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题目：题目： 基于基于 MATLABMATLAB 的电路分析计算的电路分析计算 院（系）院（系） 信息科学与工程学院 专专 业业 电气工程及其自动化 届届 别别 2010 届 学学 号号 0615312038 姓姓 名名 姚鹏飞 指导老师指导老师 卢小芬（副教授） 华侨大学教务处印制华侨大学教务处印制 2010 年年 6 月月 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 1 摘摘 要要 电路是电子类各专业的重要专业基础课，学生学好电路分析一课， 对以后大部分以电路分析研究为基础的课程是至关重要的。而 MATLAB 是用于 科学与工程计算的一种著名软件。熟练掌握 MATLAB 并使用它进行电路分析， 可以使我们从复杂的电路数学计算中解脱出来， 从而有更多的精力进行电路模型 的分析。 本文介绍了 MATLAB 的计算、绘图、编程的基本知识，用它对电阻电路、 动态电路、正弦稳态电路、耦合电感、拉普拉斯变换、频域分析等电路章节的具 体实例进行了计算。对软件的具体应用作了进一步说明，可供在培养学生的实践 能力和创新能力时参考， 也为电工学课程的教学和实验改革提供了一些可行的具 体经验和做法。 关键词：关键词：MATLAB 软件；电路分析 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 2 ABSTRACT Electronic circuit analysis is a major professional introductory course of the professional category. Students learn a lesson of the circuit analysis is important for most of the courses based on circuit in future study. MATLAB is a famous math software oriented science and engineering calculation. Master MATLAB and use it to the circuit analysis, we could free from the complex mathematical calculation of the circuit, so we have more energy to make the model of a circuit analysis. In this paper, its application in circuit analysis based on consideration, illustration and program are introduced. At the same time, the examples of the electrical resistance circuit, the dynamic circuit, the sinusoidal steady-state circuit, the coupled Inductor circuit, the laplace transform and the frequency domain analysis of the circuit chapters are presented to demonstrate this application further. Thus， some experiences drawn from above application can be as a reference for developing students practice and creative capability and a practicable way which can promote innovation in electrical engineering education and experiments， are offered keywords： MATLAB software, Circuit analysis 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 3 目录目录 引 言. 1 一、MATLAB 基础 . 2 二、电阻电路分析. 4 三 动态电路分析. 11 四、稳态电路. 23 五、耦合电感. 28 六、拉普拉斯变换. 32 七、频域分析. 34 八、结束语. 38 参 考 文 献. 39 致谢. 40 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 1 引引 言言 在电路分析中，随着电路规模的加大，微分方程的阶数以及联立方程的个数 势必增多，给解算带来困难。