向量及向量加减法.doc

学习目的： 1.理解向量、零向量、单位向量、向量的模的意义； 2.理解向量的几何表示，会用字母表示向量； 3.了解平行向量、共线向量和相等向量的意义，并会判断向量间平行（共线）、相等的关系； 4.通过对向量的学习，使学生对现实生活的向量和数量有一个清楚的认识，培养学生的唯物辩证思想和分析辨别能力. 5掌握向量的加法的定义，会用向量加法的三角形法则和平行四边形法则作两个向量的和向量； 6掌握向量加法的交换律和结合律，并会用它们进行向量计算； 7明确相反向量的意义，掌握向量的减法，会作两个向量的差向量； 8在正确掌握向量加法减法运算法则的基础上能结合图形进行向量的计算，将数和形有机结合，并能利用向量运算完成简单的几何证明； 9通过阐述向量的减法运算可以转化为向量加法运算及多个向量的加法运算可以转化成两个向量的加法运算，可以渗透化归的数学思想，使学生理解事物之间相互转化，相互联系的辨证思想，同时由于向量的运算能反映出一些物理规律，从而加强了数学学科与物理学科之间的联系，提高学生的应用意识学习内容: 向量这部分知识是新内容，但我们已经接触过了.同学们在物理的课程学习过矢量的概念，它与我们要学的向量是一致的（知识是相通的），即使在数学中，前一段我们学习三角函数线时讲过有向线段，实际上向量就是用有向线段表示的.学习难点: 向量的加法运算 一、向量的概念 向量:既有大小又有方向的量.通常用有向线段 表示，其中A为起点，B为终点，显然 表示不同的向量；有向线段 的长度表示向量的大小，用| |表示，显然 ，既有向线段的起、终点决定向量的方向，有向线段的长度决定向量的大小. 注意:向量 的长度| |又称为向量的模；长度为0的向量叫做零向量，长度为1的向量叫做单位向量. 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，规定零向量与任一向量平行.平行向量可通过平移到同一条直线上，因此平行向量也叫共线向量. 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.零向量与零向量相等，任意两个相等的非零向量可经过平移的过程重合在一起，既可用一个有向线段表示，而与起点无关. 二、向量的加法 1向量加法的平行四边形法则平行四边形ABCD中，向量 的和为 .记作: . 2向量加法的三角形法则 根据向量相等的定义有: ，既在ADC中， ，首尾相连的两个向量的和是以第一个向量的起点指向第二个向量的终点. 规定:零向量与向量 的和等于 . 三、向量的减法 向量 与向量 叫做相反向量.记作: .则 ，既用加法法则来解决减法问题.例题选讲第一阶梯 例1判断下列命题的真假： 直角坐标系中坐标轴的非负轴都是向量； 两个向量平行是两个向量相等的必要条件； 向量 与 是共线向量，则 、 、 、 必在同一直线上； 向量 与向量 平行，则 与 的方向相同或相反； 四边形是平行四边形的充要条件是 分析： 判断上述五个命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目 解： 直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的 由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确； 不正确 与 共线，可以有 与 平行； 不正确如果其中有一个是零向量，则其方向就不确定； 正确此命题相当于平面几何中的命题：四边形 是平行四边形的充要条件是有一组对边平行且相等 例2下列各量中是向量的有_. A、动能 B、重量 C、质量 D、长度 E、作用力与反作用力 F、温度 分析： 用向量的两个基本要素作为判断的依据注意对物理量实际意义的认识. 解: A，C，D，F只有大小，没有方向，而B和F既有大小又有方向，故为向量. 