八年级下数学中期知识梳理.doc

知识梳理一、分式 1. 分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。使分式有意义的条件是分母不为零，无意义的条件是分母为零，分式值为零的条件是分子为零且分母不为零。2. 分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。 3. 分式的通分和约分：关键是先分解因式4. 分式的运算法则：分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母，。分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，。 分式的乘方法则：要把分子、分母分别乘方，。分式的加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减，异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再把分子相加减，运算的结果，能约分的一定要约分，将结果化为最简形式 分式的混合运算：分式的混合运算关键是弄清运算顺序，与分数的加、减、乘、除混合运算一样，也是先算乘除，再算加减，有括号的先算括号内的但应注意纵观算式全貌，能否用变形、构造公式等方法进行简便计算5. 负整数指数幂和0指数幂的意义（1）任何一个不等于零的数的零次幂都等于1，即；当n为正整数时，。把分式写成不含分母的形式，如ab1，注意：abm形式的式子属于分式，am与am互为倒数（2）指数由正整数扩大到全体整数 amanam+n（m，n是整数）；（am）namn（m，n是整数）；（ab）nanbn（n是整数）特别需要指出的是：同底数幂的除法可转化为同底数幂的乘法来计算如：amanama-nam+（-n）am-n；分式的乘方运算可转化为积的乘方运算来计算，如：（）n（ab1）nanb（1）nanbn 6. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程。解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母，最简公分母有可能为，这样就产生了增根，因此解分式方程一定要验根。步骤：（1）能化简的先化简（2）方程两边同乘以最简公分母，化为整式方程；（3）解整式方程；（4）验根。增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所得的整式方程的根。分式方程验根方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。7. 列方程解应用题的步骤是：（1）审；（2）设；（3）列；（4）解；（5）答。应用题的类型及公式（1）行程问题：基本公式：路程=速度时间，而行程问题中又分相遇问题、追及问题。 （2）数字问题：在数字问题中要掌握十进制数的表示法。 （3）工程问题：基本公式：工作量=工时工效。 （4）顺水、逆水问题：v顺水=v静水+v水 v逆水=v静水-v水8. 科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法。用科学记数法表示绝对值大于10的整数时，其中10的指数是整数的位数减1；用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时，其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数（包括小数点前面的一个0）二、反比例函数 1. 定义：形如y=（k为常数，k0）的函数称为反比例函数。注意：（1）常数 k 称为比例系数，k 是非零常数；（2）在y = 中，自变量x是分式的分母，当x时，分式无意义，所以x的取值范围是x 0的一切实数；(注：k 0；x 0；y 0)（3）解析式有三种常见的表达形式：y =（k 0）；xy = k（k0）；y=kx-1（k0）；（4）反比例函数一定存在反比例关系，但存在反比例关系的函数不一定是反比例函数。2. 图象：反比例函数的图象属于双曲线。 3. 性质：当k0时，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每个象限内y值随x值的增大而减小； 当k0时，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每个象限内y值随x值的增大而增大。