2018年高中数学 第三章 导数应用 3.2.2 最大值、最小值问题课件3 北师大版选修2-2.ppt

2.2最大值、最小值问题,求极值的步骤：,1.求导数；,2.解方程；,3.对于方程的每一个解，分析在左右两侧的符号，确定极值点：在两侧若的符号,（1）“左正右负”，则为极大值点；,（2）“左负右正”，则为极小值点；,（3）相同，则不是极值点；,复习回顾,极值是函数的局部性质，而不是在整个定义域内的性质，即：如果是的极大(小)值点，那么在附近找不到比更大(小)的值。但是，解决实际问题或研究函数性质时，我们往往更关心在某个区间上，函数的哪个值最大，哪个值最小。,观察下面区间a,b上函数y=f(x)的图象，找出它的极大值点，极小值点？,极大值点，,极小值点,你能说出函数的最大值点和最小值点吗？,最大值点：a，,最小值点：d,抽象概括：,函数y=f(x)在区间a,b上的最大(小)值点指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都不超过(不小于)。其中叫函数在这个区间上的最大(小)值。函数的最大值和最小值统称为最值。,问题1.,函数的最值与极值有什么区别?,（1）函数的最值是一个整体性概念，最大值必须是整个区间上所有函数值中的最大者，最小值必须是整个区间上所有函数值中的最小者。,（2）函数的最大值和最小值是比较整个定义区间的所有函数值得到的；极大值和极小值是比较极值点附近的函数值得出的。极值可以有多个，但最值只能有一个；极值只能在区间内取得，最值可以在端点取得。,注意：,概括总结,问题2.,函数y=f(x)在区间a,b内的最大值和最小值可能在什么地方取到?,最小值是f(b).,单调函数的最大值和最小值容易被找到。,函数y=f(x)在区间a,b上,最大值是f(a),图1,最大值是f(x3),图2,函数y=f(x)在区间a,b上,最小值是f(x4).,图3,一般地，如果在区间a,b上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,最大(小)值在极大(小)值点或区间的端点处取得。,结论：,怎样求函数y=f(x)在区间a,b内的最大值和最小值？,思考,只要把函数y=f(x)的所有极值连同端点的函数值进行比较即可。,例1求函数在区间上的最值。,分析：,最值是在极值点或者区间的端点取得的，所以要想求最值，应首先求出函数的极值点，然后将所有的极大(小)值与端点的函数值进行比较，其中最大(小)的值即为函数的最大(小)值。,解：,求导得,令，得,通过比较可知：,列表可知，是函数的极大值点，是极小值点，计算极值和端点的函数值得,求最值的步骤：,（1）求f(x)在(a，b)内的极值；,（2）将f(x)的各极值与f(a)，f(b)进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。,概括总结,例2边长为48cm的正方形铁皮，四角各截去一大小相同的正方形后折起，可做成无盖的长方体容器，其容积V是关于截去小正方形边长x的函数。,（1）随x的变化，容积V如何变化？（2）截去小正方形边长为多少时，容积最大？最大容积是多少？,分析：,解决实际应用问题，首先要分析并列出函数关系，要注意根据实际意义写出定义域,再求最值。,解：,求导得,，,令，得,分析可知，x=8是极大值点，极大值为,V=f(x)在上递增，在上递减。,由表知：,（2）由函数的单调性和图像可知，x=8时最大值点，,此时,V=f(8)=,即当截去小正方形边长为8cm时，得到最大容积为。,小结：,若是在上的最大(小)值点，则不小(大)于在此区间上的所有函数值。,函数的最大(小)值：,求最值的