北京市高考数学模拟试卷理科.pdf

第 1 页（共 23 页） 2019 年北京市高考数学模拟试卷（理科）年北京市高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题共一、选择题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项求的一项 1 （5 分）已知集合 A=x|0x3，xN，B=x|y=29，则集合 A（RB）=（ ） A1，2 B1，2，3 C0，1，2 D （0，1） 2 （5 分）以下说法正确的有（ ） （1）y=x+1 （xR）最小值为 2； （2）a2+b22ab 对 a，bR 恒成立； （3）ab0 且 cd0，则必有 acbd； （4）命题“xR，使得 x2+x+10”的否定是“xR，使得 x2+x+10”； （5）实数 xy 是1 1 成立的充要条件； （6）设 p，q 为简单命题，若“pq”为假命题，则“pq”也为假命题 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 3 （5 分）若双曲线 C： 2 2 2 2=1（a0，b0）的一条渐近线被圆 x 2+y24x=0 所截得的弦 长为 2，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B3 C2 D23 3 4 （5 分）已知 = 2 1 0 ，函数() = ( + )(0，0，| 2)的部分图象如 图所示，则函数( 4) + 图象的一个对称中心是（ ） A( 12 ，1) B( 12 ，2) C(7 12 ，1) D(3 4 ，2) 第 2 页（共 23 页） 5 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中， = 3，AB=2，AD=1，若 M、N 分别是边 BC、 CD 上的点，且满足 = = ，其中 0，1，则 的取值范围是（ ） A0，3 B1，4 C2，5 D1，7 6 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） A8 3 B16 3 C8 D32 3 7（5 分） 阅读右面的程序框图， 运行相应的程序， 若输入 N 的值为 24， 则输出 N 的值为 （ ） A0 B1 C2 D3 第 3 页（共 23 页） 8 （5 分）已知函数 f（x）= 2+3， 1 + 2 ，1 ，设 aR，若关于 x 的不等式 f（x）| 2+a|在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A47 16，2 B47 16， 39 16 C23，2 D23，39 16 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 9 （5 分）已知 a 是实数，i 是虚数单位，若 z=a21+（a+1）i 是纯虚数，则 a= 10 （5 分）某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习 10 组，每组罚球 40 个命 中个数的茎叶图（如图） 则罚球命中率较高的是 11 （5 分）抛物线 y2=ax（a0）的准线与 x 轴交于点 P，直线 l 经过点 P，且与抛物线有公共 点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是 12 （5 分）若两曲线 y=x21 与 y=alnx1 存在公切线，则正实数 a 的取值范围是 13（5 分） 设 Sn是等差数列an的前 n 项和， 若 S250， S260， 则数列1 1 ， 2 2 ， 25 25的最 大项是第 项 14 （5 分）已知函数 f（x）满足对任意的 xR 都有(1 2 + ) + (1 2 ) = 2成立，则 (1 8) + ( 2 8) + + ( 7 8)= 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （13 分）已知函数 f（x）=23sin（ax 4）cos（ax 4）+2cos 2（ax 4） （a0） ，且函数 的最小正周期为 2 （）求 a 的值； （）求 f（x）在0， 4上的最大值和最小值 16 （13 分）如图，已知长方形 ABCD 中，AB=22，AD=2，M 为 DC 的中点，将ADM 沿 