例3命题“若 ， ，则 ”（ ） A总成立B当 时成立C当 时成立D当 时成立 分析： 这里要作出正确选择，就是要探求题中命题成立的条件零向量与其他任何非零向量都平行，当两非零向量、不平行而时，有，但这时命题不成立，故不能选择A，也不能选择B与D，故只能选择C 答案：C第二阶梯 例1如图1所示，已知向量 ，试求作和向量 分析： 求作三个向量的和的问题，首先求作其中任两个向量的和，因为这两个向量的和仍为一个向量，然后再求这个向量与另一个向量的和即先作 ，再作 解： 如图2所示，首先在平面内任取一点，作向量，再作向量，则得向量，然后作向量，则向量即为所求 例2化简下列各式 (1) ； (2) 分析： 化简含有向量的关系式一般有两种方法是利用几何方法通过作图实现化简；是利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序，有时也需将一个向量拆分成两个或多个向量 解： (1)原式= (2)原式= 例3用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形 分析： 要证明四边形是平行四边形只要证明某一组对边平行且相等由相等向量的意义可知，只需证明其一组对边对应的向量是相等向量(需首先将命题改造为数学符号语言) 已知：如图3，ABCD是四边形，对角线AC与BD交于O，且AO=OC，DO=OB 求证：四边形ABCD是平行四边形 证明：由已知得 ， ，且A，D，B，C不在同一直线上，故四边形ABCD是平行四边形第三阶梯 例1下列命题: （1）单位向量都相等； （2）若 ，则 ； （3）若ABCD为平行四边形，则 ； （4）若 ，则 . 其中真命题的个数是（ ） A、0B、1C、2D、3 解:（1）不正确.单位向量的长度相等，但方向不一定相同；（2）不正确. 可能在同一条直线上；（3）不正确.平行四边形ABCD中， ；（4）正确.满足等量的传递性.选B. 例2若O为正三角形ABC的中心，则向量 是（ ）. A、有相同起点的向量B、平行向量C、模相等的向量D、相等的向量 解: 的起点不同，不平行也不相等.由正三角形的性质: .选C. 例3某人向东走3km，又向北走3km，求此人所走路程和位移. 解:此人所走路程:|AB|+|BC|=6km.此人的位移: 例4求证对角线互相平分的平面四边形是平行四边形. 已知: ，求证:ABCD为平行四边形. 证明: 由加法法则: ， ， ，即线段AB与DC平行且相等， ABCD为平行四边形. 例5非零向量 中，试比较 的大小. 解:（1） 共线时， 时， 时， . （2） 不共线时， ， ， 即 ， 综上： 课外练习: 1若两个向量不相等，则这两个向量（ ）. A、不共线B、长度不相等 C、不可能均为单位向量D、不可能均为零向量 2四边形RSPQ为菱形，则下列可用一条有向线段表示的两个向量是（ ）. A、 B、 C、 D、 3“两个向量共线”是“这两个向量相等”的（ ）. A、充分不必要条件B、必要不充分条件 C、充要条件D、既不充分也不必要条件 4O是四边形ABCD对角线的交点，若 ，则四边形ABCD是（ ）. A、等腰梯形B、平行四边形C、菱形D、矩形 5若O是ABC内一点， ，则O是ABC的（ ）. A、内心B、外心C、垂心D、重心 6ABC中， =（ ）. A、 B、 C、 D、 7平行四边形ABCD中，E、F为AB，CD中点，图中7个向量中，与 相等的向量是_；与 相等的向量是_；与 平行的向量是_；与 平行的向量是_. 8已知:首尾相接的四个向量 . 求证: .S 参考答案: 1.D2.B3.B4.B5.D6.B 7. 8. 证明: ， ， . 测试选择题1已知向量 a=(3,m)的长度是5，则m的值为（ ）. A、4 B、-4 C、4 D、162下面有四个命题：（1）向量 的长度与向量 的长度相等.（2）任何一个非零向量都可以平行移动.（3）所有的单位向量都相等.（4）两个有共同起点的相等向量，其终点必相同.其中真命题的个数是（ ）.A、4 B、3 C、2 D、13在下列命题中，正确的是（ ）. A、若| | |，则 B、| |=| |，则 = C、若 = ，则 与 共线 D、若 ，则 一定不与 共线4下列说法中错误的是（ ）. A、零向量是没有方向的 B、零向量的长度为0 C、零向量与任一向量平行 D、零向量的方向是任意的5 如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，则和 相等的向量的个数是（ ）. A、1个 B、2个 C、3个 D、4个答案与解析答案：1、C 2、B 3、C 4、A 5、B解析：1答案：C. 因为|a| 所以 2答案：B. (1)对.因为 与 是指同一条线段，因此长度相等 (2)对这是由相等向量推导出的结论(3)错.因为单位向量只要求模长等于1，方向不作要求，因此不一定相等(4)对因为相等向量可以经过平移至完全重合解决本题的关键是熟练掌握有关基础知识. 