高等数学公式以及初等函数图像.pdf

高等数学公式 导数公式：导数公式： 基本积分表：基本积分表： 三角函数的有理式积分：三角函数的有理式积分： ax x aaa ctgxxx tgxxx xctgx xtgx a xx ln 1 )(log ln)( csc)(csc sec)(sec csc)( sec)( 2 2 = = = = = = 2 2 2 2 1 1 )( 1 1 )( 1 1 )(arccos 1 1 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x + = + = = = += += += += += += += += Caxx ax dx Cshxchxdx Cchxshxdx C a a dxa Cxctgxdxx Cxdxtgxx Cctgxxdx x dx Ctgxxdx x dx x x )ln( ln csccsc secsec csc sin sec cos 22 22 2 2 2 2 C a x xa dx C xa xa axa dx C ax ax aax dx C a x arctg axa dx Cctgxxxdx Ctgxxxdx Cxctgxdx Cxtgxdx += + + = + + = += + += += += += arcsin ln 2 1 ln 2 1 1 csclncsc seclnsec sinln cosln 22 22 22 22 += += +=+ = C a xa xa x dxxa Caxx a ax x dxax Caxx a ax x dxax I n n xdxxdxI n nn n arcsin 22 ln 22 )ln( 22 1 cossin 2 2222 22 2 2222 22 2 2222 2 2 0 2 0 22 2 2 1 2 21 1 cos 1 2 sin u du dx x tgu u u x u u x + = + = + =， ， ， 一些初等函数： 两个重要极限：一些初等函数： 两个重要极限： 三角函数公式：三角函数公式： 三角函数：三角函数：正弦函数sin x；余弦函数cosx； 正切函数 sin tan cos x x x =；余切函数 cos cot sin x x x =； 正割函数 1 sec cos x x =；余割函数 1 csc sin x x = 诱导公式：诱导公式： 函数 角A sincostgctg -sincos-tg-ctg 90-cossinctgtg 90+cos-sin-ctg-tg 180-sin-cos-tg-ctg 180+-sin-costgctg 270-cos-sinctgtg 270+-cossin-ctg-tg 360-sincos-tg-ctg 360+sincostgctg 常用三角函数公式：常用三角函数公式： 22 cossin1xx+= 22 cossincos2xxx= 2sincossin2xxx= 2 1 cos22sinxx= 2 1cos22cosxx+= x x arthx xxarchx xxarshx ee ee chx shx thx ee chx ee shx xx xx xx xx + = += += + = + = = 1 1 ln 2 1 )1ln( 1ln( : 2 : 2 : 2 2 ） 双曲正切 双曲余弦 双曲正弦 .590457182818284. 2) 1 1 (lim 1 sin lim 0 =+ = e x x x x x x 22 2 1 1tansec cos xx x += 22 2 1 1 cotcsc sin xx x += 1 sin sincos()cos() 2 xyxyxy= + 1 cos coscos()cos() 2 xyxyxy=+ 1 sincossin()sin() 2 xyxyxy=+ 和差角公式： 和差角公式： 和差化积公式：和差化积公式： 反三角函数： 反三角函数： arcsinarccos 2 xx += arctanarccot 2 xx += arcsin x：定义域 1,1 ，值域, 2 2 ；arccosx：定义域 1,1，值域0, ； arctan x：定义域(,) + ，值域(,) 2 2 ；arccot x：定义域(,) + ，值域(0, ) 反三角函数性质：反三角函数性质：arcctgxarctgxxx= 2 arccos 2 arcsin 倍角公式：倍角公式： 半角公式：半角公式： cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2cos1 sin sin cos1 cos1 cos1 2 2 cos1 2 cos 2 cos1 2 sin = + = + = + = = + = + = = ctgtg 2 sin 2 sin2coscos 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 sin2sinsin + = + =+ + = + =+ ctgctg ctgctg ctg tgtg tgtg tg = = = = 1 )( 1 )( sinsincoscos)cos( sincoscossin)sin( 2 3 3 3 31 3 3 cos3cos43cos sin4sin33sin tg tgtg tg = = = 2 2 2222 1 2 2 2 1 2 sincossin211cos22cos cossin22sin tg tg tg ctg ctg ctg = = = = 正弦定理：正弦定理：R C c B b A a 2 sinsinsin = 余弦定理：余弦定理： Cabbaccos2 222 += 33223 ()33abaa babb=+ 3322 ()()abab aabb=+m 123221 ()() nnnnnnn abab aabababb =+L 122 (1)(1)(1) () 2! nnnnn kkn n nn nnk abanabababb k + +=+ L LL 高阶导数公式莱布尼兹（高阶导数公式莱布尼兹（LeibnizLeibniz）公式：）公式： )()()()2()1()( 0 )()()( ! ) 1() 1( ! 2 ) 1( )( nkknnnn n k kknk n n uvvu k knnn vu nn vnuvu vuCuv + + + += = = 中值定理与导数应用：中值定理与导数应用： 拉格朗日中值定理。时，柯西中值定理就是当 柯西中值定理： 拉格朗日中值定理： xx F f aFbF afbf abfafbf = = = )(F )( )( )()( )()( )()()( 曲率：曲率： . 1 ; 0 . )1 ( limM sMM:. ,1 320 2 a Ka K y y ds d s K MM s K tgydxyds s = = + = = = =+= 的圆：半径为 直线： 点的曲率： 弧长。：化量；点，切线斜率的倾角变点到从平均曲率： 其中弧微分公式： 定积分的近似计算：定积分的近似计算： + + + b a nnn b a nn b a n yyyyyyyy n ab xf yyyy n ab xf yyy n ab xf )(4)(2)( 3 )( )( 2 1 )( )()( 1312420 110 110 抛物线法： 梯形法： 矩形法： 定积分应用相关公式：定积分应用相关公式： = = = = b a b a dttf ab dxxf ab y k r mm kF ApF sFW )( 1 )( 1 , 2 2 21 均方根： 函数的平均值： 为引力系数引力： 水压力： 功： 空间解析几何和向量代数：空间解析几何和向量代数： 。代表平行六面体的体积 为锐角时，向量的混合积： 例：线速度： 两向量之间的夹角： 是一个数量 轴的夹角。与是向量在轴上的投影： 点的距离：空间 ,cos)( .sin, cos ,cos PrPr)(Pr ,cosPr )()()(2 222222 2121 2 12 2 12 2 1221 cba ccc bbb aaa cbacba rwvbac bbb aaa kji bac bbbaaa bababa bababababa a ja jaaj uABABABj zzyyxxMMd zyx zyx zyx zyx zyx zyxzyx zzyyxx zzyyxx u u = = + + = += +=+ = += （马鞍面）双叶双曲面： 单叶双曲面： 、双曲面： 同号）（、抛物面： 、椭球面： 二次曲面： 参数方程：其中空间直线的方程： 面的距离：平面外任意一点到该平 、截距世方程： 、一般方程： ，其中、点法式： 平面的方程： 1 1 3 , 22 2 11 ;, 13 02 ),(,0)()()(1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 0 0 0 000 222 000 0000000 =+ =+ =+ =+ += += += = = = + + = =+ =+ =+ c z b y a x c z b y a x qpz q y p x c z b y a x ptzz ntyy mtxx pnmst p zz n yy m xx CBA DCzByAx d c z b y a x DCzByAx zyxMCBAnzzCyyBxxA 多元函数微分法及应用多元函数微分法及应用 z y z x y x y x y x yx F F y z F F x z zyxF dx dy F F yF F xdx yd F F dx dy yxF dy y v dx x v dvdy y u dx x u du yxvvyxuu x v v z x u u z x z yxvyxufz t v v z t u u z dt dz tvtufz yyxfxyxfdzz dz z u dy y u dx x u dudy y z dx x z dz = = = = + = + = = + = = + = += + + = + = ， ， 隐函数 ， ， 隐函数 隐函数的求导公式： 时，当 ：多元复合函数的求导法 全微分的近似计算： 全微分： 0),( )()(0),( ),(),( ),(),( )(),( ),(),( 2 2 