高考数学二面角专题训练.doc

高考数学二面角专题训练1.（06安徽卷）如图，P是边长为1的正六边形ABCDEF所在平面外一点，P在平面ABC内的射影为BF的中点O。（）证明；（）求面与面所成二面角的大小。解：（）在正六边形ABCDEF中，为等腰三角形，P在平面ABC内的射影为O，PO平面ABF，AO为PA在平面ABF内的射影；O为BF中点，AOBF，PABF。（）PO平面ABF，平面PBF平面ABC；而O为BF中点，ABCDEF是正六边形 ，A、O、D共线，且直线ADBF，则AD平面PBF；又正六边形ABCDEF的边长为1，。过O在平面POB内作OHPB于H，连AH、DH，则AHPB，DHPB，所以为所求二面角平面角。在中，OH=，=。在中，；而（）以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，P(0,0，1)，A(0，,0)，B(，0,0)，D(0,2，0)，设平面PAB的法向量为，则，得，；设平面PDB的法向量为，则，得，；2. （06北京卷）如图，在底面为平行四边表的四棱锥中，平面，且，点是的中点.（）求证：；（）求证：平面；（）求二面角的大小.解法一：（）PA平面ABCD，AB是PB在平面ABCD上得射影，又ABAC，AC平面ABCD，ACPB.（）连接BD，与AC相交与O，连接EO，ABCD是平行四边形O是BD的中点又E是PD的中点，EOPB.又PB平面AEC，EO平面AEC，PB平面AEC，（）取BC中点G，连接OG，则点G的坐标为，又是二面角的平面角。二面角的大小为图53. （06广东）如图5所示，、分别世、的直径，与两圆所在的平面均垂直，.是的直径，,.(I)求二面角的大小；(II)求直线与所成的角.解：()AD与两圆所在的平面均垂直,ADAB,ADAF,故BAD是二面角BADF的平面角，依题意可知，ABCD是正方形，所以BAD450.即二面角BADF的大小为450；()以O为原点，BC、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），则O（0，0，0），A（0，0），B（，0，0）,D（0，8），E（0，0，8），F（0，0）所以，设异面直线BD与EF所成角为，则直线BD与EF所成的角为4. （06湖北卷）如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且。（）求二面角的平面角的余弦值；（）求点到平面的距离。解法1：（）因为M是底面BC边上的中点，所以AMBC，又AMC,所以AM面BC，从而AMM, AMNM，所以MN为二面角，AMN的平面角。又M=,MN=,连N，得N，在MN中，由余弦定理得。故所求二面角AMN的平面角的余弦值为。（）过在面内作直线，为垂足。又平面，所以AMH。于是H平面AMN，故H即为到平面AMN的距离。在中，HM。故点到平面AMN的距离为1。解法2：（）建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，0，1），M（0，0）,C(0,1,0), N (0,1,) , A ()，所以，,。因为所以,同法可得。故为二面角AMN的平面角故所求二面角AMN的平面角的余弦值为。（）设n=(x,y,z)为平面AMN的一个法向量，则由得 故可取设与n的夹角为a，则。所以到平面AMN的距离为。5. （06江苏卷）在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC边上的点，满足AE:EBCF:FACP:PB1:2（如图1）。将AEF沿EF折起到的位置，使二面角A1EFB成直二面角，连结A1B、A1P（如图2）（）求证：A1E平面BEP；（）求直线A1E与平面A1BP所成角的大小；图1图2（）求二面角BA1PF的大小（用反三角函数表示）考点分析：本题主要考查线面垂直、直线和平面所成的角、二面角等基础知识，以及空间线面位置关系的证明、角和距离的计算等，考查空间想象能力、逻辑推理能力和运算能力解不妨设正三角形的边长为3，则（I）在图1中，取BE的中点D，连结DF，AEEB=CFFA=12，AF=AD=2，而A=60o，ADF为正三角形。又AE=DE=1，EFAD。在图2中，A1EEF，BEEF，A1EB为二面角A1EFB的一个平面角，由题设条件知此二面角为直二面角，A1EBE。又BEEF=E，A1E面BEF，即A1E面BEP。（II）在图2中，A1E不垂直于A1B，A1E是面A1BP的斜线，又A1E面BEP，A1EBP，BP垂直于A1E在面A1BP内的射影（三垂线定理的逆定理）设A1E在面A1BP内的射影为A1Q，且A1Q交BP于Q，则EA1Q就是A1E与面A1BP所成的角，且BPA1Q。在EBP中，BE=BP=2，EBP=60o，EBP为正三角形，BE=EP。又A1E面BEP，A1B=A1P，Q为BP的中点，且EQ=，而A1E=1，在RtA1EQ中，即直线A1E与面A1BP所成角为60o。（III）在图3中，过F作FM于M，连结QM、QF。