算、数量积为零证明D1EA1D;求出平面ACD1的法向量,代入公式求解,答案:A,2若两个不同平面,的法向量分别为u(1,2,1),v(3,6,3),则()ABC,相交但不垂直D以上均不正确解析:v3u,vu.故.答案:A,答案:C,答案:D,答案:21,6平面的法向量为(1,0,1),平面的法向量为(0,1,1),则平面与平面的夹角的大小为_,(3)设u是平面的法向量,a是直线l
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