传统的计算机编程语言等在处理高阶微分方程和大 规模联立方程组的问题时， 大量的时间和精力都花在矩阵处理和图形的生成分析 等繁琐易错的细节上。MATLAB在矩阵处理和图形处理等方面有着得天独厚的优 势。利用MATLAB的M 文件来求解电路方程，只需一个或几个语句即可完成。本文 仅以电路分析中的一些问题为例，探索MATLAB软件在电路分析中的应用。 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 2 一、一、MATLABMATLAB 基础基础 启动 MATLAB 后，会出现 MATLAB 桌面，初学时候可以使用桌面布局的 默认值，用鼠标左键单击菜单 ViewDesktop Layoutdefault。 MATLAB 桌面包括以下部分： （1）命令窗口（Command windows） ：是主要交互窗口，用于输入命令并显 示除图形以外的一切执行结果。 “ ”是命令提示符，表示 MATLAB 处于准备状 态，可以在该符号后面输入命令。如果一个命令很长，一个物理行写不下，可以 在第一个物理行之后加上 3 个小黑点（续行符）按回车键，然后下一个物理行接 着写命令的其余部分。 （2）工作空间窗口（Workspace） ：是 MATLAB 用于存储各种变量和结果的 内存空间。在该窗口中显示所有变量的名称、取值，可以对变量进行观察、编辑、 保存和删除。注意，工作空间中的变量只是驻留在内存中，如果要将数据长期保 留备用，必须用 MAT 文件对数据进行保存。 （3）当前目录窗口（Current Directory） ：主要为用户提供目录结构，方便 组织管理文件，不同类型的文件在不同目录下，可以通过路径搜索文件。 （4）命令历史窗口（Command History） ：默认情况下，会自动保留自安装 起所有用过的命令的历史记录，还标明了使用时间，方便查询。通过双击命令可 进行历史命令的再运行。要清楚这些命令，可以选择“Edit”菜单中的“Clear Command History”命令或者选择该窗口的快捷菜单中的“Clear Command History”命令。 矩阵是 MATLAB 的基本处理对象，也是 MATLAB 的重要特征。MATLAB 中的矩阵运算时定义在复数域上的，在输入矩阵时候无须说明矩阵维数和类型， 系统会根据用户的输入自动配置。 冒号也是一个重要的运算符，用它可以产生行向量，格式为 a:b:c 其中 a 是初始值，b 是步长，c 为终止值。 MATLAB 允许对矩阵的单个元素进行赋值和操作。同时在 MATLAB 中矩 阵元素按列编号存储，可以通过矩阵元素的序号来引用矩阵元素。利用冒号表达 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 3 式可以获得子矩阵。A（m,:)表示取矩阵 A 的第 m行的全部元素，A（:,n）表示 取矩阵 A 的第 n列的全部元素，A（m1:m2,:)表示取矩阵 A 的第 m1 到 m2 行的 全部元素， A （:， n1:n2） 表示取矩阵A的第 n1到n2列的全部元素， A （m1:m2,n1:n2） 表示取矩阵 A 的第 m1 到 m2 行内，并在第 n1 到 n2 列中的所有元素。 MATLAB 中矩阵的运算包括矩阵加减法（此时还可以和标量进行运算） ， 矩阵乘法，矩阵乘方等线性代数中定义的运算，这些和线性代数一致。同时在两 个矩阵的维数相同的时候还可以让它们对应元素进行计算， 其计算符号式在矩阵 运算符号前面加点，故叫点运算。 MATLAB 提供了 6 种关系运算： (大于)， =(大 于或等于)，=(等于)，=（不等于） 。MATLAB 提供了 3 种逻辑运算， m xIU指令和结果如下： a=5/6-10/3 0;1/3-10/3 1;b=3/2-5-30/3;-30/3;x=aa 运行结果是:x= 5.4000 6.2000 例 2：如图，已知 R=1 ，Us=14V，求支路电流 i 和支路电压 U。 + _US R R RR + _ U 0.5 U i 0.5i m1 + _US R R RR + _ U 0.5 U i 0.5i m2 m3 + _ Uo 解：设三个回路电流分别为 1m I、 2m I、 3m I，则： 130 230 3 (1 1)14 (1 1) 0.5 mm mm m IIU IIU Iu 补充方程为： 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 6 13 21 23 0.5 mm mm mm IIi IIi IIu 由此可以解出 1 1 m IA、 2 3 m IA、 3 3 m IA 、4iA、6uV。 