CF=CP=1，C=60o，FCP为正三角形，故PF=1，又PQ=BP=1，PF=PQA1E面BEP，EQ=EF=，A1F=A1Q，A1FPA1QP，故A1PF=A1PQ由及MP为公共边知FMPQMP，故QMP=FMP=90o，且MF=MQ，FMQ为二面角BA1PF的一个平面角。在RtA1QP中，A1Q=A1F=2，PQ=1，A1P=，MQA1P，MQ=，MF=。在FCQ中，FC=1，QC=2，C=60o，由余弦定理得QF=，在FMQ中，二面角BA1PF的的大小为。注此题还可以用向量法来解。（略）6. （06江西卷）如图，在三棱锥ABCD中，侧面ABD、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD，BDCD1，另一个侧面是正三角形(1)求证：ADBC(2)求二面角BACD的大小(3)在直线AC上是否存在一点E，使ED与面BCD成30角？若存在，确定E的位置；若不存在，说明理由。20、解法一：(1)方法一：作AH面BCD于H，连DH。ABBDHBBD，又AD，BD1ABBCAC BDDC又BDCD，则BHCD是正方形，则DHBCADBC方法二：取BC的中点O，连AO、DO则有AOBC，DOBC，BC面AODBCAD(2)作BMAC于M，作MNAC交AD于N，则BMN就是二面角BACD的平面角，因为ABACBCM是AC的中点，且MNCD，则BM，MNCD，BNAD，由余弦定理可求得cosBMNBMNarccos(3)设E是所求的点，作EFCH于F，连FD。则EFAH，EF面BCD，EDF就是ED与面BCD所成的角，则EDF30。设EFx，易得AHHC1，则CFx，FD，tanEDF解得x，则CEx1故线段AC上存在E点，且CE1时，ED与面BCD成30角。解法二：此题也可用空间向量求解，解答略7. （06江西文）如图，在长方体ABCDA1B1C1D1，中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动.（1）证明：D1EA1D;（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1ECD的大小为.解法（一）（1）证明：AE平面AA1DD1，A1DAD1，D1EA1D（2）设点E到面ACD1的距离为h，在ACD1中，AC=CD1=，AD1=，故（3）过D作DHCE于H，连D1H、DE，则D1HCE，DHD1为二面角D1ECD的平面角.设AE=x，则BE=2x解法（二）：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系，设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A（1，0，0）C（0，2，0）（1）即DA1D1E.（2）因为E为AB的中点，则.，所以点E到平面AD1C的距离为（3）设平面D1EC的法向量，由令b=1,c=2,a=2x，依题意（不合，舍去），AE=时，二面角D1ECD的大小为.8（06全国II卷）如图，在直三棱柱中，、分别为、的中点。（I）证明：ED为异面直线与的公垂线；（II）设求二面角的大小。解法一：ABCDEA1B1C1OF（）设O为AC中点，连接EO，BO，则EOC1C，又C1CB1B，所以EODB，EOBD为平行四边形，EDOB 2分ABBC，BOAC，又平面ABC平面ACC1A1，BO面ABC，故BO平面ACC1A1，ED平面ACC1A1，BDAC1，EDCC1，EDBB1，ED为异面直线AC1与BB1的公垂线6分（）连接A1E，由AA1ACAB可知，A1ACC1为正方形，A1EAC1，又由ED平面ACC1A1和ED平面ADC1知平面ADC1平面A1ACC1，A1E平面ADC1作EFAD，垂足为F，连接A1F，则A1FAD，A1FE为二面角A1ADC1的平面角不妨设AA12，则AC2，ABEDOB1，EF，tanA1FE，A1FE60所以二面角A1ADC1为60 12分解法二：（）如图，建立直角坐标系Oxyz，其中原点O为AC的中点设A(a，0，0)，B(0，b，0)，B1(0，b，2c)则C(a，0，0)，C1(a，0，2c)，E(0，0，c)，D(0，b，c) 3分ABCDEA1B1C1Ozxy（0，b，0），(0，0，2c)0，EDBB1又(2a，0，2c)，0，EDAC1， 6分所以ED是异面直线BB1与AC1的公垂线（）不妨设A(1，0，0)，则B(0，1，0)，C(1，0，0)，A1(1，0，2)，(1，1，0)，(1，1，0)，(0，0，2)，0，0，即BCAB，BCAA1，又ABAA1A，BC平面A1AD又E(0，0，1)，D(0，1，1)，C(1，0，1)，(1，0，1)，(1，0，1)，(0，1，0)，0，0，即ECAE，ECED，又AEEDE，EC面C1AD10分cos，即得和的夹角为60所以二面角A1ADC1为60 12分9（06山东卷）ABCA1VB1C1如图，已知平面平行于三棱锥的底面ABC，等边所在的平面与底面ABC垂直，且ACB=90，设（1）求证直线是异面直线与的公垂线；（2）求点A到平面VBC的距离；（3）求二面角的大小。解法1：（）证明：平面平面，又平面平面，平面平面，平面，又，.为与的公垂线.