北京市通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学(理科)试题(含答案解析)(精编).doc

.通州区2018-2019学年第一学期高三年级期末考试数学（理科）试卷2019年1月第一部分（选择题）一、选择题：在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合,，则（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】解不等式求出集合A，B，结合交集的定义，可得答案【详解】集合Ax|x24x+30（1，3），Bx|2x30（，+），AB（，3），故选：D【点睛】本题考查的知识点是集合的交集及其运算，属于基础题2.设向量，,则与垂直的向量的坐标可以是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】求出，判断哪个选项的向量与（3，2）的数量积是0即可得出答案【详解】；可看出（4，6）（3，2）0；故选：C【点睛】本题考查向量坐标的加法和数量积运算，以及向量垂直的充要条件3.已知是定义在R上的奇函数，且当时，则等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式计算可得f（2）的值，又由函数为奇函数，可得f（2）f（2），即可得答案【详解】根据题意，当x0时，f（x）2x1，则f（2）2213，又由函数f（x）为R上的奇函数，则f（2）f（2）3；故选：B【点睛】本题考查函数的奇偶性的性质，关键是灵活运用函数的奇偶性的性质4.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则a等于（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】B【解析】【分析】先求出抛物线的焦点坐标，可得出双曲线的半焦距c的值，然后根据a、b、c的关系可求出a的值【详解】抛物线y212x的焦点坐标为（3，0），所以，双曲线的焦点坐标为（3，0），所以，a2+5329，a0，解得a2，故选：B【点睛】本题考查双曲线的性质，解决本题的关键在于对抛物线性质的理解，属于基础题5.已知x,y满足不等式组则的最大值等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，求出平面区域中各顶点的坐标，将各点坐标代入目标函数的解析式，分析后求得目标函数zx+y的最大值【详解】解：由不等式组表示的平面区域，如图所示的阴影部分；三个顶点坐标为A（1，2），B（1，1），C（3，3）；将三个代入得z的值分别为3，2，6；直线zx+y过点C（3，3）时，z取得最大值为6故选：D【点睛】本题考查了线性规划的应用问题，常用“角点法”解答，步骤为：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证求得最优解6.设，则“ ”是“”的（ ）A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合对数的运算进行判断即可【详解】a，b（1，+），ablogab1，logab1ab，ab是logab1的充分必要条件，故选：C【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键7.某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，面积最小的侧面面积为（ ）A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B【解析】【分析】由三视图画出该四棱锥的直观图，结合图形求出此四棱锥的四个侧面中面积最小的侧面面积【详解】解：由三视图画出该四棱锥的直观图，如图所示；在此四棱锥PABCD的四个侧面中，面积最小的侧面是RtPBC，它的面积为BCPB1故选：B【点睛】本题考查了利用几何体的三视图求面积的应用问题，是基础题8.设函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，规定（为线段的长度）叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”，给出以下命题：函数图象上两点与的横坐标分别为和，则； 存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数；设,是抛物线上不同的两点，则 ；设, 