将方程整理为 1230 1230 1230 1230 1230 1230 (1 1)00014 0(1 1)000 0000.500 0000 00.5000 0000 mmm mmm mmm mmm mmm mmm IIIiuU IIIiuU IIIiuU IIIiuU IIIiuU IIIiuU 然后用 MATLAB 计算如下：其中 1230 ; ; ; mmm xIIIi u U a=1+1 0 -1 0 0 1;0 1+1 -1 0 0 -1;0 0 1 0 0.5 0;1 0 -1 -1 0 0; -1 1 0 -0.5 0 0;0 1 -1 0 -1 0;b=14;0;0;0;0;0;x=ab 运行结果为：x= 1 3 -3 4 6 9 在以上例题中，采用的思想是找准未知量，采用分离变量的方法让未知量在 方程组的一侧，然后把方程组写成矩阵 Ax=B，未知量构成的矩阵（或者列向量） x=AB。所以在 MATLAB 中建立好矩阵就可以求解了，节约了运算时间。以上例子 都是手工带入数据整理方程组的，但注意到数据的值其实是取代的对应的元件， 因此也可以用符号表示方法化简方程组后，编制 M 文件，由 MATLAB 带入数据进 行运算。 例 3：.如图所示，R1=1 ,R2=2 ,R3=3 ,R4=4 ,is=1A,电压控制电流源 的控制系数 g=2S，写出电路的结点方程，并求出结点电压、电流 i3 和独立电流 源发出的功率。 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 7 + _ iS R1 R2 R3 R4 gV V 2 3 1 i3 解：设 Gk=1/Rk（k=1，2，3，4） ，结点电压用 vk（k=1，2，3）表示，把受 控源的控制电压用方程变量表示，v=v1，对各独立结点应用 KCL，得到： 112313 121221 3314 31 ()() ()0 ()0 s G vvG vvi G vvG vgv G vvG vgv 整理后得到： 1313 1 1122 3 334 00 0 0 s GGGG iv gGGGv v gGGG 用节点电压表示电流 3 i和电流源发出的功率： 3313 1 () s iG vv Pvi M 文件如下： G1=1/1;G2=1/2;G3=1/3;G4=1/4;%求电导 is=1;g=2;%已知条件 a=G1+G3 -G1 -G3;g-G1 G1+G2 0;-g-G3 0 G3+G4;%建立系数矩阵 b=is;0;0; v=ab%求解出节点电压 i3=G3*(v(1,1)-v(3,1)%求解电流 p=v(1,1)*is%求解功率 %另外注意，不显示中间过程，中间的运算指令用分号结束的。 %v(1,1)和 v(1)等价；由于矩阵按列存放，所以 v(3,1)也等效于 v(3) 运行结果如下： v= 1.5000 -1.0000 6.0000 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 8 i3= -1.5000 P= 1.5000 利用 MATLAB 可以编程来求解电路问题，可以减少手工整理和运算的难度： 例 4：如图，已知 12312 2 ,4 ,2,4,6 s RRRkkuV ，负载电阻 L R可 变。 （1）问负载电阻何值时可以吸收最大功率？ （1） 研究 L R在0,10范围变化时，吸收功率情况： US + _ R1 R2 R3 RL i1 k1i1 k2i1 a c + _ b 解：首先应作出戴维南模型。 a b c m1 m2 Uac US + _ k1i1 + _ k2i1 _ + Ux R2 R3 R1 i1 开路电压的求解： 12 12 11 21 1 (22)260 220 4 2 mm mmx m m acx II IIU Ii Ii UiU 解得： 1 0.5iA、5 x UV、6 ac UV。 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 9 短路电阻求解： a b c k1i1 + _ k2i1 R2 R3 R1 iS U i i1 如图，利用串联分 流特点和 KCL、KVL 有： 1111 11 46 *224* 4 4 s s s eq ss iiiii iiiU iU R ii 所以当 Leq RR，负载吸收功率最大为 2 6 ( ) 2 2.25 4 w。 对于负载在某区间上变化时吸收功率的情况，则可以取点，根据 2 2 2 () () L ac eqL Lac L LeqL R U RR R U P RRR 计算和绘制图形。 下面用 MATLAB 求解。 a b c US + _ k1i1 + _ k2i1 R2 R3 R1 i1 i iS U US + _ Req iS 上面两图是外加电流源（为了方便建立电路的戴维南模型而外加）后的 电路图，根据手工计算可以知道，当电流源的电流为零时，可以根据 ac U求 出开路电压 oc U，而当 Us=0 时，可以根据电路求出等下电阻。于是解题思路 如下。 先就整个电路进行节点分析（以 c 为参考节点，a，b 节点的节点电压分 别为 a U、 b U） ，然后分别对 s U和 s i取零求出 oc U和 eq R，再利用最大功率原 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 10 理求解。 