五年级奥数学习之容斥原理彩色版含解答.pdf

目 录 课 本 第 1 讲 分数计算与比较大小 .1 第 2 讲 整除问题初步 .10 第 3 讲 整除问题进阶 .17 第 4 讲 质数与合数 .22 第 5 讲 容斥原理 .28 第 6 讲 流水行船问题 .36 第 7 讲 环形路线问题 .43 第 8 讲 牛吃草问题 .49 第 9 讲 几何计数 .56 第 10 讲 约数、倍数初步 .61 第 11 讲 约数与倍数进阶 .68 第 12 讲 分数与循环小数 .73 第 13 讲 比较与估算 .79 第 14 讲 数论巧解数字谜 .84 第 15 讲 包含分数、小数的数字谜 .89 第 16 讲 分数应用题之量率对应 .93 第 17 讲 分数应用题之单位“1”的转化 .98 第 18 讲 巧解不确定性问题 .104 第 19 讲 倍数关系求解直线形 .109 第 20 讲 巧连辅助线解直线形 .115 目 录 28 五 年 级 上册第 5 讲 5 容斥原理 这一讲我们主要学习和“包含”与“排除”有关的问题，这样 的问题在生活中就有不少，比如吃瓜子我们说吃掉了一斤瓜子， 指的是带壳的瓜子，并非真的吃到肚子里一斤，因为这一斤中还“包 含”着瓜子壳如果要计算到底吃了多少，最简单的方法就是称一 称瓜子壳，用原来的一斤“排除”掉瓜子壳的重量 ? ? 29 容斥原理 课 本 瓜子的例子相对简单，一斤瓜子里 一部分是瓜子仁，另一部分就是瓜子壳， 两者各不相关但本讲要学习的包含与 排除问题要复杂一些，各部分之间会有 重叠比如一个办公室中每个人都至少 爱喝茶或咖啡中的一种，已知有 7 个人 爱喝茶，10 个人爱喝咖啡，那能不能就说办公室里有 17 个人呢？显然不能，因为可能 有一些人既爱喝茶也爱喝咖啡，如果直接将喝茶的人数和喝咖啡的人数相加，会把既爱 喝茶又爱喝咖啡的人计算 2 次（如上图所示） ，计算人数的时候要把这一部分减去才行 比如，如果有 3 个人既爱喝茶又爱喝咖啡，那总的人数就应该是710314+=人 这就是我们今天要来研究的问题有重叠的计数问题，即包含与排除问题研究 这种问题通常需要画出示意图（如喝茶与喝咖啡的图） ，这样的示意图又叫做文氏图，下 面我们就用文氏图推导两个对象的容斥原理公式 如右图所示，如果要计算三个部分的总数，直接计算 A+B 就会算多了，而多算的正好是部分，只要把多算的减掉就可 以了上述分析总结成公式就是： 这个公式就是两个对象的容斥原理 ? ? ? B ? A 五年级有 122 名学生参加语文、数学考试，每人至少有一门功课的成绩是优秀， 其中语文成绩优秀的有 65 人，数学优秀的有 87 人语文、数学都优秀的有多少人？ 练 一 练 文氏图 文氏图，也叫“维恩图” ，是由英国著名数学家 Venn 发明的 维恩（John Venn，公元 1834 年 8 月 4 日公元 1923 年 4 月 4 日） 十九世纪英国著名的数学家和哲学家，生于英国赫尔他 1883 年获得 理学博士学位，同年被选为英国皇家学会会员 维恩最主要的成就是系统解释并发展了几何表示的方法，也就是 发明了文氏图他作出一系列简单闭曲线（圆或更复杂的图形） ，将平 面分为许多间隔利用这种图表，维恩阐明了演绎推理的基本原理为了 30 五 年 级 上册第 5 讲 进一步明确起见， 他还引入了一些数学难题作为实例 虽然在维恩之前， 莱布尼茨 （Leibniz） 已系统地运用过这类逻辑图，但今天这种逻辑图仍称作“维恩图” （Venn Diagram） 另外，维恩在概率论和逻辑学方面也有很大贡献，他的著作机会逻辑和符 号逻辑 ，在 19 世纪末 20 世纪初曾享有很高的声誉 除了数学以外，维恩还有一项较为特别的技能制作机器他曾制作过一部板球 发球机，当澳洲板球队在 1909 年到访剑桥大学时，维恩的机器依然运作正常，并使他们 其中一位成员打空四次 分析 这道题可以用文氏图来分析我们分别用两个圆来表示数学小组和航模 小组，那么两个圆重叠部分就是两个小组都参加的人 不过除了这两类以外，还有“两个小组 都没参加的” ，他们不属于两个圆的任何一 个为了表示他们，我们可以在图中加一个 框（如右图） 框内表示班里所有的人，而 框内不被两个圆覆盖的部分就是两个小组都 没参加的人大家想一下，怎样把已知的数量“对号入座”呢？ 