是曲线（是自然对数的底数）上不同的两点，则其中真命题的个数为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C【解析】【分析】由新定义，利用导数求出函数ysinx、yx2在点A与点B之间的“弯曲度”判断、正确；举例说明是正确的；求出曲线yex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）之间的“弯曲度”，判断错误【详解】对于，由ysinx，得ycosx，则kAcos1，kBcos（1）cos1，则|kAkB|0，即（A，B）0，正确；对于，如y1时，y0，则（A，B）0，正确；对于，抛物线yx2的导数为y2x，yAxA2，yBxB2，yAyBxA2xB2（xAxB）（xA+xB），则（A，B）2，正确；对于，由yex，得yex，（A，B），由不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），可得（A，B）1，错误；综上所述，正确的命题序号是故选：C【点睛】本题考查了命题真假的判断与应用问题，也考查了新定义的函数应用问题，解题的关键是对题意的理解二、填空题9.复数的共轭复数是_【答案】【解析】【分析】先由复数代数形式的除法运算化简复数，再由共轭复数的定义可得答案【详解】解：z，复数z的共轭复数是，故答案为：【点睛】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题10.设等比数列an的公比，前n项和为，则_ 【答案】【解析】【分析】由等比数列的通项公式和求和公式，代入要求的式子化简可得【详解】解：15故答案是：15【点睛】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，属基础题11.已知角的终边与单位圆的交点为，则 _【答案】【解析】【分析】由任意角的三角函数的定义有，sin，由平方关系sin2+cos21，有：cos，由二倍角公式有sin22sincos，得解【详解】解：由三角函数的定义有：sin，由sin2+cos21，得：cos，由二倍角公式得：sin22sincos，故答案为：【点睛】本题考查了任意角的三角函数的定义及二倍角公式，属简单题12.的展开式中含的项的系数是_【答案】【解析】【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求出r的值，即可求得展开式中x2的系数【详解】解：（x）6的展开式的通项公式为Tr+1（1）rx62r，令62r2，求得r2，故展开式中x2的系数为15，故答案为：15【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题13.直线（为参数）与曲线（为参数）的公共点个数为_【答案】【解析】【分析】化简参数方程为直角坐标方程，然后判断曲线交点个数【详解】解：直线（t为参数）的直角坐标方程为：yx；与曲线（为参数）的直角坐标方程：（x2）2+y21圆的圆心（2，0）到直线yx的距离为：1；所以直线与圆相切，有1个交点故答案为：1【点睛】本题考查直线的参数方程，圆的参数方程的求法，考查计算能力14.已知函数若关于的方程有且只有一个实数根，则实数k的取值范围是_【答案】【解析】【分析】作出f（x）的函数图象，由直线ykx2过（0，2），联立，得x2kx+20，由0，解得k值，求出过（1，1）与（0，2）两点的直线的斜率k，数形结合即可得到实数k的取值范围【详解】作出yf（x）与ykx2的函数图象如图所示：直线ykx2过（0，2），联立，得x2kx+20由k280，得k又过（1，1）与（0，2）两点的直线的斜率k3有图可知，若关于x的方程f（x）kx2有且只有一个实数根，则实数k的取值范围为（0，3）故答案为：（0，3）【点睛】本题考查了方程解的个数与函数图象的关系，考查了数形结合的解题思想方法，属于中档题三、解答题：解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15.如图，在ABC中， ，点D在AC边上，且（）求BD的长；（）求BCD的面积【答案】（）3 （）【解析】【分析】（）运用正弦定理可解决此问题；（）运用余弦定理和三角形的面积可解决此问题【详解】（）在中，因为 ， 所以 由正弦定理 ， 所以 （）因为 ， 所以所以 在中，由余弦定理 ， 得 ， 解得或（舍）所以的面积 【点睛】解三角形的基本策略一是利用正弦定理实现“边化角”，二是利用余弦定理实现“角化边；求三角形面积的最大值也是一种常见类型，主要方法有两类，一是找到边之间的关系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，转化为关于某个角的函数，利用函数思想求最值.16.