注意：y随x的变化（增减性）情况，只限在每一个象限内，当自变量x的两个取值不在同一个象限内时，不能运用反比例函数的性质解决问题。4. |k|的几何意义：表示反比例函数图象上的点向两坐标轴所作的垂线段与两坐标轴围成的矩形的面积S=。从反比例函数的图象上任选一点向一坐标轴作垂线，这一点和垂足及坐标原点所构成的三角形面积：S=。三、勾股定理 1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c，那么a2b2=c2。a2= c2b2，b2= c2a22. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2b2=c2，那么这个三角形是直角三角形。3. 经过证明被确认正确的命题叫做定理。我们把题设、结论正好相反的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。（例：勾股定理与勾股定理的逆定理）典型例题知识点一：分式的定义和性质例1：（1）若分式的值为0，则x的值为 ( D )A. 1B. 1 C. 1D. 2（2）若方程=无解，则m=_1_。注：（1）考查分式值为零的常见题型，注意分子为零，分母不为零。（2）考查分式方程的增根例2：若分式的值为零，求x的值。解：当时，分式的值为零。由（1）得： 由（2）得：当时，的值为零。例3：若分式的值为负，求x的取值范围。分析：欲使的值为负，即使，就要使与异号，而，若时，不能为负，因此，只有才成立。解：当时，分式的值为负由（1）得， 由（2）得 x的取值范围是例4： 如果把分式的x和y都扩大3倍，那么分式的值（ B ）A. 不变B. 扩大3倍C. 缩小3倍D. 缩小9倍分析：x，y都扩大3倍，即变为3x，3y，则因此，分式中的x和y都扩大3倍，那么分式值扩大3倍。知识点二：分式的计算例5：（1）化简 。（2）计算。（3）解方程。注：（1）注意分式计算与解分式方程的区别（2）注意任一非零实数的零次方的意义解分式方程应注意验根。解：（1）原式（2）原式81411（3）方程两边同乘以得 解得 检验：时，是原分式方程的解。例6：计算：（1） （2）（3） （4） 解：（1） （2） （3） （4） 例7：完成下列各题：（1）人体内的某种细胞的形状可近似看作是球状，它的直径为0.000 001 56 m，则这个数用科学记数法表示是（ A ）A. 1.56106m B. 1.56105m C. 156105m D. 1.56106m（2）计算：（x4）2（x2）2x2x2（x0） （3）计算：（8105）2（2103）2解：（1）A（2）（x4）2（x2）2x2x2（x0） （3）（8105）2（2103）2x8x2x2（1） 641010（4106）x8x4x2x2 （644）（1010106）x14x2 161010（6）1.6101041.6103例8：解方程。（1） （2）解：（1）变形为：去分母，得：列整式方程，得检验：将代入最简公分母，所以是原方程的增根。原方程无解。（2）去分母，得：整理，得：解得：检验：将代入最简公分母，所以是原方程的解。原方程的解为。例9：先化简再求值：，其中。解：原式 当时，原式注：本题无需求出x、y的值，只要把整体代入即可，解题时认真审题，灵活处理。例10：方程会产生增根，m的值是多少？解：将原方程去分母，两边都乘以最简公分母，得：解整式方程得，由方程会产生增根，即当时，即，则当时，即，则 m的值为6或-4。知识点三：分式的应用例11：某一工程，在工程招标时，接到甲、乙两个工程队的投标书。施工一天，需付甲工程队工程款1.2万元，乙工程队工程款0.5万元。工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算，有如下方案：（1）甲队单独完成这项工程刚好如期完成；（2）乙队单独完成这项工程要比规定日期多用6天；（3）若甲、乙两队合做3天，余下的工程由乙队单独做也正好如期完成。试问：在不耽误工期的前提下，你觉得哪一种施工方案最节省工程款？请说明理由。解：设甲队单独完成这项工程要x天，工期也为x天，则乙队单独完成这项工程要（x+6）天。根据题意，得方程两边同乘以得解这个方程得 检验：当时，是原分式方程的解。方案1：工程款为61.2=7.2万元方案2：会延误工期，故舍去方案3：工程款为31.2+60.5=6.6万元所以在不耽误工期的前提下，方案3最节省工程款。 注：设未知数、列方程是用数学模型表示和解决实际问题的关键步骤，理解问题情境，分析等量关系是设未知数、列方程的基础。