函数的解析式.doc

函数的解析式一. 本周教学内容： 二次函数的解析式的确定知识要点 1. 若已知二次函数的图象上任意三点坐标，则用一般式（a0）求解析式。 2. 若已知二次函数图象的顶点坐标（或对称轴最值），则应用顶点式，其中（h，k）为顶点坐标。 3. 若已知二次函数图象与x轴的两交点坐标，则应用交点式，其中为抛物线与x轴交点的横坐标二. 重点、难点： 重点：求二次函数的函数关系式 难点：建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题。三. 教学建议： 求二次函数的关系式，应恰当地选用二次函数关系式的形式，选择恰当，解题简捷；选择不当，解题繁琐；解题时，应根据题目特点，灵活选用。【典型例题】 例1. 已知某二次函数的图象经过点A（1，6），B（2，3），C（0，5）三点，求其函数关系式。 分析：设，其图象经过点C（0，5），可得，再由另外两点建立关于的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可。 解：设所求二次函数的解析式为 因为图象过点C（0，5）， 又因为图象经过点A（1，6），B（2，3），故可得到： 所求二次函数的解析式为 说明：当已知二次函数的图象经过三点时，可设其关系式为，然后确定a、b、c的值即得，本题由C（0，5）可先求出c的值，这样由另两个点列出二元一次方程组，可使解题过程简便。 例2. 已知二次函数的图象的顶点为（1，），且经过点（2，0），求该二次函数的函数关系式。 分析：由已知顶点为（1，），故可设，再由点（2，0）确定a的值即可 解：，则 图象过点（2，0）， 即： 说明：如果题目已知二次函数图象的顶点坐标（h，k），一般设，再根据其他条件确定a的值。本题虽然已知条件中已设，但我们可以不用这种形式而另设这种形式。因为在这种形式中，我们必须求a、b、c的值，而在这种形式中，在顶点已知的条件下，只需确定一个字母a的值，显然这种形式更能使我们快捷地求其函数关系式。 例3. 已知二次函数图象的对称轴是，且函数有最大值为2，图象与x轴的一个交点是（1，0），求这个二次函数的解析式。 分析：依题意，可知顶点坐标为（3，2），因此，可设解析式为顶点式 解：设这个二次函数的解析式为 图象经过（1，0）， 所求这个二次函数的解析式为 即： 说明：在题设的条件中，若涉及顶点坐标，或对称轴，或函数的最大（最小值），可设顶点式为解析式。 例4. 已知二次函数的图象如图1所示，则这个二次函数的关系式是_。图1 分析：可根据题中图中的信息转化为一般式（或顶点式）（或交点式）。 方法一：由图象可知：该二次函数过（0，0），（2，0），（1，1）三点 设解析式为 根据题意得： 所求二次函数的解析式为 方法二：由图象可知，该二次函数图象的顶点坐标为（1，1） 设解析式为 图象过（0，0）， 所求二次函数的解析式为 即 方法三：由图象可知，该二次函数图象与x轴交于点（0，0），（2，0） 设解析式为 图象过（1，1） ， 所求二次函数解析式为： 即： 说明：依题意后两种方法比较简便。 例5. 已知：抛物线在x轴上所截线段为4，顶点坐标为（2，4），求这个函数的关系式 分析：由于抛物线是轴对称图形，设抛物线与x轴的两个交点为（x1，0），（x2，0），则有对称轴，利用这个对称性很方便地求二次函数的解析式 解：顶点坐标为（2，4） 对称轴是直线x2 抛物线与x轴两交点之间距离为4 两交点坐标为（0，0），（4，0） 设所求函数的解析式为 图象过（0，0）点 ， 所求函数的解析式为 例6. 已知二次函数的最大值是零，求此函数的解析式。 分析：依题意，此函数图象的开口应向下，则有，且顶点的纵坐标的值为零，则有：。以上两个条件都应满足，可求m的值。 解：依题意： 由得 由得：（舍去） 所求函数式为 即： 例7. 已知某抛物线是由抛物线经过平移而得到的，且该抛物线经过点A（1，1），B（2，4），求其函数关系式。 分析：设所求抛物线的函数关系式为，则由于它是抛物线经过平移而得到的，故a2，再由已知条件列出b、c的二元一次方程组可解本题。 解：设所求抛物线的函数关系式为，则由已知可得a2，又它经过点A（1，1），B（2，4） 故： 解得： 所求抛物线的函数表达式为： 说明：本题的关键是由所求抛物线与抛物线的平移关系，得到 例8. 如图2，已知点A（4，0）和点B（6，0），第三象限内有一点P，它的横坐标为2，并且满足条件图2 （1）求证：PAB是直角三角形。 （2）求过P、A、B三点的抛物线的解析式，并求顶点坐标。 分析：（1）中须证，由已知条件： ，应过P作PCx轴 （2）中已知P、A、B三点的坐标，且根据点的位置可用三种不同的方法求出抛物线的解析式 解：（1）过P作PCx轴于点C， 由已知易知AC2，BC8 ，解得：PC4 P点的坐标为（2，4） 由勾股定理可求得： ，又 故APB是直角三角形 （2）解法1，可设过P、A、B三点的抛物线的解析式为： ， 则有 顶点坐标（1，） 解法2：由抛物线与x轴交于A（4，0），B（6，0）， 可设，又抛物线过点P（2，4）可求a值 解法3：由A（4，0），B（6，0） 可知抛物线的对称轴为 可设，将A、B点的坐标代入解析式可求a，k的值 例9. 