北京地铁八通线西起四惠站，东至土桥站，全长18.964km，共设13座车站目前八通线执行2014年12月28日制订的计价标准，各站间计程票价（单位:元）如下：四惠333344455555四惠东33344455555高碑店3334444555传媒大学333444455双桥33344444管庄3333444八里桥333344通州北苑33333果园3333九棵树333梨园33临河里3土桥四惠四惠东高碑店传媒大学双桥管庄八里桥通州北苑果园九棵树梨园临河里土桥（）在13座车站中任选两个不同的车站，求两站间票价不足5元的概率；（）甲乙二人从四惠站上车乘坐八通线，各自任选另一站下车（二人可同站下车），记甲乙二人乘车购票花费之和为X元，求X的分布列；（）若甲乙二人只乘坐八通线，甲从四惠站上车，任选另一站下车，记票价为元；乙从土桥站上车，任选另一站下车，记票价为元试比较和的方差和大小（结论不需要证明）【答案】（）（）见解析；（） 【解析】【分析】（）记两站间票价不足5元为事件A，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为个，事件A中基本事件数63由此能求出两站间票价不足5元的概率（）记甲乙花费金额分别为a元，b元X的所有可能取值为6，7，8，9，10，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列（）DD【详解】（）记两站间票价不足5元为事件A，在13座车站中任选两个不同的车站，基本事件总数为78个，事件A中基本事件数为78-15=63所以两站间票价不足5元的概率 （）记甲乙花费金额分别为元，元.X的所有可能取值为6，7，8，9，10. ， 所以X的分布列为X678910 （） 【点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、方差的求法，考查列举法、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题17.如图，在三棱柱 中，底面，ABC是边长为的正三角形， ，D，E分别为AB，BC的中点（）求证：平面； （）求二面角的余弦值；（）在线段 上是否存在一点M，使平面？说明理由.【答案】()见证明；() （）见解析【解析】【分析】（）推导出AA1CD，CDAB，由此能证明CD平面AA1B1B（）取A1B1中点F，连结DF，如图空间直角坐标系Dxyz，利用向量法能求出二面角BAEB1的余弦值（）假设线段B1C1上存在点M，使BM平面AB1E则0，1，使得求出平面AB1法向量，利用向量法能求出在线段B1C1上不存在点M，使BM平面AB1E【详解】（）证明：在三棱柱中，因为 底面，CD平面ABC， 所以 又为等边三角形，为的中点，所以因为 ， 所以平面； （）取中点，连结，则因为，分别为， 的中点，所以由（）知，如图建立空间直角坐标系由题意得， ， ,， ， 设平面 法向量 ， 则即 令 ，则，即 平面BAE法向量 因为，所以 由题意知二面角 为锐角，所以它的余弦值为. （）解：在线段 上不存在点M，使平面理由如下假设线段 上存在点M，使平面则，使得因为，所以 又，所以由（）可知，平面 法向量，平面，当且仅当，即，使得所以 解得这与矛盾所以在线段 上不存在点M，使平面【点睛】本题考查线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足线面垂直的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查学生的计算能力，是中档题18.已知椭圆：过点，且椭圆的离心率为()求椭圆的方程；()斜率为的直线交椭圆于，两点，且若直线上存在点P，使得是以为顶角的等腰直角三角形，求直线的方程【答案】() () y=x-1【解析】【分析】（）由椭圆C：1（ab0）过点A（0，1），且椭圆的离心率为，列方程组求出a，b，由此能求出椭圆C的方程（）设直线l的方程为yx+m，P（3，yP），由，得4x2+6mx+3m230，利用根的判别式、韦达定理、中点坐标公式，结合已知条件能求出直线l的方程【详解】（）由题意得 解得 所以椭圆的方程为 （）设直线l的方程为y=x+m， 由得. 令，得 ，因为是以为顶角的等腰直角三角形，所以平行于轴 过做的垂线，则垂足为线段的中点设点的坐标为，则由方程组解得，即 而， 所以直线的方程为y=x-1【点睛】本题考查椭圆方程、直线方程的求法，考查椭圆、直线方程、根的判别式、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，是中档题19.已知函数，其中（）求的单调区间；（）设，若曲线，有公共点，且在点处的切线相同，求的最大值【答案】（）的单调递增区间为，单调递减区间为；（）【解析】【分析】（）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，由导函数的零点对函数定义域分段，再由导函数在不同区间段内的符号可得原函数的单调性；（）设点P的横坐标为x0（x00），由题意得，得到（a0）设，利用导数求其最大值得答案【详解】（）的定义域为 令，得 当时，；当时， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； （）设点的横坐标为，则，因为，所以， 由题意得由得或（舍） 所以 设，