高中数学第一章 集合与函数的概念 1.3.2 奇偶性课件.pptx

1.3.2奇偶性,【自主预习】主题1：偶函数1.观察下列两个函数的图象，它们有什么共同特征？,提示：从图象看到，它们的图象都关于y轴对称.,2.上述特征能否用数量间的关系来体现？试着填下表：,9,4,1,0,1,4,9,a2,3,2,1,0,1,2,3,|a|,通过对应值表你发现了什么？用文字语言描述：当自变量x取一对相反数时，相应的两个函数值_.用符号语言描述：_.,相同,f(-x)=f(x),偶函数的定义：_,如果对于函数f(x)的定义域内任意一,个x，都有f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数.,主题2：奇函数观察下列两个函数图象，类比偶函数的认知、探究过程，完成下面填空：,-3,-2,-1,0,1,2,3,a,-1,1,用文字语言描述：当自变量x取一对相反数时，相应的函数值也是一对_用符号语言描述：_.奇函数的定义：_,相反数.,f(-x)=-f(x),如果对于函数f(x)的定义域内任意一个,x，都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数.,【深度思考】结合教材P35例5你认为应怎样判断函数的奇偶性？第一步：_.第二步：_.,求定义域并判断是否关于原点对称,若对称则求f(-x)并判断是否等于f(x)或-f(x),第三步：_.,若f(-x)=-f(x)，则f(x)是奇函数，若f(-x),=f(x)，则f(x)是偶函数，若定义域不关于原点对称或,f(-x)-f(x)且f(-x)f(x)，则f(x)不具有奇偶性,【预习小测】1.下列函数为偶函数的是()A.y=B.y=x3C.y=x2D.y=,【解析】选C.记y=f(x)=x2，由于f(-x)=(-x)2=x2=f(x)，所以y=x2是偶函数；同样的方法可知y=，y=x3，y=均不是偶函数.,2.函数f(x)=x+()A.是奇函数，但不是偶函数B.是偶函数，但不是奇函数C.既是奇函数，又是偶函数D.既不是奇函数，又不是偶函数,【解析】选A.f(x)=x+的定义域为x|x0，关于原点对称，且f(-x)=-x-=所以f(x)为奇函数，但不是偶函数.,3.下列函数中，是奇函数的为()A.y=x-1B.y=-2x2C.y=x5+1D.y=x3,【解析】选D.A：f(-x)=-x-1-(x-1)=-f(x)，所以y=x-1不是奇函数，故A不正确.B：y=-2x2是偶函数，故B不正确.C：y=x5+1是非奇非偶函数，故C不正确.D：函数y=x3定义域为R，且f(-x)=(-x)3=-x3=-f(x)，所以y=x3为奇函数.,4.如果定义在区间2-a，4上的函数f(x)为偶函数，那么a=.【解析】由2-a=-4，得a=6.答案：6,5.已知函数y=f(x)为奇函数，若f(3)-f(2)=1，则f(-2)-f(-3)=.【解析】函数y=f(x)为奇函数，故f(-x)=-f(x)，则f(-2)-f(-3)=-f(2)+f(3)=1.答案：1,6.判断下列函数的奇偶性(仿照教材P35例5的解析过程)(1)f(x)=x3+x.(2)f(x)=x2+1.,【解析】(1)对于函数f(x)=x3+x，其定义域为R.因为对定义域内的每一个x，都有f(-x)=(-x)3+(-x)=-(x3+x)=-f(x)，所以，函数f(x)=x3+x为奇函数.(2)对于函数f(x)=x2+1，其定义域为R.因为对定义域内的每一个x，都有f(-x)=(-x)2+1=x2+1=f(x)，所以，函数f(x)=x2+1为偶函数.,【互动探究】1.根据函数奇偶性的定义，函数具有奇偶性时定义域有什么特点？提示：因为在函数奇偶性的定义中，对任意的一个x都有f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)，所以-x也属于定义域，因此奇偶函数的定义域必须关于原点对称.,2.