AM 折起，使得平面 ADM平面 ABCM （1）求证：ADBM； 第 4 页（共 23 页） （2） 若点 E 是线段 DB 上的一动点， 问点 E 在何位置时， 二面角 EAMD 的余弦值为25 5 17 （14 分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水， 又推进诚信教育，并用“周实际回收水费 周投入成本 ”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四 周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计： 第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期 95% 98% 92% 88% 第二个周期 94% 94% 83% 80% 第三个周期 85% 92% 95% 96% （1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数； （2）分别从表中每个周期的 4 个数据中随机抽取 1 个数据，设随机变量 X 表示取出的 3 个数 据中“水站诚信度”超过 91%的数据的个数，求随机变量 X 的分布列和期望； （3） 已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信 为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数 据陈述理由 18 （13 分）已知函数 f（x）=ex+x2x，g（x）=x2+ax+b，a，bR （1）当 a=1 时，求函数 F（x）=f（x）g（x）的单调区间； （2）若曲线 y=f（x）在点（0，1）处的切线 l 与曲线 y=g（x）切于点（1，c） ，求 a，b，c 的 值； （3）若 f（x）g（x）恒成立，求 a+b 的最大值 19 （14 分）设椭圆 2 2+ 2 2=1（ab0）的离心率 e= 1 2，左焦点为 F，右顶点为 A，过点 F 的 直线交椭圆于 E，H 两点，若直线 EH 垂直于 x 轴时，有|EH|=3 2 （1）求椭圆的方程； 第 5 页（共 23 页） （2）设直线 l：x=1 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B（B 异于点 A） ， 直线 BQ 与 x 轴相交于点 D若APD 的面积为 6 2 ，求直线 AP 的方程 20 （13 分）对于数列 A：a1，a2，an，若满足 ai0，1（i=1，2，3，n） ，则称数 列 A 为“01 数列”若存在一个正整数 k（2kn1） ，若数列an中存在连续的 k 项和该 数列中另一个连续的 k 项恰好按次序对应相等，则称数列an是“k 阶可重复数列”，例如数 列 A：0，1，1，0，1，1，0因为 a1，a2，a3，a4与 a4，a5，a6，a7按次序对应相等，所 以数列an是“4 阶可重复数列” （）分别判断下列数列 A：1，1，0，1，0，1，0，1，1，1是否是“5 阶可重复数列”？如 果是，请写出重复的这 5 项； （）若项数为 m 的数列 A 一定是“3 阶可重复数列”，则 m 的最小值是多少？说明理由； （III）假设数列 A 不是“5 阶可重复数列”，若在其最后一项 am后再添加一项 0 或 1，均可使新 数列是“5 阶可重复数列”，且 a4=1，求数列an的最后一项 am的值 第 6 页（共 23 页） 2019 年北京市高考数学模拟试卷（理科）年北京市高考数学模拟试卷（理科） 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题共一、选择题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 40 分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要 求的一项求的一项 1 （5 分）已知集合 A=x|0x3，xN，B=x|y=29，则集合 A（RB）=（ ） A1，2 B1，2，3 C0，1，2 D （0，1） 【分析】先分别求出集合 A 和 B，从而得到 CRB，由此能求出集合 A（RB） 【解答】解：集合 A=x|0x3，xN=1，2，3， B=x|y=29=x|x3 或 x3， CRB=x|3x3， 集合 