练 习 1. 李老师出了两道题，全班 40 人中，第一题有 30 人做对，第 2 题有 12 人未做对， 两题都做对的有 20 人 （1）第 1 题不对、第 2 题对的有几个人？ （2）两题都不对的有几个人？ 五年级二班 40 名同学，其中有 25 人没参加数学小组，有 18 人参加航模小组，有 10 人两个小组都参加那么只参加了一个小组的学 生有多少人？ 例题 1 ? ? ? 31 容斥原理 课 本 分析 题目中既有参加长跑的，又有参加游泳的， 作图时可以画两个圆， 分别表示 “游泳” 和 “长跑” ， 如右图所示但条件中还有男生、女生，那男生、 女生该怎么表示呢？ 练 习 2. 某校参加数学竞赛的有 120 名男生、80 名女生，参加语文竞赛的有 120 名女生、 80 名男生已知该校共有 260 名学生参加竞赛，其中 75 名男生两科竞赛都参加了，那 么只参加数学竞赛而没有参加语文竞赛的女生有多少人？ 分析 1 我们还是画出文氏图来分析题中的已知 条件分别对应图中的哪个部分？怎样来求各个部 分的数量呢？一定要记得将求出来的数及时填入 图中适当的位置 渔乡小学举行长跑和游泳比赛，共 305 人参加有 150 名 男生和 90 名女生参加长跑比赛，有 120 名男生和 70 名女生参加游泳比赛， 有 110 名男生两项比赛都参加了请问： 只参加游泳而没参加长跑的女生有 多少人？ 例题 2 三位基金经理投资若干 只股票张经理买过其中 66 只，王经理买 过其中 40 只，李经理买过 23 只张经理 和王经理都买过的有 17 只，王经理和李经 理都买过的有 13 只，李经理和张经理都买 过的有9只， 三个人都买过的有6只 请问： 那么这三位经理一共买过多少只股票？ 例题 3 ? ? ? ? ? ? ? 32 五 年 级 上册第 5 讲 分析 2 将三个数加起来得到：664023129+=这样算究竟把每一部分加了 几次？不难看出、恰好算一遍，、则算了两遍，算了三遍 算重复了就应该减掉，怎样算合适呢？ 例题 3 实际上就是三个对象的包含与排除问题三个对象的容斥原理如下： 怎么理解这个公式呢？我们还是利用文氏图来说明 如图，我们在计算 ABC+时，有一些部分被重复计算了： 、被计算了两次，而被计算了三次因此我们需要 把重复计算的去掉需要注意的是，去掉 A、B 重叠，B、C 重 叠和 A、C 重叠的部分后，、重复计算的一次去掉了， 但被去掉了三次，还需要补上一次，这就得到了上面的公式 这个公式很容易记住： 把所有圆圈相加，减去两个圆圈重叠部分，再加上三个圆圈 重叠的部分得到的就是总数 在使用这个公式时，请同学们一定要清楚公式中每一部分的含义，不能有丝毫的偏 差只有所有条件都和公式完全吻合时我们才能使用这个公式 练 习 3. 卡莉娅用三块长方形桌布相互重叠地铺在一张长方形桌子上，正好将桌子完全覆 盖已知三块桌布的面积分别是 40 平方分米、36 平方分米 和 27 平方分米，其中第一块和第二块桌布重叠的面积为 5 平方分米，第二块和第三块重叠了 7 平方分米，而第一块和 第三块则重叠了 4 平方分米如果三块重叠的部分等于 2 平 方分米，那么这张桌子的面积是多少？ A B C ? ? ? ? ? ? 培英学校有学生1000人， 其中500人订阅了 中国少年报 ， 350 人订阅了少年文艺 ，250 人订阅了数学报 ，至少订阅两种报刊的 有400人， 订阅了三种报刊的有100人 请问： 这个学校有多少人没有订报？ 例题 4 33 容斥原理 课 本 分析 本题有三种不同的报纸，因此需要 画三个圆来分别表示订这三种报纸的人， 如图所示因为还有一些人这三种报纸都 没订，所以还得在外面添一个方框这个 方框就表示所有的人图中在框内圆外的 部分，就表示三种报纸都没有订的人 画出图后，我们再来想想条件给出的各个数量，分别对应图中哪块区域 1000 人、500 人、350 人、250 人对应的区域都很明确，那 400 人和 100 人又分 别对应哪块区域呢？当把三个圈中的数相加时，有些部分算重了，应该怎样把 重复的部分减掉呢？ 