若对定义域内的任意x都有f(-x)+f(x)=0或=-1(f(x)0)，则对应的函数是不是奇函数？提示：根据奇函数的定义知，满足这两种对应关系的函数都是奇函数.,3.若函数图象关于原点对称，则该函数是不是奇函数？提示：根据函数的图象特征，结合奇函数的定义知该函数是奇函数.,【探究总结】知识归纳：,方法总结：(1)根据函数图象的对称性判断奇偶性.(2)运用奇偶函数的定义判断奇偶性(3)若奇函数在原点处有定义，则必有f(0)=0.有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.(4)若函数f(x)是偶函数，则f(x)=f(|x|)=f(-x)=f(-|x|).,【题型探究】类型一：函数奇偶性的判断【典例1】判断下列函数的奇偶性.,【解析】(1)函数的定义域为0，+)，不关于原点对称，故函数不具有奇偶性.(2)由x2=1x=1.所以f(x)=0，又定义域关于原点对称，所以f(x)既是奇函数又是偶函数.,(3)函数f(x)=的定义域为-1，0)(0，1.由|x+2|-2=x，所以f(x)=因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数.,(4)分段画出其图象如图所示，由于图象关于原点对称，所以函数f(x)为奇函数.,【规律总结】判断函数奇偶性的两种常用方法(1)定义法确定函数的定义域.看定义域是否关于原点对称，(i)不对称，则函数不具有奇偶性；,(ii)对称(2)图象法画出函数的图象，直接利用图象的对称性判断函数的奇偶性.,【巩固训练】判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=x2(x2+2)；(2)f(x)=x|x|.【解析】(1)函数的定义域为R，又因为f(-x)=(-x)2(-x)2+2=x2(x2+2)=f(x)，所以f(x)为偶函数.(2)函数的定义域为R，又因为f(-x)=-x|-x|=-x|x|=-f(x)，所以f(x)为奇函数.,类型二：奇偶函数的图象问题【典例2】设奇函数f(x)的定义域为-5，5，若当x0，5时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)0的解集为.,【解题指南】根据函数的奇偶性，画出函数在区间-5，0上的图象，根据图象写出不等式的解集.,【解析】由题意，函数f(x)在-5，0上的图象与在0，5上的图象关于原点对称，画出函数f(x)在-5，0上的图象，观察可得f(x)0，f(3)f(3)，又函数f(x)为奇函数，所以f(-1)=-f(1)，f(-3)=-f(3)，故f(-1)f(-3).,2.(变换条件)若把本例中的奇函数改为偶函数，其他条件不变，则结果又是什么？,【解析】由于f(x)是偶函数，y轴右侧图象已知，结合偶函数图象关于y轴对称，作出y轴左侧图象，如图所示，由图象知，x-5，-2)时，f(x)0；x(2，5时，f(x)0时，f(x)=x2-2x，当x0代入解析式，再利用奇函数的定义求出x0时的图象，利用奇函数的图象关于原点对称，得出y=f(x)在R上的图象.,【解析】(1)由于函数f(x)是定义域为R的奇函数，则f(0)=0；当x0，因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，所以f(x)=-f(-x)=-(-x)2-2(-x)=-x2-2x，综上，f(x)=,(2)图象如图.,【规律总结】根据函数奇偶性求解析式的三个步骤(1)设：要求哪个区间的解析式，x就设在哪个区间里.(2)代：利用已知区间的解析式代入进行推导.(3)转：根据f(x)的奇偶性把f(-x)写成-f(x)或f(x)，从而解出f(x).提醒：利用奇偶性求解析式时不要忽略定义域，特别是x=0的情况.,【巩固训练】1.f(x)为R上的奇函数，当x0时，f(x)=-2x2+3x+1，求f(x)的解析式.【解题