A（RB）=1，2 故选：A 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运 用 2 （5 分）以下说法正确的有（ ） （1）y=x+1 （xR）最小值为 2； （2）a2+b22ab 对 a，bR 恒成立； （3）ab0 且 cd0，则必有 acbd； （4）命题“xR，使得 x2+x+10”的否定是“xR，使得 x2+x+10”； （5）实数 xy 是1 1 成立的充要条件； （6）设 p，q 为简单命题，若“pq”为假命题，则“pq”也为假命题 A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 【分析】逐项判断即可 （1）当 x0 时易知结论错误； （2）作差即可判断； （3）根据两边都 为正数的同向不等式的可乘性易得； （4）根据特称命题的否定形式即可判断； （5）取特殊 值易得； （6）根据复合命题的真值易得 【解答】解： （1）当 x0 时函数() = + 1 = () + 1 2，无最小值，故（1）错误； 第 7 页（共 23 页） （2）a2+b22ab=（ab）20 对任意实数 a，b 都成立，a2+b22ab 对任意实数 a，b 恒成 立，故（2）正确； （3）根据不等式的性质易知（3）正确； （4）根据特称命题的否定形式知，命题“xR，使得 x2+x+10”的否定应为“xR，x2+x+1 0”，故（4）错误； （5）取 x=1，y=1 满足 xy，但1 1 ，故（5）错误； （6）若 pq 为假命题，则 p，q 都为假命题，所以p，q 都为真命题，所以pq 为真 命题，故（6）错误 综上可得正确命题为（2） （3） 故选：A 【点评】本题考查了充分必要条件的判断、复合命题真假的判断以及不等式的相关知识其中 命题（1）容易出现错误，应用基本不等式应注意符号属于易错题 3 （5 分）若双曲线 C： 2 2 2 2=1（a0，b0）的一条渐近线被圆 x 2+y24x=0 所截得的弦 长为 2，则双曲线 C 的离心率为（ ） A2 B3 C2 D23 3 【分析】 通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离， 列出关系式， 然后求解双曲线的离心率即可 【解答】解：双曲线 C： 2 2 2 2=1（a0，b0）的一条渐近线不妨为：bx+ay=0， 圆 x2+y24x=0 即为（x2）2+y2=4 的圆心（2，0） ，半径为 2， 双曲线的一条渐近线被圆 x2+y24x=0 所截得的弦长为 2， 可得圆心到直线的距离为：2212= |2| 2+2， 解得：4 242 2 =3， 由 e= ， 可得 e2=4，即 e=2 故选：A 【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考 查计算能力 4 （5 分）已知 = 2 1 0 ，函数() = ( + )(0，0，| 2)的部分图象 第 8 页（共 23 页） 如图所示，则函数( 4) + 图象的一个对称中心是（ ） A( 12 ，1) B( 12 ，2) C(7 12 ，1) D(3 4 ，2) 【分析】利用定积分求出 a 的值，根据函数 f（x）的图象求出 f（x）的解析式， 再利用三角函数的图象与性质求 f（x 4）+a 的对称中心 【解答】解： = 2 1 0 =2 1 2x 2| 0 1=1， 函数() = ( + )(0，0，| 2)的图象知， A=2， 4= 3 12= 4， T=2 =，解得 =2； 又 2 12+= 2，解得 = 3； f（x）=2sin（2x+ 3） ， f（x 4）+a=2sin（2x 6）+1； 令 2x 6=k，kZ， 则 x= 12+ 2 ，kZ， 当 k=1 时，x=7 12， f（x 4）+a 的一个对称中心为（ 7 12，1） 故选：C 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了定积分的计算问题，是中档 题 5 （5 分）如图，在平行四边形 ABCD 中， = 3，AB=2，AD=1，若 M、N 分别是边 BC、 第 9 页（共 23 页） CD 上的点，且满足 = = ，其中 0，1，则 的取值范围是（ ） A0，3 B1，4 C2，5 D1，7 【分析】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出 M，N 