2018-2019学年高中数学第一章推理与证明1.4数学归纳法1.4.1数学归纳法课件北师大版选修2 .ppt

4数学归纳法,第1课时数学归纳法,1.理解数学归纳法的原理.2.掌握数学归纳法在证明与正整数有关的数学命题时的操作步骤.3.掌握归纳、猜想、证明等探求数学问题的方法.,1.数学归纳法数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法.2.数学归纳法的证明步骤与基本原理(1)证明步骤:验证:当n取第一个值n0(如n0=1或2等)时,命题成立;在假设当n=k(kN+,kn0)时命题成立的前提下,推出当n=k+1时,命题成立.根据可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立.(2)基本原理:数学归纳法能保证命题对所有的正整数都成立.因为根据,验证了当n=1时命题成立;根据可知,当n=1+1=2时命题成立.由于n=2时命题成立,再根据可知,当n=2+1=3时命题也成立,这样递推下去,就可以知道当n=4,5,时命题成立,即命题对任意正整数n都成立.,A.1B.2C.3D.4解析:数学归纳法的基本思想是先验证使结论有意义的最小的正整数n0,而不是直接取n0=1,在这里使结论有意义的最小的正整数n为3,故选C.答案:C,题型一,题型二,题型三,【例1】证明12-22+32-42+(2n-1)2-(2n)2=-n(2n+1)(nN+).分析:用数学归纳法证明等式时要注意等式两边的项数随n怎样变化,即由n=k到n=k+1时,左右两边各增添哪些项.,题型一,题型二,题型三,证明:(1)当n=1时,左边=12-22=-3,右边=-1(21+1)=-3,故左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时等式成立,即12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1)成立,则当n=k+1时,左边=12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+2(k+1)-12-2(k+1)2=-k(2k+1)+(2k+1)2-(2k+2)2=(2k+1)(k+1)-4(k+1)2=(k+1)2k+1-4(k+1)=(k+1)(-2k-3)=-(k+1)2(k+1)+1,故当n=k+1时等式成立.根据(1)和(2),可知等式对任意正整数n都成立.,题型一,题型二,题型三,反思用数学归纳法证明恒等式时,关键要“先看项”,弄清等式两边的构成规律,等式的两边各有多少项,项的多少与n的取值是否有关.由n=k到n=k+1时等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.,题型一,题型二,题型三,变式训练1】求证:(n+1)(n+2)(n+n)=2n13(2n-1)(nN+).证明:(1)当n=1时,左边=1+1=2,右边=211=2,左边=右边,等式成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时等式成立,即(k+1)(k+2)(k+k)=2k13(2k-1),则当n=k+1时,左边=(k+2)(k+3)(k+k)(k+k+1)(k+k+2)=2k13(2k-1)(2k+1)2=2k+113(2k-1)2(k+1)-1=右边,故当n=k+1时等式成立.根据(1)和(2),可知等式对任意正整数n都成立.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,反思解决此类问题的基本思路是:先从观察入手,发现问题的特点,以形成解决问题的初步思路,再用归纳的方法进行试探,提出猜想,最后用数学归纳法给出证明.,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,题型一,题型二,题型三,错因分析:本题证明形式上是数学归纳法,实际不是.因为在第二步的证明过程中没有利用归纳假设,而是直接利用等差数列的前n项和公式加以求解,这是不正确的.正解:(1)当n=1时,左边=1,右边=1,命题成立.(2)假设当n=k(k1,kN+)时,命题成立,即1+5+9+(4k-3)=k(2k-1).则当n=k+1时,1+5+9+(4k-3)+(4k+1)=k(2k-1)+(4k+1)=2k2+3k+1=(2k+1)(k+1)=2(k+1)-1(k+1),故当n=k+1时命题成立.根据(1)和(2),可知命题对一切nN+都成立.,12345,1用数学归纳法证明1+a+a2+an+1,验证当n=1时等式的左边为()A.1B.1+aC.1+a+a2D.1+a+a2+a3答案:C,12345,2.用数学归纳法证明12+32+52+(2n-1)2=n(4n2-1)的过程中,由n=k递推到n=k+1时,不等式左边增加的项为()A.(2k)2B.(2k+3)2C.(2k+2)2D.(2k+1)2,答案:D,12345,A.当n=k+1时等式成立B.当n=k+2时等式成立C.当n=2k+2时等式成立D.当n=2(k+2)时等式成立解析:因为假设n=k(k2,且为偶数),所以下一个偶数为k+2,故选B.答案:B,12345,4用数学归纳法证明关于正整数n的恒等式时,当n=k时,表达式为14+27+k(3k+1)=k(k+1)2,则当n=