1 1 333 1 21 312331 1 11 11 11111 ()() 11 abs abs bs k UUii RRR k UUk iU RRRRRR UiU RR 据此可以写成矩阵形式 Ax=Bu，由简图知道： aaceq soc UUR iU。 当0 s i 、6 s UV时， oca UU，令1 s iA，0 s U ，则 a eq s U R i 。 M 文件如下： R1=2;R2=2;R3=4;k1=2;k2=4;%设置元件参数 a=1/R3 -1/R3 -k1/R3;-1/R3 1/R1+1/R2+1/R3 k1/R3-k2;0 1/R1 1; b=0 1;1/R1 0;1/R1 0;%列矩阵方程a*x=b*u， x=Ua;Ub;I1;u=Us;Is Us=6;Is=0;%赋值 X1=ab*Us;Is;Uoc=X1(1,1)%此处要求显示 Uoc Us2=0;Is2=1;%赋值 X2=ab*Us2;Is2;Req=X2(1,1)%求解显示 Req Rl=Req,Pmax=Uoc2/(4*Req)%计算显示最大功率 RL=0:0.1:10; P=Uoc2*RL./(Req+RL).*(Req+RL);%注意此处的点运算 plot(RL,P); xlabel(RL(欧姆）);ylabel(P(瓦）);grid 运行结果如下： Uoc= 6.0000 Req= 4 R1= 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 11 4 Pmax= 2.2500 并显示绘制的曲线 三 动态电路分析 动态电路：除了独立源、受控源外，至少含有电阻、电感、电容三种元件中 的两种的电路。动态电路的电路结构、元件参数等突然发生变化时（换路） ，电 路会从一种稳定工作状态进入到另一种稳定工作状态， 而这个变化需要一定的时 间和过程，这个过程叫做过渡过程（或者动态过程、暂态过程、瞬态过程） 。 电路出现过渡过程的必要条件是电路中含有储能元件而且发生换路。产生过 渡过程的根本原因是电路中的储能发生了变化。 分析动态电路的依据依旧是 KCL、KVL 以及元件特性方程。 由于储能元件的伏安关系是微积分关系，所以列出的方程是微分方程。求解 微分方程需要知道初始条件，即电路中所要求的变量在时的值，也叫初 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 12 始值。求解初始值除了基尔霍夫定律外还用到换路定律。 用 n 阶微分方程描述的电路叫 n 阶电路（这个说明电路阶数未必等于所含储 能元件个数） 。n 阶单输入单输出电路一般形式如下（( )f t为输入，( )r t为响应） ： 11 110110 11 ( )( )( )( )( )( ) .( ).( ) nnmm nmm nnmm d r tdr tdr td f tdf tdf t aaa r tbbbb f t dtdtdtdtdtdt （也叫 n 阶 LTI 系统的线性常系数方程）定义微分算子 d p dt ，积分算子 1 () t pdt ，则上式可以写为： 11 110110 (.) ( )(.) ( ) nnmm nmm papa pa r tb pbpb pbf t 求解这个微分 方程分两步，一是求出对应的齐次方程的通解，二是求出该 非齐次方程的一个特解。则整个微分方程的解就是通解和特解的和。 原微分方程的齐次方程为： 1 110 (.) ( )0 nn n papa pa r t 该齐次方程的特征方程为： 1 110 .0 nn n papa pa 根据上式，得到代数方程 1 110 .0 nn n aaa 根据高等数学有： （1）当某个根是上述方程的 k 重实根（ 1k ） ，对应微分方程的通解项为： 1 12 (.) kx k CC xC xe 注意（k=1）时该根是单实根。 （2）当某两个根（ 1,2 i）是上述方程的一对 k 重复根（1k ） ，对应 微分方程的通解项为： 11 1212 (.)cos(.)sin kkx kk CC xC xxDD xD xx e 12.k CCC、及 12.k DDD、为待定系数，可以根据初始条件求出。 通解中含有 n 个根（重根按重数计算） ，对于每个根（复根则按共轭复数为 一对）按上面的情况求解，然后把所有通解求和，可以得到齐次方程的通解。 根据原微分方程右边 1 110 1 ( )( )( ) .( ) mm mm mm d f tdf tdf t bbbb f t dtdtdt 的结构令 一个类似的( ) f r t且( ) f r t中含有待定参数，将( ) f r t代入原非齐次微分方程，利用 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 13 系数比较确定待定系数，求出( ) f r t。 将齐次方程的通解和该特解求和，就得到原微分方程的解。 