的坐标，然后通过二次函数 求出数量积的范围 【解答】解：建立如图所示的直角坐标系，则 B（2，0） ，A（0，0） ，D（1 2， 3 2 ） = = ，0，1， = + = + =M（2+ 2， 3 2 ） ， 即 M（2+ 2， 3 2 ） ； = + = +（ ）=（1 2， 3 2 ）+（1）（2，0）=（5 22， 3 2 ） ， 即 N（5 22， 3 2 ） 所以 =（2+ 2， 3 2 ）（5 22， 3 2 ）=22+5=（+1）2+6 因为 0，1，二次函数的对称轴为：=1， 故当 0，1时，22+52，5 故选：C 【点评】本题考查向量的综合应用，平面向量的坐标表示以及数量积的应用，二次函数的最值 问题，考查计算能力，属于中档题 6 （5 分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（ ） 第 10 页（共 23 页） A8 3 B16 3 C8 D32 3 【分析】几何体是正方体挖去一个同底等高的倒正四棱锥，根据三视图的数据代入体积公式计 算 【解答】解：由三视图知：几何体是正方体挖去一个同底等高的倒正四棱锥，正方体的棱长为 2， 几何体的体积 V=231 3 2 2 2=16 3 故选：B 【点评】本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的 几何量是关键 7（5 分） 阅读右面的程序框图， 运行相应的程序， 若输入 N 的值为 24， 则输出 N 的值为 （ ） A0 B1 C2 D3 第 11 页（共 23 页） 【分析】根据程序框图，进行模拟计算即可 【解答】解：第一次 N=24，能被 3 整除，N=24 3 = 83 不成立， 第二次 N=8，8 不能被 3 整除，N=81=7，N=73 不成立， 第三次 N=7，不能被 3 整除，N=71=6，N=6 3=23 成立， 输出 N=2， 故选：C 【点评】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件进行模拟计算是解决本题的关键 8 （5 分）已知函数 f（x）= 2+3， 1 + 2 ，1 ，设 aR，若关于 x 的不等式 f（x）| 2+a|在 R 上恒成立，则 a 的取值范围是（ ） A47 16，2 B47 16， 39 16 C23，2 D23，39 16 【分析】 讨论当 x1 时， 运用绝对值不等式的解法和分离参数， 可得x2+1 2x3ax 23 2x+3， 再由二次函数的最值求法，可得 a 的范围；讨论当 x1 时，同样可得（3 2x+ 2 ）a 2+ 2 ， 再由基本不等式可得最值，可得 a 的范围，求交集即可得到所求范围 【解答】解：当 x1 时，关于 x 的不等式 f（x）| 2+a|在 R 上恒成立， 即为x2+x3 2+ax 2x+3， 即有x2+1 2x3ax 23 2x+3， 由 y=x2+1 2x3 的对称轴为 x= 1 41，可得 x= 1 4处取得最大值 47 16； 由 y=x23 2x+3 的对称轴为 x= 3 41，可得 x= 3 4处取得最小值 39 16， 则47 16a 39 16 当 x1 时，关于 x 的不等式 f（x）| 2+a|在 R 上恒成立， 即为（x+2 ） 2+ax+ 2 ， 即有（3 2x+ 2 ）a 2+ 2 ， 由 y=（3 2x+ 2 ）2 3 2 2 =23（当且仅当 x= 2 3 1）取得最大值23； 第 12 页（共 23 页） 由 y=1 2x+ 2 2 1 2 2 =2（当且仅当 x=21）取得最小值 2 则23a2 由可得，47 16a2 另解：作出 f（x）的图象和折线 y=| 2+a| 当 x1 时，y=x2x+3 的导数为 y=2x1， 由 2x1=1 2，可得 x= 1 4， 切点为（1 4， 45 16）代入 y= 2a，解得 a= 47 16； 当 x1 时，y=x+2 的导数为 y=1 2 2， 由 1 2 2= 1 2，可得 x=2（2 舍去） ， 切点为（2，3） ，代入 y= 2+a，解得 a=2 由图象平移可得，47 16a2 故选：A 【点评】本题考查分段函数的运用，不等式恒成立问题的解法，注意运用分类讨论和分离参数 法，以及转化思想的运用，分别求出二次函数和基本不等式求最值是解题的关键，属于中 档题 二、填空题共二、填空题共 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 