如图3所示，是某市一条高速公路上的隧道口，在平面直角坐标系上的示意图，点A和A1，点B和B1分别关于y轴对称，隧道拱部分BCB1为一段抛物线，最高点C离路面AA1的距离为8米，点B离地面AA1的距离为6米，隧道宽AA1为16米图3 （1）求隧道拱抛物线BCB1的函数表达式； （2）现有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为4米，车载大型设备的顶部与路面的距离均为7米，问它能否安全通过这个隧道？请说明理由。 分析：（1）由已知可得顶点C的坐标为（0，8），B点坐标为（8，6），从而可求其函数关系式。 （2）假设汽车从正中行驶，则其最右边到y轴的距离是2，于是求出抛物线上横坐标为2的点的坐标，再看它到地面AA1的距离是否大于7米，由此可判断运货汽车能否安全通过隧道。 解：（1）如图所示，由已知得OAOA18，OC8， 故C点坐标（0，8），B点坐标为（8，6） 设隧道拱抛物线BCB1的函数表达式为， 则 隧道拱抛物线BCB1的函数关系式为 （2）设货运汽车从正中行驶，则其最右边正上方抛物线上的点的横坐标为2，设这个点为D，过D作DEx轴于E 当x2时， D点坐标为（2，7），DE 7 该运货汽车能安全通过这个隧道。 说明：要求抛物线的函数关系式，关键是确定其上的点的坐标，再选用适当的形式求其关系式。 本题第（2）小题中，还可以求出抛物线上纵坐标为7的点的坐标（有两个），再比较这两点间的水平距离是否大于4。 例10. 有这样一个问题： 已知：二次函数的图象经过A（0，a），B（1，2），求证：这个二次函数图象的对称轴是直线，题目中的矩形框部分是一段被墨水覆盖而无法辨认的文字。 （1）根据现有的信息，你能否求出题目中二次函数的关系式？若能，写出求解过程，若不能，说明理由。 （2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填加一个适当的条件，把原题补充完整。 分析：仅由A、B两点无法求其关系式，但如果把待证的结论也看成已知条件，则可求出其关系式 解：（1）能 ，过程如下 由图象经过点A（0，a），得ca 将图象对称轴为直线看成已知条件，则 抛物线的对称轴是直线 抛物线经过点B（1，2） 所求二次函数的关系式为 （2）可补充条件：（或或其他条件） 说明：二次函数配方后可变形为，故其图象的对称轴是直线，顶点坐标是（） 第（2）题的答案不唯一，补充的条件只要能求出其关系式为即可。 例11. 已知四点A（1，2），B（0，6），C（2，20），D（1，12），试问是否存在一个二次函数，使它的图象同时经过这四个点？如果存在，请求出它的关系式；如果不存在，说明理由。 分析：先求出经过A、B、C的抛物线的关系式，再验证点D是否在所求抛物线上，若在，则存在这样的二次函数；若不在，则不存在这样的二次函数。 解：设图象经过A、B、C的二次函数为 则由图象经过点B（0，6），可得c6 又图象经过点A（1，2），C（2，20） 解得： 经过A、B、C三点的二次函数为 当 点D（1，12）在函数的图象上 即存在二次函数，其图象同时经过四个点。 说明：探索同时经过四点的抛物线的问题，可先求出经过其中三个点的抛物线的关系式，再判断第四个点是否在所求抛物线上。【模拟试题】一、填空题 1. 抛物线向右平移5个单位的抛物线的函数关系式是_。 2. 二次函数的图象经过原点，则其函数关系式是_。 3. 若抛物线的顶点是（1，3），则m_。 4. 对称轴是的抛物线过点M（1，4），N（2，1），这条抛物线的函数关系式为_。 5. 已知二次函数的图象过点A（1，0），B（0，4），则其顶点坐标是_。 6. 已知二次函数，当x0时，y3；当x1时，它有最大值1，则其函数关系式为_。二、选择题： 7. 已知：抛物线的最小值为1，那么c的值是（ ） A. 10B. 9 C. 8D. 7 8. 已知二次函数的图象过点（1，1），（2，4），（0，4）三点，那么它的对称轴是直线（ ） A. B. C. D. 9. 一个二次函数的图象过（1，5），（1，1）和（3，5）三个点，则这个二次函数的关系式为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数的图象如图1，则此函数的关系式为（ ）图1 A. B. C. D. 三、解答题： 根据下列条件，求二次函数的解析式 （1）图象经过点（1，3），（1，3），（2，6） （2）抛物线顶点坐标为（1，9），并且与y轴交于（0，8） （3）抛物线的对称轴是直线，与x轴的一个交