3.1 一阶电路分析 一阶电路微分方程为： ( ) ( )( ) dy t y tf t dt （其中( )y t为响应） 对于 RC 一阶电路 eqeq R C；对于 RL 一阶电路 eq eq L R 其中 eq R是电路中独立源置零后，从储能元件两端看去的二端网络的输入电 阻。对于同一个一阶电路，无论以何种电量作为输出，是唯一的，只取决于电 路的结构参数。电路过渡过程的快慢取决于，越大过渡过程越长，工程上认 为经过(45)后过渡过程结束。 一阶电路常用三要素法。手工三要素法计算时，建议画 4 张图，即换路前瞬 间、换路后瞬间（此时电容电压用电压源等效 Us=Uc；电感电流用电流源等效。 电路的拓扑结构和元件参数均是换路后的情形） 、换路后的稳态图以及求时间常 数的图。一般如下： 0 00 ( )( ) ()() t t pp y tyty tyte （其中换路时刻为 0 t，( ) p yt表示稳态响应） 。 当电源为直流源时， 0 0 ( )( ) ()( ) t t y tyy tye 例 5、如图所示，当 t0 时 电感的电流。 1 6UV 2 4UV 2R 1LH 1 2 S + +_ _ 0.2F L i 解：首先确定电路的响应性质。当然可以列出微分方程观察特征根。由 KVL、 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 20 KCL 约束知道，电路中所有支路量的变化规律是相同的，也就是从任何一个支 路量列微分方程，对应特征方程都一样，因此特征根（系统自然频率）也一样。 而所有支路量的性质由电路本身确定，与外加激励无关。 对于本题， 开关闭合后电路是 RLC 串联电路。 特征方程如下： 2 1 0 R pp LLC （注意，RLC 并联电路特征方程为 2 11 0pp RCLC ） 。 而 p 可以表示为 22 0 p （ 0 时电路处于欠阻尼状态， 0 时 电路处于临界阻尼状态， 0 时电路处于过阻尼状态。 ） 代值得到： 2 250pp，所以 2 224 1 5 1 2 2 1 pj 电路处于欠阻尼状态。 接着求电路的稳态值，稳态时电容开路，电感短路，则：( )0 L i 根据稳态值和特征根可以假设： 1 0sin(2) t L iket （k、是参数） 为了求解参数，需要知道电路的初始状态：(0 ) L i 和 0 | L t di dt 由换路定理知：(0 )(0 )4 CC UUV ； 0 (0 )(0 )|0 C LLt dU iiC dt （电容电 压不突变） ，所以0。 换路完成后， RLC iii 对于0时刻利用 KVL 有： 0 2|6 L LCt di iUL dt 即： 0 2 04 1|6 L t di dt 由 1 0sin(2) t L iket （0）代入可得： 00 |sin22cos2|2 tt L tt di kettkek dt 综上 k=1。 所以当 t0 时，sin2( ) t L ietA 。 M 文件如下： R=2;C=0.2;L=1;U1=6;U2=4;%写入元件值 UC0=4;iL0=0;%写入元件初始值 delta=(R/L)2-4*1*1/(L*C); 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 21 p1=(-R/L+sqrt(delta)/2; p2=(-R/L-sqrt(delta)/2;%计算特征根；根据根的情况确定出通解 a=-real(p1);c=imag(p2)2;w=sqrt(c); b=0;%由初始状态 iL0 得到 k=1;%由初始 d(iL)/dt 得到 t=0:0.0001:9; iL=k*exp(-a*t).*sin(w*t+b) plot(t,iL); 运行后绘制图形如下： 例 9：如图， 电容原先以充电， 0 (0 )6 C UUV ，2.5R ，0.25LH， 0.25CF，开关 S 在 t=0 时闭合。求0t 时的( ) C ut和( )i t，并绘制它们的过渡 过程曲线。 ( ) C Ut 2.5R 2.5LH + _ 0.25CF ( )i t S (0)t 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 22 解 ： 开 关S闭 合 后 ， 电 路 微 分 方 程 为 ：0 LRC UUU即 2 2 0 cc c d UdU LCRCU dtdt 初始条件为：(0 )(0 )6 CC UUV ， 0 (0 )(0 ) |0 C t dUii dtCC 特征方程为： 2 10LCpRCp 特 征 根 为 ： 222 1,20 1 () 22 RR p LLLC ， 其 中 2 R L ， 0 1 LC 。 R=2.52 L C =1，所以电路处于过阻尼状态。令： 22 10 p ， 22 20 p ，微分方程通解可表示为： 12 12 ( ) p tp t C utAeA e。 