2019届高考数学二轮复习第二篇专题通关攻略专题8函数与导数2.8.5导数与不等式及参数范围问题课件.pptVIP

第5课时导数与不等式及参数范围问题,热点考向一利用导数研究函数的零点考向剖析:本考向考题的形式以解答题为主,主要考查利用导数确定某些高次式、指数式、对数式及绝对值式结构的函数的零点或方程根的个数,或者依据它们的,零点或方程根的存在情况求参数的值(或取值范围)等问题,以解答题为主.处理这类问题的方法灵活,对考生的数学运算、逻辑推理等核心素养要求较高,选拔功能突出,2019年考查热度或将延续.,【典例1】设函数f(x)=x2-a(lnx+1)(a0).(1)证明:当a时,f(x)0.(2)判断函数f(x)有几个不同的零点,并说明理由.,【审题导引】(1)要证明f(x)0,只需证明_,根据函数单调性求出_,证明其在0时,a,f(a)=a2-a(lna+1)=a(a-lna-1),令g(a)=a-lna-1,g(a)=1-=,g(a)=0,得a=1,可知g(a)在上递减,在(1,+)上递增,所以g(a)g(1)=0,所以f(a)0,所以函数f(x)在上有唯一的零点,所以,当a时,f(x)有2个不同的零点,综上所述,当a=时,有唯一的零点;当0时,有2个不同的零点.,【名师点睛】(1)对于函数零点的个数的相关问题,利用导数和数形结合的数学思想来求解,这类问题求解的通法是:,构造函数,这是解决此类问题的关键点和难点,并求其定义域;求导数,得单调区间和极值点;画出函数草图;数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x轴的交点情况,进而求解.,(2)研究方程的根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判断方程的根的情况,这是导数这一工具在研究方程中的重要应用.,【考向精练】1.已知函数f(x)=ex-2,其中e2.71828是自然对数的底数.(1)证明:当x0时,f(x)x-1lnx.(2)设m为整数,函数g(x)=f(x)-lnx-m有两个零点,求m的最小值.,【解析】(1)设h(x)=ex-x-1,则h(x)=ex-1,令h(x)=0,得x=0,当x(-,0)时,h(x)0,h(x)单调递增,所以h(x)h(0)=0,当且仅当x=0时取等号,所以对任意xR,exx+1,所以当x0时,f(x)x-1,所以当x-1时,xln(x+1),所以当x0时,f(x)x-1lnx.,(2)函数g(x)的定义域为(0,+),当m0时,由(1)知,g(x)=ex-lnx-2-m-m0,故g(x)无零点;当m=1时,g(x)=ex-lnx-3,g(x)=ex-,因为g(1)=e-10,g=-20,g(x)单调递增,所以g(x)的最小值为g(x0)=-lnx0-3,由x0为g(x)的零点知,-=0,于是=,x0=-lnx0,所以g(x)的最小值g(x0)=x0+-3.由x0知,x0+-30,所以g(x)在上有一个零点,在(x0,2)上有一个零点,所以g(x)有两个零点,综上所述,m的最小值为1.,2.(2018佛山一模)已知函数f(x)=(x2-ax)lnx+x2(其中aR),世纪金榜导学号(1)若a0,讨论函数f(x)的单调性.(2)若a0,求证:函数f(x)有唯一的零点.,【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=(2x-a)lnx+(x2-ax)+x=(2x-a)lnx+2x-a=(2x-a)(1+lnx),令f(x)=0,即(2x-a)(1+lnx)=0x1=,x2=,当x1=x2,即=,a=时,f(x)0,f(x)是(0,+)上的增函数;当x10,f(x)单调递增,当x时,f(x)0,f(x)单调递增;当x20,f(x)单调递增;当x时,f(x)0,f(x)单调递增;,综上所述,当0时,f(x)在单调递增,在单调递减.,(2)若a0,f(x)单调递增,故当x=时,f(x)取得极小值,以下证明:在区间上,f(x)1,则x,f(x)=f=,f(x)0f0(-t)+0atet-t+0atett-,因为a1,不等式atet0,即f(1)f0,故当a0只有两个整数解,则实数a的取值范围是(),【解析】选C.f(x)=所以f(x)在上单调递增,在上单调递减,所以f(x)max=又因为f=0,10),则L=2-,令L=0,得x=16.又x0,所以x=16.则当x=16时,L取得极小值,也是最小值,即用料最省,此时长为=32(米).,2.某商场从生产厂家以每件20元的价格购进一批商品,若该商品零售价为p元,销量Q(单位:件)与零售价p(单位:元)有如下关系:Q=8300-170p-p2,则该商品零售价定为_元时利润最大,利润的最大值为_元.世纪金榜导学号,【解析】设商场销售该商品所获利润为y元,则y=(p-20)(8300-170p-p2)=-p3-150p2+11700p-166000(p20),则y=-3p2-300p+11700.令y=0得p2+100p-3900=0,解得p=30或p=-130(舍去).则p,y,y变化关系如下表:,故当p=30时,y取极大值23000.,又y=-p3-150p2+11700p-166000在20,+)上只有一个极值,故也是最值.所以该商品零售价定为每件30元时,所获利润最大为23000元.答案:3023000,【加练备选】统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/小时)的函数解析式可以表示为y=+8(0x120).