可以多角度思考，借助图形、表格、式子等进行分析，寻找等量关系。分式方程要注意检验。例12：某人骑自行车比步行每小时快8公里，坐汽车比步行每小时快24公里，此人从甲地出发，先步行4公里，然后乘汽车10公里就到达乙地，他又骑自行车从乙地返回甲地，往返所用的时间相等，求此人步行的速度。解：设此人步行速度为x公里/时，则骑自行车、乘汽车的速度分别是公里/时，公里/时，依题意列方程，得：即解方程，得：经检验：是原方程的解且符合题意。答：此人步行速度是6公里/时。例13：在我市南沿海公路改建工程中，某段工程拟在30天内（含30天）完成现有甲、乙两个工程队，从这两个工程队资质材料可知：若两队合做24天恰好完成；若两队合做18天后，甲工程队再单独做10天，也恰好完成请问：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需多少天？（2）已知甲工程队每天的施工费用为06万元，乙工程队每天的施工费用为035万元，要使该工程的施工费用最低，甲、乙两队各做多少天（同时施工即为合做）？最低施工费用解：（1）设：甲、乙两个工程队单独完成该工程各需x天、y天，由题意得方程组：， 解之得：x=40，y=60 （2）已知甲工程队每天的施工费用为06万元，乙工程队每天的施工费用为035万元，根据题意，要使工程在规定时间内完成且施工费用最低，只要使乙工程队施工30天，其余工程由甲工程队完成 由（1）知，乙工程队30天完成工程的，甲工程队需施工=20（天） 最低施工费用为062003530=225（万元）答：（1）甲、乙两个工程队单独完成该工程各需40天和60天； （2）要使该工程的施工费最低，甲、乙两队各做20天和30天，最低施工费用是225万元例14： A城市每立方米水的水费是B城市的1.25倍，同样交水费20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A、B两城市每立方米水的水费各是多少元？分析：本题只要抓住两城市的水相差2立方米的等量关系列方程即可解：设B城市每立方米水的水费为x元，则A城市为1.25x元，根据题意，得解得x = 2经检验x = 2是原方程的解。 1.25x = 2.5（元）答：B城市每立方米水费2元，A城市每立方米2.5元。 易错点剖析1符号错误例1不改变分式的值，使分式的分子、分母第一项的符号为正错解：诊断：此题错误的原因是把分子、分母首项的符号当成了分子、分母的符号正解：2运算顺序错误例2计算：错解：原式=诊断：分式的乘除混合运算是同一级运算，运算顺序应从左至右正解：原式=3错用分式基本性质例3不改变分式的值，把分式的分子、分母各项系数都化为整数错解：原式=诊断：应用分式的基本性质时，分式的分子、分母必须同乘以同一个不为0的整式，分式的值不变，而此题分子乘以2，分母乘以3，分式的值改变了正解：原式=4约分中的错误例4约分：错解：原式=诊断：约分的根据是分式的基本性质，将分子、分母的公因式约去，若分子、分母是多项式，须先分解因式，再约去公因式正解：原式=5结果不是最简分式例5计算：错解：原式=诊断：分式运算的结果必须化为最简分式，而上面所得结果中分子、分母还有公因式，必须进一步约分化简正解：原式=6误用分配律例6计算：错解：原式=诊断：乘法对加法有分配律，而除法对加法没有分配律正解：原式=7忽略分数线的括号作用例7计算：错解：原式=诊断：此题错误在于添加分数线时，忽略了分数线的括号作用正解：原式=y知识点四：反比例函数的图象和性质O x B AC例15：（1）下列四个点，在反比例函数图象上的是A. (1，) B. （2，4） C. （3，）D. （，） （2）如图，长方形的面积为4，反比例函数过点，则的值是A. B. C. D. （3）对于反比例函数()，下列说法不正确的是A. 它的图象分布在第一、三象限B. 点（，）在它的图象上C. 它的图象关于原点对称 D. 在每个象限内随的增大而增大（4）已知直线与双曲线的一个交点A的坐标为（2，2）。则=_；=_。（5）反比例函数y=上有三点A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），且x1x20x3，用不等号把y1，y2，y3按从小到大排列的顺序是_。解题思路：反比例函数的性质如下表：的取值图象所在象限函数的增减性一、三象限在每个象限内，值随的增大而减小二、四象限在每个象限内，值随的增大而增大解：（1）D（2）D（3）D（4）=1；=4。（5）k=60,又x1x20，0y1y2,而x30,y30，y3y1y2。.