代入初始值得到： 12 11220 (0 )6 |0 C C t AAU dU A pA p dt 12 2,8pp 由此可以解出参数 12 8,2AA 所以 28 ( )82 tt C utee 。 所以 2828 ( )0.25( 1616)44 tttt C du i tCeeee dt 。 M 文件如下： clear clc R=2.5;L=0.25;C=0.25; uc0=6;iL0=0;%输入元件值和初始值 delta=R/(2*L);w0=sqrt(1/(L*C);%计算参数 p1=-delta+sqrt(delta2-w02); p2=-delta-sqrt(delta2-w02); a=1 1;p1 p2;b=uc0;iL0/C;x=ab; 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 23 A1=x(1);A2=x(2);%计算待定系数 t=0:0.01:4;%设定时间组 uc=A1*exp(p1*t)+A2*exp(p2*t); iL=-C*(A1*p1*exp(p1*t)+A2*p2*exp(p2*t); plot(t,uc, :,t,iL) 运行后绘制曲线如下： 四、稳态电路四、稳态电路 由于非正弦量可以利用傅立叶级数展开成多个不同频率的正弦分量的和， 所以非正弦稳态电路可以先对每个频率成分的单独作用分别按正弦稳态电路进 行分析，再叠加起来。也可以利用 MATLAB 的矩阵运算功能，把多个频率分量及 其对应的电压、电流、阻抗都看成一系列元素构成的行向量，这样写的程序更简 洁。可以看出，正弦稳态电路的分析是基础（注意，电路中有 n 个不同频率的电 源共同作用时， 电路的功率有叠加性。 当 n 个电源的频率相同时， 功率不能叠加， 但是电压电流可以叠加） 。正弦量的表示包括幅值、初相、角频率三要素。相量 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 24 表示法需要知道模和辐角，MATLAB 用于处理复数的函数常有以下几个：abs（） 求复数的模， angle （） 求辐角， 默认是按弧度表示， conj （） 求共轭复数， compass （）用于画相量图。画相量图时，串联电路通常以电流为参考相量，并联电路通 常以并联电压为参考相量。 例 10、 如图， 已知( )8cos(245 ) o s u ttV，( )2 2cos2 s i ttA， 12 2GGS， 3 4GS， 4 4CF， 5 1 8 LH，2。求图中的支路电流相量。 i2 C4 i4 G3 i3 uS + _ G2 G1 i1 i2i5 L5 iS a b + _ 2S 2S I1 a b I3 I4j8SI2 I22 I5 4S -j4S 2 0oA 4 2 45oV 解：电路的相量电路如右图，设独立节点 a、b 的节点电压为 1n U ， 2n U ，列 出节点方程为 123413421 3413452221 ()() ()() CnCns CnCLnsns GGGjBUGjBUG U GjBUGjBjBUIIG UI 代入数值化简，得到 12 12 (88)(48)8 2 45 (88)(44)2 o nn nn jUjU jUjU 解得 12 1.075 144.46,2.5 143.1 oo nn UV UV 于是各个支路电流相量为 111 221 3312 4412 552 ()11.86 34.7 2.15 144.46 ()5.7037.87 ()11.40 52.13 10 53.1 o sn o n o nn o Cnn o Ln IG UUA IG UA IG UUA IjBUUA IjB UA 下面用 MATLAB 进行分析。 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 25 M 文件如下： us=(8/sqrt(2)*exp(j*45*pi/180);is=2*exp(0);%有效值相量 G1=2;G2=2;G3=4;C4=4;L5=1/8;b=2;w=2;%输入已知数据 BC4=w*C4;BL5=-1/(w*L5);%此处表示的不是导纳，所以 j 不可写上） A=(G1+G2+G3+j*BC4) -(G3+j*BC4);-(G3+b*G2+j*BC4) G3+j*BC4+j*BL5; B=G1*us;-is; U=AB;%U=Un1;Un2 I1=G1*(us-U(1) I2=G2*U(1) I3=G3*(U(1)-U(2) I4=j*BC4*(U(1)-U(2) I5=j*BL5*U(2) disp(abs(I1,I2,I3,I4,I5)%求幅值 disp(angle(I1,I2,I3,I4,I5)*180/pi) compass(I1,I2,I3,I4,I5) 运行后结果如下： I1 = 9.7500 + 6.7500i I2 = -1.7500 + 1.2500i I3 = 4.5000 - 3.5000i I4 = 7.0000 + 9.0000i I5 = 6.0000 + 8.0000i 11.8585 2.1506 5.7009 11.4018 10.0000 34.6952 144.4623 -37.8750 52.1250 53.1301 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 26 同时绘制相量图; 例 11：如图，对称三相 Y-Y 联结的四线电路中，设对称三相电压源的 A 相电压为 11 ( )(215 2sin40 2sin3) A u ttt V，对称三相负载的原始参数 为10R ，12.74LmH，中线上电感为6.37 O LmH，基波角频率为 1 314/rad s。