30 分分 9 （5 分）已知 a 是实数，i 是虚数单位，若 z=a21+（a+1）i 是纯虚数，则 a= 1 【分析】由已知条件可得 21 = 0 +1 0 ，求解即可得答案 【解答】解：z=a21+（a+1）i 是纯虚数， 第 13 页（共 23 页） 21 = 0 +1 0 ，解得 a=1 故答案为：1 【点评】本题考查了复数的基本概念，是基础题 10 （5 分）某篮球学校的甲、乙两名运动员练习罚球，每人练习 10 组，每组罚球 40 个命 中个数的茎叶图（如图） 则罚球命中率较高的是 甲 【分析】根据所给的茎叶图，看出甲和乙的两组数据，做出两组数据的平均数，把两个平均数 进行比较，得到甲的命中率比较高 【解答】解：根据茎叶图所给的数据，做出两个组的平均命中球数， 甲的平均命中球数：8+12+13+20+22+24+25+26+27+37 10 =21.4 乙的平均命中球数：9+11+13+14+18+19+20+21+21+23+37 10 =20.5 甲的平均命中球数大于乙的平均命中球数， 即命中率较高的是甲 故答案为：甲 【点评】本题考查茎叶图和平均数，本题茎叶图体现出来的优点是可以保留原始数据，本题是 一个基础题 11 （5 分）抛物线 y2=ax（a0）的准线与 x 轴交于点 P，直线 l 经过点 P，且与抛物线有公共 点，则直线 l 的倾斜角的取值范围是 0， 4 3 4 ，） 【分析】设直线 l 的方程为 y=k（x+ 4） ，联立方程组，令方程有解得出 k 的范围，从而得出倾 斜角的范围 【解答】解：P（ 4，0） ，显然直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 y=k（x+ 4） ， 显然当 k=0 时，直线 l 与抛物线有交点，符合题意； 当 k0 时，联立方程组 = (+ 4) 2= ，消元得：y2 y+ 2 4 =0， 第 14 页（共 23 页） 直线 l 与抛物线有公共点，= 2 2a 20，解得1k1 且 k0， 综上，1k1， 设直线 l 的倾斜角为 ，则1tan1， 又 0，0 4或 3 4 故答案为：0， 4 3 4 ，） 【点评】本题考查了直线与抛物线的位置关系，直线倾斜角与斜率，属于中档题 12（5 分） 若两曲线 y=x21 与 y=alnx1 存在公切线， 则正实数 a 的取值范围是 （0， 2e 【分析】分别求出导数，设出切点，得到切线的斜率，再由两点的斜率公式，结合切点满足曲 线方程，运用导数求得单调区间、极值和最值，即可得到 a 的范围 【解答】解：两曲线 y=x21 与 y=alnx1 存在公切线， y=x21 的导数 y=2x，y=alnx1 的导数为 y= ， 设 y=x21 相切的切点为（n，n21）与曲线 y=alnx1 相切的切点为（m，alnm1） ， y（n21）=2n（xn） ，即 y=2nxn21， y（alnm1）= （xm） ，即：y= + 1 2 = 2+1 = +1 2 42 = ， a0， 42 = 1 即 4 = 2(1 )有解即可， 令 g（x）=x2（1lnx） ， y=2x（1lnx）+2( 1 )=x（12lnx）=0，可得 x=， g（x）在（0，）是增函数； （，+）是减函数，g（x）的最大值为：g（）= 2， 又 g（0）=0， 0 4 2，0a2e 故答案为： （0，2e 第 15 页（共 23 页） 【点评】本题考查导数的几何意义，主要考查导数的运用：求单调区间和极值、最值，考查运 算能力，属于中档题 13（5 分） 设 Sn是等差数列an的前 n 项和， 若 S250， S260， 则数列1 1 ， 2 2 ， 25 25的最 大项是第 13 项 【分析】由已知可得数列an是递减数列，且前 13 项大于 0，自第 14 项起小于 0，可得数列 1 1 ， 2 2 ， 25 25从第14项起为负值， 而 1 1 ， 2 2 ， 13 13为递增数列， 则答案可求 【解答】解：在等差数列an中， 由 S250，S260，得 (1+25)25 2 0 (1+26)26 2 0 ， 130 13+140， 则数列an是递减数列，且前 13 项大于 0，自第 14 项起小于 0， 数列1 1 ， 2 2 ， 25 25从第 14 项起为负值， 而1 1 ， 2 2 ， 13 13为递增数列， 数列1 1 ， 2 2 ， 25 25的最大项是第 13 项 故答案为：13 【点评】本题考查数列的函数特性，考查等差数列前 