2020版高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 专题突破四 圆锥曲线的定点、定值与最值问题课件 北师大版选修1 -1.ppt

专题突破四圆锥曲线的定点、定值与最值问题,第二章圆锥曲线与方程,与圆锥曲线有关的定点、定值问题是高考考查的热点，难度较大，此类问题常常作为第19题或第20题的第二问，常以直线与圆锥曲线的位置关系为背景，以坐标运算为基础，一般是证明满足条件的直线过定点，目标代数式为定值，或计算面积、长度、数量积等的最大值、最小值.求解此类问题的关键是引进变化的参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.一、定点问题例1已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；,解如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，得|O1A|O1M|，当O1不在y轴上时，过O1作O1HMN交MN于H，则H是MN的中点，,化简得y28x(x0).又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y28x，动圆圆心的轨迹C的方程为y28x.,(2)已知点B(1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是PBQ的角平分线，证明：直线l过定点.,证明由题意，设直线l的方程为ykxb(k0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将ykxb代入y28x中，得k2x2(2bk8)xb20.其中32kb640.,即y1(x21)y2(x11)0，(kx1b)(x21)(kx2b)(x11)0，2kx1x2(bk)(x1x2)2b0将，代入得2kb2(kb)(82bk)2k2b0，kb，此时0，直线l的方程为yk(x1)，即直线l过定点(1,0).,点评求定点问题，需要注意两个方面：一是抓“特值”，涉及的定点多在两条坐标轴上，所以可以先从斜率不存在或斜率为0的特殊情况入手找出定点，为解题指明方向.二是抓“参数之间的关系”，定点问题多是直线过定点，所以要抓住问题的核心，实质就是求解直线方程中参数之间的关系，所以要熟悉直线方程的特殊形式，若直线的方程为ykxb，则直线ykxb恒过点(0，b)，若直线方程为yk(xa)，则直线恒过点(a,0).,(1)求椭圆E的方程；,可得a22b2，,(2)设椭圆E的左顶点是A，若直线l：xmyt0与椭圆E相交于不同的两点M，N(M，N与A均不重合)，若以MN为直径的圆过点A，试判定直线l是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标.,解由xmyt0得xmyt，把它代入E的方程得(m22)y22mtyt240，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，,x1x2(my1t)(my2t),因为以MN为直径的圆过点A，所以AMAN，,x1x22(x1x2)4y1y2,因为M，N与A均不重合，所以t2，,由于点T在椭圆内部，故满足判别式大于0，,二、定值问题,(1)求C的方程；,解得a28，b24.,(2)直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M.证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.,证明方法一设直线l：ykxb(k0，b0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM).,(2k21)x24kbx2b280.,所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.,方法二设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)，,直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.,点评(1)求定值问题的常用方法：从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.(2)定值问题就是在运动变化中寻找不变量的问题，基本思路是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关.在这类问题中选择消元的方向是非常关键的.,跟踪训练2(2018江西南昌高二检测)已知点F为抛物线C：y24x的焦点，点D(1,2)为抛物线C上一点.(1)直线l过点F交抛物线C于A，B两点，若|AB|5，求直线l的方程；,解依题意，点F的坐标为(1,0).设直线l的方程为xmy1，,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24m，y1y24，,故直线l的方程为2xy20或2xy20.,(2)过点D作两条倾斜角互补的直线分别交抛物线C于异于点D的两点P，Q，试证明直线PQ的斜率为定值，并求出该定值.,解方法一设直线DP的斜率为k(k0)，则直线DQ的斜率为k.,y24ty8t40.设P(xP，yP)，因为点D的坐标为(1,2)，所以2yP8t4，故yP4t2.从而点P的坐标为(4t24t1,4t2)，用t替换点P坐标中的t可得点Q的坐标为(4t24t1，4t2)，,即直线PQ的斜率为定值1.方法二设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，,因为x3x4，,所以y3y44，,三、最值、范围问题与圆锥曲线有关的最值与范围问题是高考考查的重点，多以直线和椭圆相交或直线和抛物线相切、相交为前提，考查弦长、面积或相关代数式的最值与范围问题，该问题综合性较强，具有一定的难度，其中最值与范围问题多与三角函数、平面几何等知识综合考查，形式多样.例3设椭圆M：(ab0)的离心率与双曲线x2y21的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为4.(1)求椭圆M的方程；,(2)若直线yxm交椭圆M于A，B两点，P(1，)为椭圆M上一点，求PAB面积的最大值.,由8m216(m24)0，,设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,点评最值、范围问题的主要求解方法：(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数或等量关系，利用判别式、基本不等式、函数的性质等进行求解.,跟踪训练3(2018济南高二检测)已知中心在原点O，左焦点为F1(1,0)的椭圆C的左顶点为A，上顶点为B，F1到直线AB的距离为|OB|.(1)求椭圆C的方程；,整理得a2b27(a1)2.,(2)如图，若椭圆C1：(mn0)，椭圆C2：(0，且1)，则称椭圆C2是椭圆C1的倍相似椭圆.已知C2是椭圆C的3倍相似椭圆，若椭圆C的任意一条切线l交椭圆C2于M，N两点，试求弦长|MN|的取值范围.,若切线l不垂直于x轴，可设其方程为ykxp，将ykxp代入椭圆C的方程，得(34k2)x28kpx4p2120，(8kp)24(34k2)(4p212)48(4k23p2)0，即p24k23.记M，N两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，将ykxp代入椭圆C2的方程，得(34k2)x28kpx4p2360，,1,2,3,4,5,针对训练,ZHENDUIXUNLIAN,6,1.已知抛物线y22x的弦AB的中点的横坐标为，则|AB|的最大值为A.1B.2C.3D.4,解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23，利用抛物线的定义可知，|AF|BF|x1x214，由图可知|AF|BF|AB|，即|AB|4，当且仅当直线AB过焦点F时，|AB|取得最大值4.,1,2,3,4,5,6,证明由题意设A(x1，y1)，B(x2，y2).,3.已知A，B是抛物线y22px(p0)上的不同两点，满足0(O是原点).求证：(1)A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值；,(y1y2)24p2x1x2.由得y1y24p2且x1x24p2，A，B两点的横坐标之积、纵坐标之积均为定值.,1,2,3,4,5,6,(2)直线AB过定点.,1,2,3,4,5,6,证明当直线AB垂直于x轴时，易知直线AB方程为x2p.当直线AB与x轴不垂直时，由(1)中，得(y1y2)(y1y2)2p(x1x2)，,故直线AB过定点(2p,0).,1,2,3,4,5,6,(1)求椭圆C的标准方程；,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,(1)求椭圆E的方程；,1,2,3,4,5,6,(2)经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.,1,2,3,4,5,6,1,2,3,4,5,6,得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知4k(k1)24(12k2)2k(k2)0，得k0且k2，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，,从而直线AP，AQ的斜率之和,1,2,3,4,5,6,所以直线AP与AQ的斜率之和为定值2.,1,2,3,4,5,6,6.(2018全国)设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点.(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；,解当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，2).,即x2y20或