求线电流和中线电流的有效值。 iC iB iA iO R R R L L L LO O O + + + _ _ _ uA uB uC I3 I3 I3 3I3 R R R O O + + + _ _ _ U3 U3 U3 1 3jL 1 3jL 1 3jL 1 3 O jL 解：上面左图也是对于基波而言的对称三相正弦电流电路。由于电源中 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 27 性点与负载中性点电位相等，中线上的电感不起作用。由此，可以取一相进 行计算。 相电压基波分量有效值为 1 215UV 负载一相对基波的感抗和阻抗分别为 3 11 314 12.74 104XL 11 (104)ZRjXj 22 1 |10410.77Z 故相电流（即线电流）基波分量的有效值为 1 1 1 215 19.96 |Z |10.77 U IA 右图表示了三次谐波电压单独作用时的电路相量模型。其中 3 U 、 3 I 分 别为三次谐波电压相量和电流相量。 三次谐波电压的有效值为 3 40UV， 负载的一相对三次谐波的感抗和阻 抗分别为 3 31 33 314 12.74 1012XL 33 (1012)ZRjXj 中线电感对三次谐波的阻抗为 3 1 33 314 6.37 106 OO ZjLjj 对负载任一相与中线构成的回路，可以得到 3333 3 O UI ZI Z 由此得到 33 3 11 40 333 3101236 OO UU IA ZZRjLjLjj 3 22 40 1.265 1030 IA 进一步，可以求出所要求的中线电流有效值为 2222 13 19.961.26520 l IIIA 中线电流有效值为 2 3 0(3 )3.795 O IIA 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 28 M 文件如下： w1=314;R=10;L=12.74*10-3;Lo=6.37*10-3; U1=215;%基波电压分量有效值 X1=w1*L;Z1=R+j*X1; I1=U1/abs(Z1);%基波电流分量有效值 Io1=0;%基波单独作用的中线电流 U3=40;%三次谐波电压分量有效值 X3=3*w1*L;Z3=R+j*X3; Xo=3*w1*Lo;Zo=j*Xo; I3=U3/sqrt(R2+(X3+3*Xo)2); Il=sqrt(I12+I32)%计算并显示线电流有效值 Io3=3*I3%三次谐波单独作用的中线电流(叠加原理) Io=sqrt(Io12+Io32)%计算并显示中线电流有效值 运行结果如下： 五、耦合电感五、耦合电感 耦合是指两个或两个以上的电路元件或电网络的输入与输出之间存在紧密 配合与相互影响，并通过相互作用从一侧向另一侧传输能量的现象；概括的说耦 合就是指两个或两个以上的实体相互依赖于对方的一个量度。 如果有两只线圈 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 29 互相靠近，则其中第一只线圈中电流所产生的磁通有一部分与第二只线圈相环 链。当第一线圈中电流发生变化时，则其与第二只线圈环链的磁通也发生变化， 在第二只线圈中产生感应电动势。这种现象叫做互感现象。互感是基于耦合作用 的。 例 12、 如图所示含有耦合电感元件的电路， 系由空心变压器与电容联接而成， 称为互感耦合谐振电路。其中联接信号源的电路（即信号输入电路）叫一次侧电 路；另一部分电路（即信号输出电路）叫二次侧电路。求一次侧的输入端等效阻 抗。 I1 I2 1 j L 2 j L R1R2 1 j C U1 j M 解： （1）应用 KVL 定律的相量形式，对一次侧电路和二次侧电路列方程 111121 122222 1 0 R Ij L Ij M IU j M IR Ij L II j C 整理得到 11121 1222 () ()0 Rj L Ij M IU j M IRjXI 其中 22 1 XL C 解得 1 1 22 1122 /() U I Rj LMRjX 一次侧输入端的等效阻抗为 22 1 111 22 1 eq UM ZRj L RjX I 由此可以看出在一次侧输入阻抗中除了自阻抗外还有二次侧电路通过互感 在一次侧产生的一个阻抗，称为反射阻抗。 