n 项和的应用，是中档题 14 （5 分）已知函数 f（x）满足对任意的 xR 都有(1 2 + ) + (1 2 ) = 2成立，则 (1 8) + ( 2 8) + + ( 7 8)= 7 【分析】 由题意得两个式子相加可得(1 8) + ( 7 8) + ( 2 8) + ( 6 8) + + ( 7 8) + ( 1 8) = 2， 因为(1 2 + ) + (1 2 ) = 2所以(1 8) + ( 2 8) + + ( 7 8)=7 【解答】解：设(1 8) + ( 2 8) + + ( 7 8) = 所以(7 8) + ( 6 8) + + ( 1 8) = +可得(1 8) + ( 7 8) + ( 2 8) + ( 6 8) + + ( 7 8) + ( 1 8) = 2 第 16 页（共 23 页） 因为函数 f（x）满足对任意的 xR 都有(1 2 + ) + (1 2 ) = 2成立 所以 14=2M 即 M=7 所以(1 8) + ( 2 8) + + ( 7 8)=7 故答案为：7 【点评】本题考查了利用函数的对称性求和，解决本题的关键是发现函数与和式的对称性，利 用倒叙相加法求和此法在数列部分常见，也是一种求和的重要方法 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 80 分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程 15 （13 分）已知函数 f（x）=23sin（ax 4）cos（ax 4）+2cos 2（ax 4） （a0） ，且函数 的最小正周期为 2 （）求 a 的值； （）求 f（x）在0， 4上的最大值和最小值 【分析】 （）利用二倍角以及辅助角公式基本公式将函数化为 y=Asin（x+）的形式，再利 用周期公式求 a 的值 （）x0， 4时，求出内层函数的取值范围，结合三角函数的图象和性质求，可求 f（x） 最大值和最小值 【解答】解： （）函数 f（x）=23sin（ax 4）cos（ax 4）+2cos 2（ax 4） （a0） ， 化简可得：f（x）=3sin（2ax 2）+cos（2ax 2）+1 =3cos2ax+sin2ax+1 =2sin（2ax 3）+1 函数的最小正周期为 2即 T= 2 由 T=2 2，可得 a=2 a 的值为 2 故 f（x）=2sin（4x 3）+1； （）x0， 4时，4x 3 3， 3 4 当 4x 3= 3时，函数 f（x）取得最小值为 13 第 17 页（共 23 页） 当 4x 3= 2时，函数 f（x）取得最大值为 2 1+1=3 f（x）在0， 4上的最大值为 3，最小值为 13 【点评】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数 公式将函数进行化简是解决本题的关键属于基础题 16 （13 分）如图，已知长方形 ABCD 中，AB=22，AD=2，M 为 DC 的中点，将ADM 沿 AM 折起，使得平面 ADM平面 ABCM （1）求证：ADBM； （2） 若点 E 是线段 DB 上的一动点， 问点 E 在何位置时， 二面角 EAMD 的余弦值为25 5 【分析】 （1）在长方形 ABCD 中，AB=22，AD=2，M 为 DC 的中点，可得 AM=BM=2，则 AMBM，由线面垂直的判定可得 BM平面 ADM，则 ADBM； （2）取 M 中点 O，连接 DO，则 DO平面 ABCM，以 O 为原点，建立如图所示空间直角坐 标系，利用向量法能求得 值可得 E 的位置 【解答】证明： （1）长方形 ABCD 中，AB=22，AD=2，M 为 DC 的中点， AM=BM=2，则 AMBM， 平面 ADM平面 ABCM， 平面 ADM平面 ABCM=AM， BM平面 ABCM， BM平面 ADM， AD平面 ADM，ADBM 解： （2）取 M 中点 O，连接 DO， 则 DO平面 ABCM， 以 O 为原点，建立如图所示空间直角坐标系，则平面 ADM 的一个法向量为 =（0，1，0） ， 设 = ， = + =（1，2，1） ， =（2，0，0） 第 18 页（共 23 页） 设平面 AME 的一个法向量为 =（x，y，z） ，则 = 2 = 0 = 2+(1) = 0 ， 取 y=1，得 =（0，1，2 1） 二面角 EAMD 的余弦值为25 5 由 cos ， = | | |= 1 1+( 2 