注：解决一些较综合的题目，需熟练掌握反比例函数的图象和性质，要学会如何通过函数图象分析解析式，或由函数解析式分析图象的方法，最终能达到从“数”和“形”两方面去分析问题、解决问题的目的。例16：如图，一次函数（m为常数）的图象与反比例函数 yxB123312A（1，3）（k为常数，）的图象相交于点 A（1，3）（1）求这两个函数的解析式及其图象的另一交点的坐标； （2）点C（a，b）在反比例函数 的图象上，求当1a3时，b的取值范围； （3）观察图象，写出使函数值y1y2的自变量x的取值范围解：（1）一次函数y1=x+m（m为常数）的图象与反比例函数 （k为常数，k0）的图象相交于点 A（1， 3）， 3=1+m，k=13， m=2，k=3，一次函数解析式为：y1=x+2，反比例函数解析式为：y2= ，由， 解得：x1=-3，x2=1，当x1=-3时，y1=-1， x2=1时，y1=3，两个函数的交点坐标是：（-3，-1）（1，3） B（-3，-1）；（2）C（a，b）在反比例函数y2=的图象上， ab=3，1a3， ；（3）根据图象得：函数值y1y2的自变量x的取值范围是：x1或-3x0例17：已知图中的曲线是反比例函数（为常数）图象的一支（1） 这个反比例函数图象的另一支在第几象限？常数的取值范围是什么？xyOBAy=2x（2）若该函数的图象与正比例函数的图象在第一象内限的交点为，过点作轴的垂线，垂足为，当的面积为4时，求点的坐标及反比例函数的解析式 解：（1）这个反比例函数图象的另一支在第三象限.因为这个反比例函数的图象分布在第一、第三象限，所以，解得.（2）如图，由第一象限内的点在正比例函数的图象上，设点的坐标为，则点的坐标为。，解得（负值舍去）.点的坐标为.又点在反比例函数的图象上，即.反比例函数的解析式为.例18：已知正比例函数与反比例函数的图象交于两点，点的坐标为（1）求正比例函数、反比例函数的表达式；（2）求点的坐标解：（1）把点分别代入与得 ， 正比例函数、反比例函数的表达式为： （2）由方程组得， 点坐标是例19：如图14，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线与轴的交点的坐标及的面积；(3)求方程的解（请直接写出答案）；(4)求不等式的解集（请直接写出答案）.解：（1）在函数的图象上，反比例函数的解析式为： 点在函数的图象上，经过，解之得，一次函数的解析式为：（2）是直线与轴的交点，当时，点，（3）（4）例20：如图，已知直线y=ax+b经过点A(0，-3)，与x轴交于点C，且与双曲线相交于点B(-4,-a),D求直线和双曲线的函数关系式；求CDO（其中O为原点）的面积解：由已知得解之得： 直线的函数关系式为：y=-x-3设双曲线的函数关系式为：且，k=-4 双曲线的函数关系式为解方程组 得， D(1，-4)在 y=-x-3中令y=0，解得x=-3 OC=3 CDO的面积为例21：如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A、B两点1BAOxy1（1）根据图象，分别写出点A、B的坐标；（2）求出这两个函数的解析式解：（1）解：由图象知，点的坐标为，点的坐标为（3，2）（2）反比例函数的图象经过点， ，即所求的反比例函数解析式为一次函数的图象经过、两点， 解这个方程组，得 所求的一次函数解析式为例22：已知：yy1y2，y1与x2成正比例，y2与x成反比例，且x1时，y3；x-1时，y1. 求x-时，y的值解：因为y1与x2成正比例，y2与x成反比例设y1k1x2，y2，则yk1x2把x1，y3，x-1，y1分别代入上式得 当x-,y2(-)22- 例23：已知一次函数与反比例函数，其中一次函数的图象经过点P(，5) (1)试确定反比例函数的表达式；(2)若点Q是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q的坐标解：（1）一次函数y=x+2的图像经过点P， 5=k+2 k=3 反比例函数解析式为y=(2)由，解得或点Q在第三象限Q(-3，-1)知识点五：反比例函数的应用例24：10.保护生态环境，建设绿色社会已经从理念变为人们的行动某化工厂2009年1 月的利润为200万元设2009年1 月为第1个月，第x个月的利润为y万元由于排污超标，该厂决定从2009年1 月底起适当限产，并投入资金进行治污改造，导致月利润明显下降，从1月到5月，y与x成反比例到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元（如图）求该化工厂治污期间y与x之间对应的函数关系式求5月份的利润及治污改造工程完工后y与x之间对应的函数关系式治污改造工程完工后经过几个月，该厂月利润才能达到2009年1月的水平？