M 文件如下： syms R1 R2 L1 L2 C w M U1; A=R1+j*w*L1 j*w*M;j*w*M R2+j*(w*L2-1/(w*C); B=U1;0; 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 30 I=AB; Zeq1=U1/I(1); Z1=R1+j*w*L1+(w*M)2/(R2+j*(w*L2-1/(w*C);%注意以下指令是为了 验%证 Zeq1 与手工计算相等的。 c=Zeq1/Z1;d=simple(c); disp(d); disp(Zeq1); 运行结果为： 1 U1/(U1/(R1 + L1*i*w) - (C*M2*U1*w3)/(R1 + L1*i*w)*(L1*w - R1*i + C*M2*w3 - C*L1*L2*w3 + C*R1*R2*w + C*L1*R2*i*w2 + C*L2*R1*i*w2) 例 13、如图所示为一对称三相正弦稳态电路，其中对称三相星形感性负载 的每两相间存在互感。如果感性负载参数为5 ,0.06,0.03RLH MH ，线路 阻抗 1 (0.30.4)Zj，对称三相电源的线电压为 380V，频率为工频，求感性负 载的相电压、相电流及线电压有效值。 A U B U C U A BC A B C R R R M MM 1 Z 1 Z 1 Z A I B I C I N N + + + _ _ _ 解：由题意知道电源相电压为 220V，设220 0o A UV 。已知电路为三相对 称电路，则 0N NU ，可用理想导线连接 N N。依次去耦后画出 A 相计算电 路如下。 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 31 A 1 Z R A U N A N A I + _ LM 1 220 0 ()0.30.45250(0.060.03) 19.70861.656 o A A o U IA ZRjLMjj A 负载端相电压为 () 5250(0.060.03) 19.70861.656 210.265 0.398 AN A o o URjLMI jV V 负载端线电压为 3303210.265 (0.39830 ) 364.189 30.398 ooo ABAN o UUV V 所以负载端的相电压、相电流和线电压的有效值分别为 210.265V，19.708A 和 364.189V。 M 文件如下： UA=220*exp(0); R=5;L=0.06;M=0.03;Z1=0.3+j*0.4;w=2*pi*50; Ia=UA/(Z1+R+j*w*(L-M); Uan=R+j*w*(L-M)*Ia; Uab=sqrt(3)*Uan*exp(j*30*pi/180); disp(负载相电压);disp(abs(Uan); disp(相电流); disp(abs(Ia); disp(负载线电压);disp(abs(Uab); 运行结果如下： 负载相电压 210.2601 相电流 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 32 19.7077 负载线电压 364.1812 六、拉普拉斯变换六、拉普拉斯变换 法国数学家Pierre-Simon Laplace引入的积分变换可以巧妙的把一般常系 数微分方程映射成代数方程，奠定了电路分析、自动控制原理的数学模型基础。 MATLAB 语言求解的步骤如下： （1） 定义符号变量 t，如此就可以描述时域表达式函数。申明符号变量用 syms 命令。 （2） 直接调用 laplace()函数。调用格式为： （a） F=laplace(xt)注意 xt 是函数 x(t)的符号表达式。默认时间变量 t，复频域变量 s。 （b） F=laplace(xt,v,u)用户指定时域变量 v 和复频域变量 u。 （3） 对于复杂的问题，得出的结果形式还需要 pretty()函数或者 latex() 函数对结果进一步处理。 如果已经知道了拉普拉斯变换式子，则可以用 ilaplace()函数进行反变换， 调用格式为： （a） f=ilaplace(Fun)用默认变量 s、t。 （b） f=ilaplace(Fun,u,v)由用户指定时域变量 v 和复频域变量 u。 电感的拉普拉斯变换为( )( )(0 ) L u sSLIsLi 电容的拉普拉斯变换为 (0 )1 ( )( ) C C U u sIs sCs 例 14、已知： 12 4RR ，16 s UV，4LH，2CF，4m。S 断 开已久，在 t=0 时，S 闭合。求0t 时的 K i大小。 基于 MATLAB 的电路分析计算 电气工程及其自动化 33 + + _ _ iK R1 R2 L iL US C mIL + + _ _ IK R1 R2 4S IL US 4IL + _ 16 s 1 2s + _ 8 解：0t 时， 12 16 (0 )2 44 s L U iA RR ， 2 (0 )(0 )(0 )