1) 2 =25 5 ，解得 = 1 5 E 为 BD 上靠近 D 点的1 5处 【点评】本题考查线线垂直的证明，考查点的位置的确定与求法，考查空间中线线、线面、面 面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题 17 （14 分）诚信是立身之本，道德之基，某校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水， 又推进诚信教育，并用“周实际回收水费 周投入成本 ”表示每周“水站诚信度”，为了便于数据分析，以四 周为一周期，如表为该水站连续十二周（共三个周期）的诚信数据统计： 第一周 第二周 第三周 第四周 第一个周期 95% 98% 92% 88% 第二个周期 94% 94% 83% 80% 第三个周期 85% 92% 95% 96% （1）计算表中十二周“水站诚信度”的平均数； （2）分别从表中每个周期的 4 个数据中随机抽取 1 个数据，设随机变量 X 表示取出的 3 个数 据中“水站诚信度”超过 91%的数据的个数，求随机变量 X 的分布列和期望； 第 19 页（共 23 页） （3） 已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信 为本”的主题教育活动，根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数 据陈述理由 【分析】 （1）利用平均数公式能求出表中十二周“水站诚信度”的平均数 （2）随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和 数学期望 （3）两次活动效果均好，活动举办后，“水站诚信度”由 88%94%和 80%到 85%看出，后继 一周都有提升 【解答】解： （1）表中十二周“水站诚信度”的平均数： =95+98+92+88+94+94+83+80+85+92+95+96 12 1 100=91% （2）随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3， P（X=0）=1 4 2 4 1 4= 2 64， P（X=1）=3 4 2 4 1 4 + 1 4 2 4 1 4 + 1 4 2 4 3 4= 14 64， P（X=2）=3 4 2 4 1 4 + 3 4 2 4 1 4 + 3 4 2 4 3 4 = 30 64， P（X=3）=3 4 2 4 3 4 = 18 64， X 的分布列为： X 0 1 2 3 P 1 32 7 32 15 32 9 32 EX=0 1 32 + 1 7 32 + 2 15 32 + 3 9 32=2 （3）两次活动效果均好 理由：活动举办后，“水站诚信度”由 88%94%和 80%到 85%看出， 后继一周都有提升 【点评】 本题考查平均数的求法， 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法， 是中档题， 解题时要 认真审题，在历年高考中都是必考题型之一 18 （13 分）已知函数 f（x）=ex+x2x，g（x）=x2+ax+b，a，bR （1）当 a=1 时，求函数 F（x）=f（x）g（x）的单调区间； （2）若曲线 y=f（x）在点（0，1）处的切线 l 与曲线 y=g（x）切于点（1，c） ，求 a，b，c 的 第 20 页（共 23 页） 值； （3）若 f（x）g（x）恒成立，求 a+b 的最大值 【分析】 （）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可； （）求出函数的导数，根据切线方程求出 a，b，c 的值即可； （）设 h（x）=f（x）g（x） ，求出函数的导数，通过讨论 a 的范围，问题转化为 b（a+1） （a+1）ln（a+1） ，得到 a+b2（a+1）（a+1）ln（a+1）1， 令 G（x）=2xxlnx1，x0，根据函数的单调性求出 a+b 的最大值即可 【解答】解： （）F（x）=ex2xb，则 F（x）=ex2 令 F（x）=ex20，得 xln2，所以 F（x）在（ln2，+）上单调递增 令 F（x）=ex20，得 xln2，所以 F（x）在（，ln2）上单调递减（4 分） （）因为 f（x）=ex+2x1，所以 f（0）=0，所以 l 的方程为 y=1 依题意， 2 = 1，c=1 于是 l 