3答案：C. A错因为向量有大小和方向两个要素无法比较大小B错相等向量不仅要模长相等，方向也要相同C对相等向量方向一定相同，因此共线D错因为向量不相等，可能仅由于模长不等，方向仍可能是相同的，所以 与 有共线的可能 4答案：A. 零向量是规定了模长为0的向量零向量的方向没有规定，是任意的，可以看作和任一向量共线零向量绝不是没有方向 5答案：B. 根据向量相等的条件. 向量重点难点 了解向量可以根据需要自由平移的特点是今后运用向量方法解决问题的前提条件之一，也因此，平行向量也叫共线向量要根据向量的有关概念从图形中找出相等的向量和共线的向量因此，要加强训练观察一些常见图形 以下三个问题上常出现错误：一是用表示向量的有向线段的起点和终点的字母表示向量时，一定注意搞清字母顺序，起点在前，终点在后，例如 与 是大小相同，方向相反的两个向量，二是零向量的方向是任意的，而不是没有方向，因此有关零向量的方向问题一般要注意规定，例如命题： 与 共线， 与 共线， 与 共线，是错误的，因为零向量的方向是任意的，故 与 的方向没有任何关系，因此也无法判断是否共线，三是注意区别平行向量与平面几何中直线平行的概念，前者相当于两直线位置关系中的平行和重合两种情况，例如错误地认为平行向量不可能是共线向量，其实这两个概念是同一个概念. 典型题目 例1下列说法中正确的是 （ ）. A向量 与向量 共线，向量 与向量 共线，则向量 与向量 共线 B、任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点 C、向量 与 不共线，则 与 所在直线的夹角为锐角 D、始点相同的两个非零向量不平行 答案：A 点评：向量共线即方向相同或相反，故非零向量间的共线关系是可以传递的共线向量等同于平行向量，既可平行也可在同一直线上.而相等向量是共线的，故B中四点可能在同一直线上，向量不共线，仅指其所在直线不平行或不重合，夹角可能是直角，而选项D中向量是否共线与始点位置无关 例2 “两个向量共线”是“这两个向量方向相反”的( )条件 A.充分不必要B必要不充分C充要D既不充分也不必要 答案：B 点评：向量共线即向量方向相同或相反，故后者推出前者，而反之不成立 例3下面有四个命题：(1)向量的模是一个正实数(2)两个向量平行是两个向量相等的必要条件(3)若两个单位向量互相平行，则这两个单位向量相等(4)温度含有零上温度和零下温度，所以温度是向量，其中真命题的个数为( ) A0B1C2D3 答案：B 点评：只有(2)是正确的，因为两个向量平行只是指这两个向量在方向上是相同或相反的方向相反则不可能是相等向量即使方向相同，对于大小也没有要求，依然无法判定两个向量是否相等而两个相等向量的方向一定相同，必是平行向量(1)错在向量的模是表示向量的有向线段的长度，零向量的模为零因此向量的模是一个非负实数(3)错在两个单位向量互相平行，方向可能相同也可能相反，因此这两个向量不一定相等(4)错在温度的零上零下也只是表示数量向量既要有大小又要有方向常见的向量有力、速度、位移、加速度等正确解答本题的关键是把握住向量的两个要素，并从这两个要素人手区分其它有关概念 例4 一辆汽车从A点出发向西行驶了100公里到达B点，然后又改变方向向西偏北50走了200公里到达C点，最后又改变方向，向东行驶了100公里到达D点(1)作出向量 、 (2) 求| |. 答案：(1)见图. (2)由题意，易知 方向相反，故 与 共线，又 ， 在四边形ABCD中，AB CD，四边形ABCD为平行四边形， ， =200公里. 点评：准确画出向量的方法是先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据向量的大小确定向量的终点. 例5 一个人从A点出发沿东北方向走了100米到达B点后改变方向沿南偏东15又走了100米到达C点，求此人从C点走回A点的位移 解：如图，根据题意知ABC为等边三角形，故a=15，| |=100， 此人从C点走回A点的位移 ，大小为100米，方向为西偏北15检测题 1.在下列各命题中，为真命题的有（ ） （1）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量 （2）温度有零上温度和零下温度因此温度也是向量 （3）方向为南偏西60的向量与方向为北偏东60的向量是共线向量 （4）坐标平面上的x轴和y轴都是向量 A1个 B2个 C3个 D4个 2.已知a、b、c是三个非零向量，则|a+b+c|=|a|+|b|+|c|的充要条件是（ ） Aa、b同方向 Bb、c同方向 Ca、c同方向 Da、b、c同方向