（）解法1：过A作于D， 为正三角形，D为的中点.BC平面，又，AD平面，线段AD的长即为点A到平面的距离.在正中，.点A到平面的距离为.解法2：取AC中点O连结，则平面，且=.由（）知，设A到平面的距离为x，即，解得.即A到平面的距离为.则所以，到平面的距离为.(III)过点作于，连，由三重线定理知是二面角的平面角。在中，。所以，二面角的大小为arctan.解法二：取中点连,易知底面，过作直线交。取为空间直角坐标系的原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系。则。（I），。 又由已知。，而。又显然相交，是的公垂线。（II）设平面的一个法向量， 又 由取 得 点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值。，设所求距离为。则所以，A到平面VBC的距离为.（III）设平面的一个法向量 由 取 二面角为锐角，所以，二面角的大小为10（06山东卷文）如图，已知四棱锥P-ABCD的底面ABCD为等腰梯形，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又.（）求异面直接与所成角的余弦值；（）求二面角的大小；解法一：平面， 又，由平面几何知识得：（）过做交于于，连结，则或其补角为异面直线与所成的角，四边形是等腰梯形，又四边形是平行四边形。是的中点，且又，为直角三角形，在中，由余弦定理得故异面直线PD与所成的角的余弦值为（）连结，由（）及三垂线定理知，为二面角的平面角，二面角的大小为（）连结，平面平面，又在中，故时，平面解法二： 平面 又，由平面几何知识得：以为原点，分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系，则各点坐标为，（）， ，。故直线与所成的角的余弦值为（）设平面的一个法向量为，由于，由 得 取，又已知平面ABCD的一个法向量，又二面角为锐角，所求二面角的大小为11（06陕西卷）如图,=l , A, B,点A在直线l 上的射影为A1, 点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1, BB1=, 求: () 直线AB分别与平面,所成角的大小; ()二面角A1ABB1的大小.ABA1B1l第19题图 解法一: ()如图, 连接A1B,AB1, , =l ,AA1l, BB1l, AA1, BB1. 则BAB1,ABA1分别是AB与和所成的角.RtBB1A中, BB1= , AB=2, sinBAB1 = = . BAB1=45.RtAA1B中, AA1=1,AB=2, sinABA1= = , ABA1= 30.故AB与平面,所成的角分别是45,30.() BB1, 平面ABB1.在平面内过A1作A1EAB1交AB1于E,则A1E平面AB1B.过E作EFAB交AB于F,连接A1F,则由三垂线定理得A1FAB, A1FE就是所求二面角的平面角.在RtABB1中,BAB1=45,AB1=B1B=. RtAA1B中,A1B= = . 由AA1A1B=A1FAB得 A1F= = ,在RtA1EF中,sinA1FE = = , 二面角A1ABB1的大小为arcsin.解法二: ()同解法一.() 如图,建立坐标系, 则A1(0,0,0),A(0,0,1),B1(0,1,0),B(,1,0).在AB上取一点F(x,y,z),则存在tR,使得=t , 即(x,y,z1)=t(,1,1), 点F的坐标为(t, t,1t).要使,须=0, 即(t, t,1t) (,1,1)=0, 2t+t(1t)=0,解得t= , 点F的坐标为(, ), =(, ). 设E为AB1的中点,则点E的坐标为(0, ). =(,).又=(,)(,1,1)= =0, , A1FE为所求二面角的平面角.又cosA1FE= = = = = ,二面角A1ABB1的大小为arccos.12（06四川卷）如图,长方体ABCD-中，E、P分别是BC、的中点,M、N分别是AE、的中点,（）求证：；（）求二面角的大小；（）求三棱锥PDEN的体积。解法一：（）证明：取的中点，连结分别为的中点面，面面面面（）设为的中点为的中点面作，交于，连结，则由三垂线定理得从而为二面角的平面角。在中，从而在中，故：二面角的大小为（）作，交于，由面得面在中，方法二：以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立直角坐标系，则分别是的中点（）取，显然面，又面面（）过作，交于，取的中点，则设，则又由，及在直线上，可得:解得即与所夹的角等于二面角的大小故：二面角的大小为（）设为平面的法向量，则又即可取点到平面的距离为，13如图，在正四棱柱中，为上使的点。平面交于，交的延长线于，求：（）异面直线与所成角的大小；（）二面角的正切值；解法一：（1）由为异面直线所成的角。连接.因为AE和分别是平行平面与平面的交线，所以,由此可得,再由得在(2)作为二面角即二面角的平面角在,从而解法二：（1）由为异面直线所成的角。因为和分别是平行平面与平面的交线，所以,由此可得从而，于是在(2)在知为钝角，作为二面角二面角的平面角,在,从而解法三：（1）以为原点，所在直线分别为x轴，y轴和z轴建立如图所示的空间直角坐标系。