与抛物线 g（x）=x22x+b 切于点（1，1） ， 由 122+b=1 得 b=2 所以 a=2，b=2，c=1（8 分） （）设 h（x）=f（x）g（x）=ex（a+1）xb，则 h（x）0 恒成立 易得 h（x）=ex（a+1） （1）当 a+10 时， 因为 h（x）0，所以此时 h（x）在（，+）上单调递增 若 a+1=0，则当 b0 时满足条件，此时 a+b1； 若 a+10，取 x00 且0 1 +1， 此时(0) = 0 ( + 1)0 1 ( + 1) 1 +1 = 0，所以 h（x）0 不恒成立 不满足条件； （2）当 a+10 时， 令 h（x）=0，得 x=ln（a+1） 由 h（x）0，得 xln（a+1） ； 由 h（x）0，得 xln（a+1） 所以 h（x）在（，ln（a+1） ）上单调递减，在（ln（a+1） ，+）上单调递增 要使得“h（x）=ex（a+1）xb0 恒成立”，必须有： 第 21 页（共 23 页） “当 x=ln（a+1）时，h（x）min=（a+1）（a+1）ln（a+1）b0”成立 所以 b（a+1）（a+1）ln（a+1） 则 a+b2（a+1）（a+1）ln（a+1）1 令 G（x）=2xxlnx1，x0，则 G（x）=1lnx 令 G（x）=0，得 x=e由 G（x）0，得 0xe； 由 G（x）0，得 xe所以 G（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+）上单调递减， 所以，当 x=e 时，G（x）max=e1 从而，当 a=e1，b=0 时，a+b 的最大值为 e1 综上，a+b 的最大值为 e1（14 分） 【点评】 本题考查了函数的单调性、 最值问题， 考查导数的应用以及分类讨论思想， 转化思想， 是一道综合题 19 （14 分）设椭圆 2 2+ 2 2=1（ab0）的离心率 e= 1 2，左焦点为 F，右顶点为 A，过点 F 的 直线交椭圆于 E，H 两点，若直线 EH 垂直于 x 轴时，有|EH|=3 2 （1）求椭圆的方程； （2）设直线 l：x=1 上两点 P，Q 关于 x 轴对称，直线 AP 与椭圆相交于点 B（B 异于点 A） ， 直线 BQ 与 x 轴相交于点 D若APD 的面积为 6 2 ，求直线 AP 的方程 【分析】 （1）由离心率可得 a 与 c 的关系，再由|EH|=3 2，得 22 = 3 2，结合隐含条件求得 a 2， b2的值，则椭圆方程可求； （2）设直线 AP 的方程为 x=my+1（m0） ，与直线 l 的方程联立，可得点 P 的坐标，进一步得 到 Q 的坐标 联立直线方程与椭圆方程， 求得 B 点坐标， 则 BQ 所在直线方程可求， 取 y=0， 求得 D 的坐标得到|AD|，结合APD 的面积为 6 2 ，即可列式求得 m 值，则直线 AP 的方 程可求 【解答】解： （1）设 F（c，0） （c0） ， e=1 2，a=2c，又由|EH|= 3 2，得 22 = 3 2， 且 a2=b2+c2，解得2= 1，2= 3 4， 因此椭圆的方程为：2+ 42 3 = 1； （2）设直线 AP 的方程为 x=my+1（m0） ， 第 22 页（共 23 页） 与直线 l 的方程 x=1 联立，可得点 P（1， 2 ） ，故 Q（1， 2 ） 将 x=my+1 与2+ 42 3 = 1联立，消去 x，整理得（3m2+4）y2+6my=0， 解得 y=0，或 y= 6 32+4 由点 B 异于点 A， 可得点 B（3 2+4 32+4 ， 6 32+4） 由 Q（1， 2 ） ，可得直线 BQ 的方程为( 6 32+4 2 )( + 1) ( 32+4 32+4 + 1)( 2 ) = 0， 令 y=0，解得 = 232 32+2，故 D（ 232 32+2 ，0） |AD|=1 232 32+2 = 62 32+2 又APD 的面积为 6 2 ，故1 2 62 32+2 2 | = 6 2 ， 整理得32 26| + 2 = 0，解得|m|= 6 3 ， m= 6 3 直线 AP 的方程为3 + 6 3 = 0，或 3x63=0 【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档 题 20 （13 分）对于数列 A：a1，a2，an，若满足 ai0，1（i=1，2，3，n） ，则称数 列 A 为“01 数列”若存在一个正整数 k（2kn1） ，若数列an中存在