当月利润少于100万元时为该厂资金紧张期，问该厂资金紧张期共有几个月？解：（1）当1x5时，设，把（1，200）代入，得k=200，即；（2）从1月到5月，y与x成反比例当x=5时，即=， y=40，到5月底，治污改造工程顺利完工，从这时起，该厂每月的利润比前一个月增加20万元，当x5时，y=40+20（x-5）=20x-60；（3）当y=200时，20x-60=200，解得：x=13，所以治污改造工程顺利完工后经过13-5=8个月后，该厂利润达到200万元对于，当y=100时，x=2；对于y=20x-60，当y=100时，x=8，所以资金紧张的时间为8-2=6个月O9（毫克）12（分钟）图9例25：为了预防流感，某学校在休息天用药熏消毒法对教室进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（毫克）与时间（分钟）成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图9所示根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）写出从药物释放开始，与之间的两个函数关系式及相应的自变量取值范围；（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.45毫克以下时，学生方可进入教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？解：（1）药物释放过程中与的函数关系式为（012）药物释放完毕后与的函数关系式为（12）（2） 解之，得 （分钟）（小时)答： 从药物释放开始，至少需要经过4小时后，学生才能进入教室知识点六：勾股定理的应用例26：如图,在RtABC，C90。 已知ab5，求c。已知a1，c2， 求b。 已知c17，b8， 求a。已知a：b1：2，c5， 求a。 已知b15，A30，求a，c。解：由a2 b2c2得，（1）c2 52 5250， 即：c； （2）12 b222，b23，即：b；（3）a2 82172 ，a2225，即：a15；（4）由a：b1：2得，b2a，则：a2 (2a)252 即：a；（5）由A30得，c2a，则：a2 152(2a)2 ， 解得：a，c2。例27：已知：如图，等边ABC的边长是6cm。求等边ABC的边AB上的高CD。求SABC。分析：等边三角形的每边上的高、中线和该边所对的角的角平分线，三线合一。解：（1）ABC 是等边三角形 ,CDABCD平分ABABC的边长是6cmADBDAB3 cm在直角三角形ACD中，AD2CD2AC2 32CD262 CD（2）SABCABCD63（cm2）例28：飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶正上方4000 米处，过了 20 秒，飞机距离这个男孩头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？分析：根据题意，可以先画出符合题意的图形。如图，图中ABC的C90，AC4000米，AB5000，米欲求飞机每小时飞行多少千米，就要知道20秒时间里飞行的路程，即图中的CB的长，由于ABC的斜边AB5000米，AC4000米，这样BC就可以通过勾股定理得出，这里一定要注意单位的换算。解：由勾股定理得, 即 BC3千米飞机 20秒飞行3 千米那么它 l 小时飞行的距离为：（千米时）答：飞机每小时飞行 540千米。例29：如图在中，的平分线AD交BC于D，求证：。证明：，平分在中例30：如图，在中，于D，求CD的长。解：是直角三角形，由勾股定理有又答：CD的长是24cm。例31：在一棵树的10m高的B处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘的A处，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树有多高？分析：如图所示，其中一只猴子从共30m，另一只猴子从也共走了30m。并且树垂直于地面，于是此问题可化归到直角三角形解决。解：如图，设，由题意知中，解之得答：这棵树高15m。知识训练一、分式 选择：1.