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文档简介
微点深化立体几何中的轨迹与折叠问题,1.运动变化中的轨迹问题的实质是寻求运动变化过程中的所有情况,发现动点的运动规律.2.将平面图形沿其中一条或几条线段折起,使其成为空间图形,这类问题称为立体几何中的折叠问题,折叠问题常与空间中的平行、垂直以及空间角相结合命题,考查学生的空间想象力和分析问题的能力.,热点一以立体图形为载体的轨迹问题【例1】(1)已知在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与平面A1B1C1D1垂直,且ADAB,E为CC1的中点,P在对角面BB1D1D所在平面内运动,若EP与AC成30角,则点P的轨迹为()A.圆B.抛物线C.双曲线D.椭圆(2)(2018宁波期中)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是平面AC内的动点,若点P到直线A1D1的距离等于点P到直线CD的距离,则动点P的轨迹所在的曲线是()A.抛物线B.双曲线C.椭圆D.直线,解析(1)因为在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1与平面A1B1C1D1垂直,且ADAB,所以该平面六面体ABCD-A1B1C1D1是一个底面为菱形的直四棱柱,所以对角面BB1D1D底面ABCD,AC对角面BB1D1D.取AA1的中点F,则EFAC,因为EP与AC成30角,所以EP与EF成30角.设EF与对角面BB1D1D的交点为O,则EO对角面BB1D1D,所以点P的轨迹是以EO为轴的一个圆锥的底面,故选A.,答案(1)A(2)B,探究提高研究立体几何中点的轨迹问题一般先将问题平面化,将问题转化为两平面或曲线的交线,或者直接用平面解析几何知识如圆锥曲线的定义或建系去处理.,(2)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,P是侧面BB1C1C内一动点,若P到直线BC与直线C1D1的距离相等,则动点P的轨迹所在的曲线是()A.直线B.圆C.双曲线D.抛物线,解析点P到直线C1D1的距离即为点P到点C1的距离,所以在平面BB1C1C中,点P到定点C1的距离与到定直线BC的距离相等,由抛物线的定义可知,动点P的轨迹所在的曲线是抛物线,故选D.,答案D,(3)如图,定点A和B都在平面内,定点P,PB,C是内异于A和B的动点,且PCAC.那么,动点C在平面内的轨迹是()A.一条线段,但要去掉两个点B.一个圆,但要去掉两个点C.一个椭圆,但要去掉两个点D.半圆,但要去掉两个点,解析由PB,可得PBAC,又PCAC,所以AC平面PBC,则可得ACBC,由于定点A和B都在平面内,动点C满足ACBC的轨迹是在平面内以AB为直径的圆,而C是内异于A和B的动点,所以动点C在平面内的轨迹是在平面内以AB为直径的圆(去掉两个A、B).故选B.,热点二立体几何中的折叠问题【例2】(1)(2018浙江名校协作体联考)已知矩形ABCD,AB1,BC.将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中()A.存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直B.存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直C.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直D.对任意位置,三对直线“AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直,求证:ACEF;求直线AD与平面ECDF所成角的大小.,探究提高立体几何中的折叠问题,关键是搞清翻折前后图形中线面位置关系和度量关系的变化情况,一般地翻折后还在同一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化.,【题组训练2】(1)(2018诸暨调研)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点,沿AE,AF,EF把正方形折成一个四面体,使B,C,D三点重合,重合后的点记为P,P点在AEF内的射影为O,则下列说法正确的是()A.O是AEF的垂心B.O是AEF的内心C.O是AEF的外心D.O是AEF的重心,解析由题意可知PA,PE,PF两两垂直,所以PA平面PEF,从而PAEF,而PO平面AEF,则POEF,因为POPAP,所以EF平面PAO,EFAO,同理可知AEFO,AFEO,O为AEF的垂心.,答案A,(2)(2018杭州一模)如图,ABC是等腰直角三角形,ABAC,BCD90,且BCCD3.将ABC沿BC的边翻折,设点A在平面BCD上的射影为点M,若点M在BCD内部(含边界),则点M的轨迹的最大长度等于_;在翻折过程中,当点M位于线段BD上时,直线AB和CD所成的角的余弦值等于_.,(3)(2018浙江三市质检)如图,在等腰三角形ABC中,ABAC,A120,M为线段BC的中点,D为线段BC上一点,且BDBA,沿直线AD将ADC翻折至ADC,使ACBD.,证明:平面AMC平面ABD;求直线CD与平面ABD所成的角的正弦值.,证明因为ABC为等腰三角形,M为BC的中点,所以AMBD,,又因为ACBD
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