例题 4 不能用公式，看来公式确实有局限性，文氏图才是体现条件的最基本最直观 的方法，所以我们要灵活选择，不要随便套用公式 这里需要指出的是，我们要留意题中的一些说法，比如“至少订阅一种”对应的是 图中的什么区域？“至少订阅两种”对应的是图中的什么区域？“只订阅一种”呢？“只 订阅两种”呢？ 理解了图中各部分的含义，我们再来看相加时每个部分“包含”了几次，然后把算 重的部分减去 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 如果把题中的条件“至少订阅两种报刊的有 400 人” ，改成“只订阅两种报刊的 有 400 人” ，其他条件不变，结果又如何呢？ 想 一 想 练 习 4. 五年级一班共有 41 个同学，将参加绘画、航模、舞蹈三个兴趣小组，要求每人都 选其中的两项已知航模组有 27 人，那么同时选绘画和舞蹈的同学有多少人？ 34 五 年 级 上册第 5 讲 选驸马 在一个明媚的春日里，聪明美丽的公主迎来了 她的二十岁生日国王看着自己的宝贝女儿想： 要选 一个什么样的人才能配得上她，做她的驸马呢？于 是，国王在公主的生日晚会上宣布，要为公主选一 位驸马 所有人都知道公主要出嫁了，各国的王子纷纷 派使臣来求婚面对众多的求婚者，国王有些难以 取舍 宰相给他出了一个主意： 驸马一定要文武双全， 我们可以向求婚者提出几个要求，如果有人满足全部要求再让公主来选择国王同意了， 并提出了以下几个要求： 1. 胸怀治国方略； 2. 精通兵法； 3. 熟读诗书； 4. 武艺高强 宰相看了礼部的统计发现，求婚者一共有 35 个国家的王子，其中有 25 人胸怀治国 方略，28 人精通兵法，33 人熟读诗书，30 人武艺高强 现在国王想知道， 这35名王子中至少有多少人符合所有的要求 同学们能告诉他吗？ 分析 题目要我们求最少有几本没被借过，就相当于求最多有几本被借过根 据下式： 借过的书 = 甲借的 + 乙借的 + 丙借的 甲、乙都借的 甲、丙都借的 乙、 丙都借的 + 三人都借的 再结合题目中的已知条件， 认真思考一下， 借过的书在什么情况下才能最多呢？ 练 习 5. 五年级一班有 46 人，其中有 40 人会骑自行车，38 人会打乒乓球，35 人会打羽毛 球，则该班这三项运动都会的至少有多少人？ 图书室有 100 本书，借阅图书者需在图书上签名已知 这 100 本书中有甲、乙、丙签名的分别有 33 本、44 本和 55 本，其中同时 有甲、乙签名的图书为 29 本，同时有甲、丙签名的图书为 25 本，同时有乙、 丙签名的图书为 36 本问： 这批图书中最少有多少本没有被借阅过？ 例题 5 35 容斥原理 课 本 本 讲 知 识 点 汇 总 一、两个对象的容斥原理： 二、三个对象的容斥原理： 三、文氏图是解决容斥问题时最重要的方法，同学们一定要掌握好 作 业 1. 有 100 名同学回答 A、B 两个问题都没有回答对的有 10 人，答对 A 的有 75 人， 答对 B 的有 83 人，两题都答对的有多少人？ 2. 在游艺会上，有 100 名同学抽到了标签分别为 1 至 100 的奖券按奖券标签号发 放奖品的规则如下： 标签号为 2 的倍数，奖 2 支铅笔； 标签号为 3 的倍数，奖 3 只铅笔； 标签号既是 2 的倍数，又是 3 的倍数可重复领奖； 其他标签号均奖 1 支铅笔那么游艺 会应该准备多少支铅笔作为奖品？ 3. 一根长木棍上有两种刻度，第一种刻度线将木棍 10 等分，第二种刻度线将木棍 12 等分如果沿每条刻度线将木棍锯断，那么木棍总共被锯成多少段？ 4. 中国田径队的 40 名运动员们在训练基地进行封闭训练其中男运动员有 20 名，训 练长跑的运动员有 15 名， 训练竞走的女运动员有 8 名， 那么训练长跑的男运动员有多少名？ 5. 五年级共有 110 人，其中 92 人参加了语文小组，51 人参加了英语小组，58 人参 加了数学小组，至少参加 2 个小组的有 80 人，参加了三个小组的有 20 人那么五年级 有多少人没有参加小组？ 森林里住着 100 只小白兔，凡是不爱吃萝卜的小白兔都爱吃白菜，其中爱 吃萝卜的小白兔的数量是爱吃白菜的 2 倍，而不爱吃白菜的小白兔数量是不爱 吃萝卜的 3 倍那么它们当中有多少只小白兔既爱吃萝卜又爱吃白菜？ 