已知的值为零，则的值是（ ） A、1或 B、1或 C、1 D、12. 分式约分后得（ ）A. abB. abC. abD. abA. 12B. 15C. 18D. 208. 已知xyx1y10，则xy的值为（ ）A. 1B. 0C. 1D. 2A. 以a为腰的等腰三角形B. 以a为底的等腰三角形 C. 等边三角形 D. 不能确定11.甲瓶盐水含盐量为，乙瓶盐水含盐量为，从甲乙两瓶中各取重量相等的盐水混合制成新盐水的含盐量为（ ） A、 B、 C、 D、随所取盐水重量而定12.下面各分式：，其中最简分式有（ ）个。A. 4B. 3C. 2D. 113. 下面各式，正确的是（ ）A. B. C. D. 14.如果把分式中x、y都扩大为原来的5倍，那么分式的值（ ）A. 扩大5倍B. 扩大4倍C. 缩小5倍D. 不变15. 已知，则的值为（ ）A. B. C. D. 16.关于x的方程的解是正数，则a的取值范围是( )Aa1Ba1且a0 Ca1 Da1且a2填空：8. 当 时，分式有意义。 当 时，分式的值为零。 当 时，分式的值为负数。 当 时，分式的值为1。9. 。 。 。 。10. 当x_时，分式的值为正数。 m=_时，方程有增根。11. 当时，分式的值等于零，则_。12. 若分式的值是整数，则整数的值是 。13.已知。则分式的值为 。14. 在梯形面积公式中，已知，则_。15. 分式方程有增根，则 计算题：6. 7. 8. 10. 11. 12. 13. 14.解方程： 1. ； 2. 3.； 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.化简求值：1.先化简，再求值：，其中。2.先化简，再求值：，其中，3.先化简，再求值：，其中解答题：1.若关于的方程无解，求的值2.若3.已知，求的值。4.有一道题：“先化简，再求值： 其中，x=3”小玲做题时把“x=3”错抄成了“x=3”，但她的计算结果也是正确的，请你解释这是怎么回事？应用题：行程问题1.A、B两地相距50千米，甲骑自行车，乙骑摩托车，都从A地到B地，甲先出发1小时30分，乙的速度是甲的2.5倍，结果乙先到1小时，求甲、乙两人的速度。(12千米/时，30千米/时)2.轮船顺水航行80千米所需要的时间和逆水航行60千米所用的时间相同。已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度。(21千米/时)3.甲、乙两地相距828km，一列普通快车与一列直达快车都由甲地开往乙地，直达快车的平均速度是普通快车平均速度的1.5倍直达快车比普通快车晚出发2h，比普通快车早4h到达乙地，求两车的平均速度.(46 km/h,69 km/h)4.我军某部由驻地到距离30千米的地方去执行任务，由于情况发生了变化，急行军速度必需是原计划的1.5倍，才能按要求提前2小时到达，求急行军的速度。(7.5km/h)5.A，B两地相距48km，轮船从A地顺流到B地，又立即从B地返回A地，水流速度4kmh,静水速度x千米，来回共用9个小时，问静水速度是多少？(12千米/时,只要求列出式子)6.甲、乙两火车站相距1280千米，采用“和谐”号动车组提速后，列车行驶速度是原来速度的3.2倍，从甲站到乙站的时间缩短了11小时，求列车提速后的速度(256千米/时)7.甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地。已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍。求步行的速度和骑自行车的速度。(5千米/时; 20千米/时)8.一辆汽车开往距离出发地180千米的目的地，出发后第一小时内按原计划的速度匀速行驶，一小时后以原来的1.5倍匀速行驶，并比原计划提前40分钟到达目的地.求前一小时的行驶速度(60千米/时)工程问题9.王明和李刚各自加工15个零件，王明每小时比李刚多加工1个，结果比李刚少用半小时完成任务，问：两人每小时各加工多少个零件？（李刚：5个，王明：6个）10.某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？（甲：10天；乙：15天；丙：30天）若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由（甲：8000元）11.某公司开发的960件新产品必须加工后才能投放市场，现有甲、乙两个工厂都想加工这批产品，已知甲工厂单独加工48件产品的时间与乙工厂单独加工72件产品的时间相等，而且乙工厂每天比甲工厂多加工8件产品，在加工过程中，公司需每天支付50元劳务费请工程师到厂进行技术指导。 