于是，因为和分别是平行平面与平面的交线，所以，设由，于是故,设异面直线AD与所成的角的大小为，则,从而。（2）作为二面角二面角的平面角,设，由得,由此得又由共线得，从而，于是联立（i）和（ii）得,故由，得14（05（福建卷）如图，直二面角DABE中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF平面ACE.（）求证AE平面BCE；（）求二面角BACE的大小；（）求点D到平面ACE的距离.解法一：() BF平面ACE,BFAE,二面角D-AB-E为直二面角,且CBAB,CB平面ABE,CBAE,AE平面BCE()连结BD交AC于G,连结FG,正方形ABCD边长为2,BGAC,BG=,BF平面ACE,由三垂线定理的逆定理得FGAC,BCF是二面角B-AC-E的平面角,由()AE平面BCE,AEEB.又AE=EB,在等腰直角三角形中,BE=.又直角三角形BCE中,EC=,BF=直角三角形BFG中,sinBGF=,二面角B-AC-E等于arcsin.,()过E作EOAB交AB于O,OE=1,二面角D-AB-E为直二面角,EO平面ABCD.设D到平面ACE的距离为h,.AE平面BCE,AEEC.h=.点D点D到平面ACE的距离为.解法二：()同解法一.()以线段AB的中点为原点O,OE所在直线为x轴,AB所在直线为y轴,过O点平行于AD的直线为z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,如图AE平面BCE,BE面BCE,AEBE,在直角三角形AEB中,AB=2,O为AB的中点OE=1,A(0,-1,0),E(1,0,0),C(0,1,2),设平面AEC的一个法向量=(x,y,z),则即解得令x=1,得=(1,-1,1)是平面EAC的一个法向量,又平面BAC的一个法向量为=(1,0,0), cos()=二面角B-AC-E的大小为arccos.()ADz轴,AD=2,点D到平面ACE的距离d=|.15（05山东卷）如图，已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点.（I）求异面直线与所成的角；（II）求平面与平面所成的二面角；（III）求点到平面的距离.解法一：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系由已知可得，又平面，从而与平面所成的角为，又，从而易得（I）因为所以=易知异面直线所成的角为（II）易知平面的一个法向量设是平面的一个法向量，由即即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，距离=所以点到平面的距离为解法二：(I)连结B1D1，过F作B1D1的垂线，垂足为KBB1与两底面ABCD，A1B1C1D1都垂直HS又因此FKAEBFK为异面直线BF与AE所成的角连结BK，由FK面BDD1B1得FKBK从而BKF为Rt在RtB1KF和RtB1D1中，由得又BF=BFK=异面直线所成的角为(II)由于DA面AA1B，由A作BF的垂线AG，垂足为G，连结DG，由三垂线定理知BGDGAGD即为平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角。且DAG=90在平面AA1B中，延长BF与AA1交于点SF为A1B1的中点，A1FA1、F分别为SA、SB的中点，即SA=2A1A=2=ABRtBAS为等腰三角形，垂足G点实为斜边SB的中点F，即G、F重合。易得AG=AF=SB=在RtBAS中，AD=AGD=即平面BDF与平面AA1B所成二面角(锐角)的大小为。(III)由(II)知平面AFD是平面BDF与平面AA1B所成二面角的平面角所成的平面。面AFD平面BDF在RtADF中，由A作AHDF于H，则AH即为点A到平面BDF的距离由AHDF=AD得AH=所以点到平面的距离为16（04天津卷）如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，侧棱底面ABCD，E是PC的中点，作交PB于点F。(I)证明 平面；(II)证明平面EFD；(III)求二面角的大小。方法一：(I) 证明：连结AC，AC交BD于O。连结EO。 底面ABCD是正方形，点O是AC的中点在中，EO是中位线，。而平面EDB且平面EDB，所以，平面EDB。 。3分(II)证明：底在ABCD且底面ABCD， 同样由底面ABCD，得底面ABCD是正方形，有平面PDC而平面PDC， 。6分由和推得平面PBC而平面PBC，又且，所以平面EFD 。8分(III)解：由(II)知，故是二面角的平面角由(II)知，设正方形ABCD的边长为，则在中， 。10分在中，所以，二面角的大小为方法二：如图所示建立空间直角坐标系，D为坐标原点。设(I)证明：连结AC，AC交BD于G。连结EG。依题意得底面ABCD是正方形，是此正方形的中心，故点G的坐标为且 。这表明。而平面EDB且平面EDB，平面EDB。(II)证明：依题意得。又故由已知，且所以平面EFD。(III)解：设点F的坐