思 考 题 5 例题详解 五年级上册 小相近的自然数17 与 2 组合，可以得到 34，此时剩下的 4 个质因数为 3，5，7，11 3 1133=， 5735=，与 34 恰好构成三个连续的自然数因此这三个连续自然数之和等于333435102+= 例题 4. 答案： 20 解答：9755 5 39= ，有 0 个 2 和 2 个 5；935 5 187=，有 0 个 2 和 1 个 5；97222243= ，有 2 个 2 和 0 个 5由于乘积中至少有 4 个 2 和 4 个 5，因此方框内的数至少有 422= （个）2，以及 4211 = （个）5这样的数最小是 2 2520=，因此方框内最小填 20 例题 5. 答案： （1）7 个； （2）30 个 （1）解答： 只需计算1 232930 中有几个质因数 5： 每 5 个数就有一个 5 的倍数（5，10， 15，20，） ，这样一共有3056=（个） ； 每 25 个数就有一个 25 的倍数（25 含有两个质因数 5） ，这 样一共有 30251=（个） （余数不用考虑） 因此，1 2 32930 中共有质因数 5 的个数是： 617+ =（个） ，乘积末尾就有 7 个连续的 0 （2）解答：31 3233150(1 233031 32149 150)(1 2330)= 所以原式 中质因数 5 的个数等于1 23150 中 5 的个数减去1 2330 中 5 的个数1 23150 中 5 的个数是 37而1 232930 中 5 的个数是 7因此，原式的乘积中有37730=（个）5，则 乘积末尾有 30 个连续的 0 第 5 讲 容斥原理 例题 1. 答案： 13 人 解答： 如右图所示，根据已知条件，参加航模小组的 有 18 人，所以和共 18 人； 而两个小组都参加的有 10 人，所以有 10 人由此可得（只参加航模小组的）有 18108=（人） 不参加数学小组的有 25 人，所以和 共 25 人全班一共 40 人，所以、和共 40 人从 而（只参加数学小组的）有4025105=（人） 综上可 知，只参加一个小组的（即、两块）有8513+=（人） 例题 2. 答案： 55 人 解答：我们可以在图的中央划一条直线，如右图所 示，直线上方表示男生，下方表示女生由图可知，求只 参加游泳而没有参加长跑的女生有多少人，也就是要求 有多少人由条件可知，参加长跑的男生有 150 名，参加游 泳的男生有 120 名，有 110 名男生两项都参加了，所以男生 共有150120110160+= （人） ，即、和共有 160 人 于是女生有305160145= （人） ，即、和有 145 人 因为有 90 名女生参加了长跑比赛，即和共有 90 人， 所以有1459055= （人） 也就是只参加游泳而没有参加长跑的女生有 55 人 例题 3. 答案： 96 只 解答： 如图 1，三个人一共买过的股票由、这七部分组成其中，三 个人都买过的是，所以有 6 只而张经理和王经理都买过的有 17 只，它对应和，所以有 17611=（只） 同理可以求出有 3 只，有 7 只如图 2，我们把求出来的数填进去因为、 的数目都已经知道，所以由张经理买过 66 只可知，有 46 只，同理可知有 16 只，有 7 只把 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 6 例题详解 五年级上册 7 个部分的股票数目相加，得到三个人一共买过611374616796+=（只）股票 例题 4. 答案： 400 人 解答： 至少订阅两种报刊的是、 和，共有 400 人三种报刊都订的是 ， 有 100 人在5003502501100+=中， 、被计算了两次，被计算了三 次，1100400700=，也就是说减去、 、各一次，这时、恰好 剩一次，还剩两次所以订报的人数是 700100600=（人） 综上，这个学校有 1000600400=（人）没有订报 例题 5. 