甲、乙两个工厂每天各能加工多少件产品？（甲：16件；乙：24件） 该公司要选择既省时又省钱的工厂加工产品，乙工厂预计甲工厂将向公司报加工费用为每天800元，请问：乙工厂向公司报加工费用每天最多为多少元时，有望加工这批产品？（1225元）12.某市为治理污水，需要铺设一段全长3000米的污水输送管道，为了尽量减少施工对城市交通造成的影响，实际施工时每天的工效比原计划增加25%，结果提前30天完成了任务，实际每天铺设多长管道？（25米）13.为加快西部大开发，某自治区决定新修一条公路，甲、乙两工程队承包此项工程。如果甲工程队单独施工，则刚好如期完成；如果乙工程队单独施工就要超过6个月才能完成，现在甲、乙两队先共同施工4个月，剩下的由乙队单独施工，则刚好如期完成。问原来规定修好这条公路需多长时间？（12个月）14.一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？（6天）15.甲、乙两个施工队共同完成某居民小区绿化改造工程，乙队先单独做2天后，再由两队合作10天就能完成全部工程已知乙队单独完成此项工程所需天数是甲队单独完成此项工程所需天数的，求甲、乙两个施工队单独完成此项工程各需多少天？ （甲：25天，乙：20天）16.A、B两地相距18公里，甲工程队要在A、B两地间铺设一条输送天然气管道，乙工程队要在A、B两地间铺设一条输油管道已知甲工程队每周比乙工程队少铺设1公里，甲工程队提前3周开工，结果两队同时完成任务，求甲、乙两工程队每周各铺设多少公里管道？ （甲：2公里，乙：3公里）17.公司投资某个工程项目，现在甲、乙两个工程队有能力承包这个项目公司调查发现：乙队单独完成工程的时间是甲队的2倍；甲、乙两队合作完成工程需要20天；甲队每天的工作费用为1000元、乙队每天的工作费用为550元根据信息，从节约资金的角度考虑，公司应选择哪个工程队、应付工程队费用多少元？（甲，30000元）18.由甲、乙两个工程队承包某校校园绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工程所需时间比是32，两队合做6天可以完成（1）求两队单独完成此项工程各需多少天? （甲：15天；乙：10天） （2）此项工程由甲、乙两队合做6天完成任务后，学校付给他们20000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各得到多少元? (甲：8000；乙：12000)19.某工程队承接了3000米的修路任务，在修好600米后，引进了新设备，工作效率是原来的2倍，一共用30天完成了任务，求引进新设备前平均每天修路多少米？（60米）20.在我市某一城市美化工程招标时，有甲、乙两个工程队投标经测算：甲队单独完成这项工程需要60天；若由甲队先做20天，剩下的工程由甲、乙合做24天可完成（1）乙队单独完成这项工程需要多少天？（90天）（2）甲队施工一天，需付工程款3.5万元，乙队施工一天需付工程款2万元若该工程计划在70天内完成，在不超过计划天数的前提下，是由甲队或乙队单独完成该工程省钱？还是由甲乙两队全程合作完成该工程省钱？（甲乙合作；198万元）利润问题21.某煤矿现在平均每天比原计划多采330吨，已知现在采煤33000吨煤所需的时间和原计划采23100吨煤的时间相同，问现在平均每天采煤多少吨。（1100吨）22.某超市市场销售一种钢笔，每枝售价为11.7元。后来，钢笔的进价降低了6.4%，从而使超市销售这种钢笔的利润提高了8%。这种钢笔原来每枝的进价是多少元？（10元）解：设这种钢笔原来每枝的进价为x元，根据题意得解这个方程得x=10经检验：x=10时原方程的解答：这种钢笔原来每枝是10元。23.某商店经销一种纪念品，4月份的营业额为2000元，为扩大销售，5月份该商店对这种纪念品打九折销售，结果销售量增加20件，营业额增加700元。 求这种纪念品4月份的销售价格。（50元件） 若4月份销售这种纪念品获利800元，问：5月份销售这种纪念品获利多少元？（900元）24.某商店在“端午节”到来之际，以2400元购进一批盒装粽子，节日期间每盒按进价增加20%作为售价，售出了50盒；节日过后每盒以低于进价5元作为售价，售完余下的粽子，整个买卖过程共盈利350元，求每盒粽子的进价（40元）25.