已知甲、乙两地相距100千米.,(1)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?(2)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?,【解析】(1)当x=40时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,共耗油=17.5(升).因此,当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油17.5升.,(2)当速度为x千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了小时,设耗油量为h(x)升,依题意得h(x)=(0.,【大题小做】,【解析】(1)由条件得函数g(x)的定义域为(0,+),因为g(x)=lnx+2x+,所以g(x)=+2-=其中方程2x2+x-a=0的判别式=1+8a.,当0,即a-时,g(x)0,g(x)在(0,+)上单调递增;当0,即a-时,方程2x2+x-a=0有两根为若-0,则x10),则h(x)=,所以x1时,h(x)0,0,所以f(x);当x(1,+)时,h(x).综上可得当x0,且x1时,f(x).,【易错警示】本题中将的正负,转化为和2lnx-的正负问题,简化运算易得结果.,【探究追问】若f(x)=exlnx+ex-1,证明:f(x)1.,【证明】f(x)1等价于xlnxxe-x-.设函数g(x)=xlnx,则g(x)=lnx+1.所以当x时,g(x)0.,故g(x)在上单调递减,在上单调递增,所以g(x)在(0,+)上的最小值为设函数h(x)=xe-x-,则h(x)=e-x(1-x).,当x(0,1)时,h(x)0;当x(1,+)时,h(x)0时,g(x)h(x),即f(x)1.,【易错警示】特别地,当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时,一般转化为求左、右两端两个函数的最值问题.,类型二利用导数研究不等式恒成立、存在性问题【典例4】已知函数f(x)=x-(a+1)lnx-(aR),g(x)=x2+ex-xex.(1)当x1,e时,求f(x)的最小值.,(2)当a1时,若存在x1e,e2,使得对任意的x2-2,0,f(x1)g(x2)恒成立,求a的取值范围.,【审题导引】(1)要求f(x)的最小值,先判断f(x)的单调性,分_,_,_三种情况分别求解.(2)将所给不等式等价转化为_,求出两函数对应的最值,即可得到a的取值范围.,a1,1ae,ae,f(x1)ming(x2)min,【解析】(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=当a1时,x1,e,f(x)0,f(x)为增函数,f(x)min=f(1)=1-a.,当1ae时,x1,a时,f(x)0,f(x)为减函数;xa,e时,f(x)0,f(x)为增函数.所以f(x)min=f(a)=a-(a+1)lna-1.,当ae时,x1,e时,f(x)0,f(x)在1,e上为减函数.f(x)min=f(e)=e-(a+1)-.综上,当a1时,f(x)min=1-a;当1ax2+x+2.,【解析】(1)函数f(x)的定义域是(0,+),f(x)=2x-(a-2)-当a0时,f(x)0对任意x(0,+)恒成立,所以,函数f(x)在区间(0,+)单调递增;,当a0时,由f(x)0得x,由f(x)0,得00,设g(x)=ex-lnx-2,则问题转化为证明对任意的x0,g(x)0,令g(x)=ex-=0,得ex=,容易知道该方程有唯一解,不妨设为x0,则x0满足当x变化时,g(x)和g(x)变化情况如下表,g(x)min=g(x0)=-lnx0-2=+x0-2,因为x00,且x01,所以g(x)min2-2=0,因此不等式得证.,2.已知函数f(x)=xlnx-x+1,g(x)=ex-ax,aR.世纪金榜导学号(1)求f(x)的最小值.(2)若g(x)1在R上恒成立,求a的值.(3)求证:对一切大于2的正整数n都成立.,【解析】(1)因为函数f(x)=xlnx-x+1,x(0,+),所以f(x)=lnx.所以当x(0,1)时,f(x)0.,所以函数f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+)上单调递增.所以当x=1时,f(x)取得最小值f(1)=0.,(2)设h(x)=g(x)-1=ex-ax-1,所以h(x)=ex-a.当a0时,h(x)0恒成立,函数h(x)在R上是增函数,且h(0)=0,所以当x0,即ex-a0,解得xlna;令h(x)0,即ex-a0成立,求a的取值范围(e为自然对数的底数).,(2)求证:ln(22+1)+ln(32+1)+ln(42+1)+ln(n2+1)0).当a0时,ax-10时,若0x,则ax-10,从而f(x)0,函数f(x)在上单调递减,在上单调递增.,当f(x)+(a+1)lnx+(1-a)x+2-e0对任意xe,e2恒成立时,令F(x)=f(x)+(a+1)lnx+(1-a)x+2-e=alnx+x+1-e,F(x)=.,1若-ae,即a-e,则F(x)在xe,e2上是增函数,F(x)max=F(e2)=2a+e2-e+10,解得a,无解.2若e-ae2,即-e2a-e,则F(x)在xe,-a上是减函数;,在x-a,e2上是增函数,F(e)=a+10,a-1,F