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),(1 ),( ),( 0),( 0),( yu GF Jy v vy GF Jy u xu GF Jx v vx GF Jx u GG FF v G u G v F u F vu GF J vuyxG vuyxF vu vu = = = = = = = = = 隐函数方程组： 微分法在几何上的应用：微分法在几何上的应用： ),(),(),( 3 0)(,()(,()(,(2 ),(),(),(1 ),(0),( , 0),( 0),( 0)()()( )()()( ),( )( )( )( 000 0 000 0 000 0 000000000000 000000000 000 000000 0 0 0 0 0 0 000 zyxF zz zyxF yy zyxF xx zzzyxFyyzyxFxxzyxF zyxFzyxFzyxFn zyxMzyxF GG FF GG FF GG FF T zyxG zyxF zztyytxxtM t zz t yy t xx zyxM tz ty tx zyx zyx zyx yx yx xz xz zy zy = = =+ = = = = = =+ = = = = = 、过此点的法线方程： ：、过此点的切平面方程 、过此点的法向量： ，则：上一点曲面 则切向量若空间曲线方程为： 处的法平面方程：在点 处的切线方程：在点空间曲线 方向导数与梯度：方向导数与梯度： 上的投影。在是 单位向量。 方向上的，为，其中：它与方向导数的关系是 的梯度：在一点函数 的转角。轴到方向为其中 的方向导数为：沿任一方向在一点函数 lyxf l f ljieeyxf l f j y f i x f yxfyxpyxfz lx y f x f l f lyxpyxfz ),(grad sincos),(grad ),(grad),(),( sincos),(),( += + = + = = 多元函数的极值及其求法：多元函数的极值及其求法： = = 不确定时 值时， 无极 为极小值 为极大值 时， 则： ，令：设 ,0 0 ),( , 0 ),( , 0 0 ),(,),(,),(0),(),( 2 2 00 002 0000000000 BAC BAC yxA yxA BAC CyxfByxfAyxfyxfyxf yyxyxxyx 重积分及其应用：重积分及其应用： + = + = + = = = = + += = D z D y D x zyx D y D x D D y D x D DD ayx xdyx faF ayx ydyx fF ayx xdyx fF FFFFaaMzxoy dyxxIydyxyIx dyx dyxy M M y dyx dyxx M M x dxdy y z x z Ayxfz rdrdrrfdxdyyxf 2 3 222 2 3 222 2 3 222 22 D 2 2 )( ),( )( ),( )( ),( ,)0(), 0 , 0( ),(,),( ),( ),( , ),( ),( 1),( )sin,cos(),( ， ， ，其中：的引力：轴上质点平面）对平面薄片（位于 轴 对于轴对于平面薄片的转动惯量： 平面薄片的重心： 的面积曲面 柱面坐标和球面坐标：柱面坐标和球面坐标： +=+=+= = = = = = = = = = = = dvyxIdvzxIdvzyI dvxMdvz M zdvy M ydvx M x drrrFddddrdrrFdxdydzzyxf ddrdrdrdrrddv rz ry rx zrrfzrF dzrdrdzrFdxdydzzyxf zz ry rx zyx r )()()( 1 , 1 , 1 sin),(sin),(),( sinsin cos sinsin cossin ),sin,cos(),( ,),(),(,sin cos 222222 2 00 ),( 0 22 2 ， ， 转动惯量： ， 其中 重心： ， 球面坐标： 其中： 柱面坐标： 曲线积分：曲线积分： = = + + 时收敛 时发散 级数： 收敛； 级数： 收敛；发散，而调和级数： 为条件收敛级数。收敛，则称发散，而如果 收敛级数；肯定收敛，且称为绝对收敛，则如果 为任意实数；，其中 1 1 1 ) 1(1 ) 1 () 1 ()2( ) 1 ()2( )2( ) 1 ( 2 321 21 pn p n nn uuuu uuuu p n n nn 幂级数：幂级数： 0 0 1 0 )3(lim ) 3( 1 1 1 1 1 1 1 2 210 32 =+ = + = = = = + + + + R R R aa a a R Rx Rx Rx R xaxaxaa x x x xxxx nn n n n n n n 时， 时， 时， 的系数，则是，其中求收敛半径的方法：设 称为收敛半径。，其中 时不定 时发散 时收敛 ，使在数轴上都收敛，则必存 收敛，也不是在全，如果它不是仅在原点 对于级数 时，发散 时，收敛于 函数展开成幂级数：函数展开成幂级数： + += = + = + += + + n n n n n