铭润超市用5000元购进一批新品种的苹果进行试销，由于销售状况良好，超市又调拨11000元资金购进该品种 苹果，但这次的进货价比试销时每千克多了0.5元，购进苹果数量是试销时的2倍（1）试销时该品种苹果的进货价是每千克多少元?（5元）（2）如果超市将该品种苹果按每千克7元的定价出售，当大部分苹果售出后，余下的400千克按定价的七折（“七折”即定价的70）售完，那么超市在这两次苹果销售中共盈利多少元？（4160元）其它题型26.某农场原有水田400公顷，旱田150公顷，为了提高单位面积产量，准备把部分旱田改为水田，改完之后，要求旱田占水田的10%，问应把多少公顷旱田改为水田。（100公顷）27.某工厂准备加工600个零件，在加工了100个零件后，采取了新技术，使每天的工作效率是原来的2倍，结果共用7天完成了任务，求该厂原来每天加工多少个零件？（50个）28.小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普书和文学书的价格各是多少？（科普书：7.5元；文学书：5元）29.今年我市遇到百年一遇的大旱，全市人民齐心协力积极抗旱。某校师生也活动起来捐款打井抗旱，已知第一天捐款4800元，第二天捐款6000元，第二天捐款人数比第一天捐款人数多50人，且两天人均捐款数相等，那么两天共参加捐款的人数是多少？（450人）30.某市从今年1月1日起调整居民用天燃气价格，每立方米天燃气价格上涨25%小颖家去年12月份的燃气费是96元今年小颖家将天燃气热水器换成了太阳能热水器，5月份的用气量比去年12月份少10m，5月份的燃气费是90元求该市今年居民用气的价格（3元/ m）31.跃壮五金商店准备从宁云机械厂购进甲、乙两种零件进行销售若每个甲种零件的进价比每个乙种零件的进价少2元，且用80元购进甲种零件的数量与用100元购进乙种零件的数量相同 （1）求每个甲种零件、每个乙种零件的进价分别为多少元？（甲：8元；乙：10元） （2）若该五金商店本次购进甲种零件的数量比购进乙种零件的数量的3倍还少5个，购进两种零件的总数量不超过95个，该五金商店每个甲种零件的销售价格为12元，每个乙种零件的销售价格为15元，则将本次购进的甲、乙两种零件全部售出后，可使销售两种零件的总利润（利润售价进价）超过371元，通过计算求出跃壮五金商店本次从宁云机械厂购进甲、乙两种零件有几种方案？请你设计出来（方案一：购进甲种零件67个，乙种零件24个;方案二：购进甲种零件70个，乙种零件25个)四、数字问题32.今年父亲的年龄是儿子年龄的3倍，再过5年，父亲与儿子的年龄的比是22：9。求今年父亲和儿子的年龄。（父：39，儿：13）33.一个分数的分母比分子大7，如果把此分数的分子加17，分母减4，所得新分数是原分数的倒数，求原分数。（）二、反比例函数1某反比例函数的图象经过点(-2,3)，则此函数图象也经过点（ ）A(2,-3) B(-3,-3) C（2，3） D（-4，6）2.反比例函数y图象经过点（2，3），则n的值是（）A、2B、1C、0D、1（第3题图）3.某航空公司规定，旅客乘机所携带行李的质量(kg)与其运费(元)，由如图所示的一次函数图象确定，那么旅客可携带的免费行李的最大质量为（ ） A20kg B25kg C28kg D30kg4.反比例函数图象上有三个点，其中，则，的大小关系是（ ） A B C D5. 一次函数ykxk，y随x的增大而减小，那么反比例函数y满足（）A、当x0时，y0B、在每个象限内，y随x的增大而减小C、图象分布在第一、三象限 D、图象分布在第二、四象限6.已知甲、乙两地相距（km），汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间（h）与行驶速度 （km/h）的函数关系图象大致是（ ）t/hv/(km/h)Ot/hv/(km/h)Ot/hv/(km/h)Ot/hv/(km/h)OABCD7.若y与x成正比例，x与z成反比例，则y与z之间的关系是（）A、成正比例 B、成反比例 C、不成正比例也不成反比例 D、无法确定8. 甲、乙两人准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4和6，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙之间的距离与时间的函数图象是（ ）9.如图，点P是x轴正半轴上一个动点，过点P作x轴的垂线PQ交双曲线y于点Q， 连结OQ，点P沿x轴正方向运动时，RtQOP的面积（）A、逐渐增大B、逐渐减小C、保持不变D、无法确定10.在一个可以改变容积的密闭容器内，装有一定质量m的某种气