2019高考数学二轮复习第4讲导数的综合应用课件理.ppt

第4讲导数的综合应用,总纲目录,考点一利用导数证明不等式,例(2018课标全国文,21,12分)已知函数f(x)=aex-lnx-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a时,f(x)0.,解析(1)f(x)的定义域为(0,+),f(x)=aex-.由题设知,f(2)=0,所以a=.从而f(x)=ex-lnx-1,f(x)=ex-.当02时,f(x)0.所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(2,+)上单调递增.(2)当a时,f(x)-lnx-1.设g(x)=-lnx-1,则g(x)=-.,当01时,g(x)0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x0时,g(x)g(1)=0.因此,当a时,f(x)0.,方法总结利用导数证明不等式的常用方法:(1)证明f(x)g(x),x(a,b),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),若f(x)0,则F(x)在(a,b)上是增函数,同时若F(a)0,由增函数的定义可知,x(a,b)时,有F(x)0,即证明了f(x)g(x).,方法归纳,用导数证明不等式的方法(1)利用单调性:若f(x)在a,b上是增函数,则xa,b,有f(a)f(x)f(b);x1,x2a,b,且x1x2,有f(x1)f(x2).对于减函数有类似结论.(2)利用最值:若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则xD,有f(x)M(或f(x)m).(3)证明f(x)-e1-x.,解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+),f(x)=2ax-.由已知,得f(2)=,即4a-=.所以a=.所以f(x)=x-=.由f(x)0,得x1;由f(x)1,则g(x)=x-+-e1-x.,-e1-x=,令h(x)=ex-1-x(x1),则h(x)=ex-1-1.当x1时,h(x)0,所以h(x)在(1,+)上为增函数.所以h(x)h(1)=0.所以-e1-x0,即-e1-x-.所以g(x)x-+.而x-+=0,所以g(x)0.,所以g(x)在(1,+)上为增函数.所以g(x)g(1)=0,即f(x)-e1-x.,考点二利用导数解决不等式恒成立、存在性问题,例1(2018陕西质检一)设函数f(x)=lnx+,kR.(1)若曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线与直线x-2=0垂直,求f(x)的单调性和极小值(其中e为自然对数的底数);(2)若对任意的x1x20,f(x1)-f(x2)0).曲线y=f(x)在点(e,f(e)处的切线与直线x-2=0垂直,f(e)=0,即-=0,k=e.f(x)=-=(x0).由f(x)0,得xe.f(x)在(0,e)上单调递减,在(e,+)上单调递增,当x=e时,f(x)取得极小值,且极小值为f(e)=lne+=2.f(x)的极小值为2.,(2)由题意知,对任意的x1x20,f(x1)-x10),则h(x)在(0,+)上单调递减.h(x)=-10在(0,+)上恒成立.当x0时,k-x2+x=-+恒成立.k.故k的取值范围是.,方法归纳破解此类以函数为背景的不等式恒成立问题需要“一构造、一分类”.“一构造”是指通过不等式的同解变形,构造一个与背景函数相关的函数;“一分类”是指在不等式恒成立问题中,常需对参数进行分类讨论,求出参数的范围.有时也可以利用分离参数法,即将不等式分离参数,转化为不含参数的函数的最值问题,利用导数求该函数的最值.一般地,af(x)对xD恒成立,只需af(x)max;a0时,令f(x)0,得x或x0,得0.综上所述,当a=0时,f(x)的单调递增区间为(-,0),单调递减区间为(0,+);当a0时,f(x)的单调递增区间为(-,0),单调递减区间为,;当a0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为,(0,+).(2)依题意,x1,3,ax3-3x2+3ax2-6x0,等价于不等式a=在x1,3有解.令h(x)=(x1,3),则h(x)=-=-0;当x(3-2,3+2)时,f(x)0,所以f(x)=0等价于-3a=0.设g(x)=-3a,则g(x)=0,当且仅当x=0时g(x),=0.所以g(x)在(-,+)上单调递增.故g(x)至多有一个零点,从而f(x)至多有一个零点.又f(3a-1)=-6a2+2a-=-6-0,故f(x)有一个零点.综上,f(x)只有一个零点.,利用导数研究函数零点的方法:方法一:(1)利用导数求出函数f(x)的单调区间和极值;(2)根据函数f(x)的性质作出图象;(3)判断函数零点的个数.方法二:(1)利用导数求出函数f(x)的单调区间和极值;(2)分类讨论,判断函数零点的个数.,方法总结,方法归纳,三步解决方程解(或曲线公共点)的个数问题第一步:将问题转化为函数的零点个数问题,进而转化为函数的图象与x轴(或直线y=k)在该区间上的交点个数问题;第二步:利用导数研究该函数在该区间上的单调性、极值、端点值等性质,进而画出其图象;第三步:结合图象求解.,已知函数f(x)=ex-1,g(x)=+x,其中e是自然对数的底数,e=2.71828.(1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点;(2)求方程f(x)=g(x)的根的个数,并说明理由.,解析(1)由题意,可得h(x)=f(x)