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1 / 3 解答数学题不能只凭想象 有些貌似简单，似乎不需要通过计算就能得出结论的问题，往往容易使你判断失误，造成错解。我们先看 例 1。 例 1 有两块大小一样的正方形钢板，其中一块冲出 4 块大小一样的圆形钢片（如图 1（甲），另一块冲出 9块大小一样的圆形钢片（如图 1（乙）。问哪一块钢板所剩的下脚料多？ 附图 图 乍一看，图 1（甲）所剩的下脚料多一些，因为图 1（甲）中的空隙大，而图 1（乙）中，每个圆的面积小， 填补空隙的能力强， 留下的空隙小，似乎很有道理，其实不然。我 们先解决一个简单的问题。 如图 2，求正方 形内切圆的面积占该正方形面积的百分之几？ a 不妨设这个正方形的边长为 a，则其内切圆的半径为， 2 a （ ） 2 2 1 由，得2 / 3 正方形内 a2 4 切圆的面积占该正方形面积的。 附图 图 现将图 1 中的（甲）（乙）两图添作辅助线，如图 3 所示： 附图 图 令正方 形钢板的面积为 S，由上例立即得到，图3（甲）中每个圆形 1 1 钢片的面积为 S，所剩下脚料的面积为 S S 4 4 1 4 S。同理，图 3（乙）中每个圆形钢片的面积为 S 9 1 ， 所剩下脚料的面积为 S S 9S。综上所述， 9 两块钢板所剩的下脚料同样多。 例 2 如图 4，两只同样大的硬币，其中一只固定，3 / 3 另一只沿其周边滚动（无滑动）。当滚动的一只硬币沿 固定的一只硬币周边滚过一圈回到原来的位置时，滚动的那个硬币转了几周？ 附图 图 对这个问题不仔细考虑，动币好像转了一周。但认真加以分析，问题并不那么简单。为了便于说明问题， 在动币圆周上取一点 A（如图 4），考察 A 转过的角度，每转过一个 360为一周。现将此运动分解成两种简单运 动。第一种运动，如图 5（甲），动币的轴 AB 的方向始终指向定币的圆心， B 点在定币周边上滑动一周，此时， A 转过 360； 第二种运动，如图 5（乙），动币沿着与定币周长相等的一条线段滚动， A 又转过了 360。这 样 ，以上两种运动合起来，动币转了 2 周。本题，也可以用动币圆心轨迹的长除以动币的周长，求出动币转的周数 。以上结果，可通过动手操作，直接得到验证。 附图 图 由此看出，对一些似乎能一眼看出答案的题目，不能只凭想象，还要通过分析、计算或实际操作，从而得 出正确的
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