答案： 33 本 解答： 我们将题目中的条件代入容斥原理公式： 借过的书 = 甲借的 + 乙借的 + 丙借的 - 甲、乙都借的 - 甲、丙都借的 - 乙、丙都借的 + 三个人都 借的 334455292536=+ 334455292536=+三个人都借的42=+三个人都借的 所以只需求最多有多少本“三个人都借过” 由题意可知，甲丙都借过的书有 25 本， 乙丙都借过的书有 36 本，甲乙都借过的书有 29 本， 所以三个人都借过的书最多有 25 本 综上可得，借过的书最多有 422567+= （本） 没借过的书最少有1006733=（本） 下面我们用文氏图验证一下这种情形是否 存在如图所示， 不难看出这种情形是成立的，因此答案就 是 33 第 6 讲 流水行船问题 例题 1. 答案： 6 小时 解答：船在甲河中顺水航行的速度是133719/=千米小时（） 而甲河水速是 3，所 以船速是 19316/=千米小时 （） 乙河水速是 2，因此船在乙河中逆水航行的速度是 16214/=千米小时 （） ，航行 84 千米需要84146=（小时） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 ? ? ? ? 66 ? 40 ? 23 11 3 6 7 ? 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 33 ? 44? 55 4 4 0 25 4 11 19 33 27 作业练习简答 除即可 2. 答案： 2220简答： 能被 3 整除最少要用 3 个 2，能被 5 整除个位一定是 0 3. 答案： 5简答： 同例题 2，去掉三位重复的六位数，考虑1 6 能被 13 整除即可 4. 答案： 其中一个答案是 312312简答： 同例题 3 5. 答案： 2888简答： 同例题 5，列竖式计算即可 讲第 4 质数与合数 练习 1. 答案： 4 组： 2，3，47； 2，7，43； 2，13，37； 2，19，31简答： 一定有质数 2，其它两个数枚举 即可 2. 答案： （1） 26355 1731= ； （2） 2 224253 51323=简答： 略 3. 答案： 3，4，7简答： 2 8423 7347= = 4. 答案： 4 个简答： 将每个数分解质因数，观察其中 2 和 5 的个数 5. 答案： 12 个简答： 将每一个数除以 2 就变成了1 2350 ，考虑其中有 12 个 5 即可 思考题 答案： 500000简答： 2 N 是一个整数的平方，那么 N 里面含有奇数个质因数 2； 又根据 5 N 是一个整 数的五次方，所以 N 里面含有51k + （ k 为自然数）5个 ； 同时结合第一个结论，N 里面含有质因数 2 的 个数是 5 的倍数，含有 5 的个数也一定是偶数所以，至少含有 6 个 5，5 个 2 作业 1. 答案： （1） 4 24023 5= ； （2）151823 11 23= ； （3）355311 17 19=简答： 略 2. 答案：3ab=简答：24 2223= 而 b 是质数，只能是 2 或者 3，简单验证即可 3. 答案： 3 元简答：19953 57 19= ，枚举，每人捐款 3，5，7，19元，只有每人捐款 3 元符 合要求，得到每班 45 人 4. 答案： 6 个，其中一种写法是 20254050简答： 考虑有最多的 5，一定含有 25 和 50，另外 两个数再加两个 5 即可，注意 2 的数量要和 5 对应 5. 答案： 6 个 0简答： 枚举出其中 5 的倍数： 50，65，80，95，110，共有 6 个 5 讲第 5 容斥原理 练习 1. 答案： （1）8 人； （2）2 人简答： 做法同例题 1，画出文氏图分析即可 2. 答案： 15 人简答： 做法同例题 2，画出文氏图，分开男生和女生即可 3. 答案： 89 平方分米简答： 利用容斥原理，桌子的面积是403627574289+= （平方分米） 4. 答案： 14 人简答： 注意到每人都只选其中的两项，即没有同时参加三项的同学，画出文氏图分 析即可 5. 答案： 21 人简答： 做法同例题 5，只需让两项运动都会的同学尽可能地多即可 28 作业练习简答 思考题 答案： 20 只简答： 共有小白兔 100 只，所 以、中一共有 100 只小白兔根据已知 条件，中的数量是中的 3