江苏省2019高考数学二轮复习第17讲导数的综合应用课件.ppt

第17讲导数的综合应用,第17讲导数的综合应用1.若函数f(x)=mxsinx-(mR),若对x,f(x)的最大值为,则实数m的取值为.,答案1,解析因为f(x)=m(sinx+xcosx),当m0时,f(x)在x上递减,最大值为f(0)=-,不符合题意,所以m0,此时f(x)在x上递增,最大值为f=m-=,解得m=1,符合题意,故m=1.,2.已知函数f(x)=当x(-,m时,f(x)的取值范围为-16,+),则实数m的取值范围是.,答案-2,8,解析当x0时,f(x)=12-3x2=3(2+x)(2-x),由f(x)=0得x=-2,且x(-,-2)时,f(x)0,f(x)递增,且f(-2)=-16,作出函数f(x)的图象,由图象可得当m-2,8时,f(x)-16,+).,3.若函数f(x)=则函数y=|f(x)|-的零点个数为.,答案4,解析当x1时,f(x)=,则f(x)=,由f(x)=0得x=,当x(1,)时,f(x)0,f(x)递增,x(,+)时,f(x)0,且x+,f(x)0,作出函数y=|f(x)|的图象如图,由图可得y=|f(x)|-有4个零点.,4.设函数f(x)=(aR,e为自然对数的底数).若曲线y=sinx上存在一点(x0,y0)使得f(f(y0)=y0,则a的取值范围是.,答案1,e,题型一导数与不等式的综合应用,例1(2018南京高三第三次模拟)已知函数f(x)=2x3-3ax2+3a-2(a0),记f(x)为f(x)的导函数.(1)若f(x)的极大值为0,求实数a的值;(2)若函数g(x)=f(x)+6x,求g(x)在0,1上取到最大值时x的值;(3)若关于x的不等式f(x)f(x)在上有解,求满足条件的正整数a的取值集合.,解析(1)因为f(x)=2x3-3ax2+3a-2(a0),所以f(x)=6x2-6ax=6x(x-a).令f(x)=0,得x=0或a.当x(-,0)时,f(x)0,f(x)单调递增;当x(0,a)时,f(x)0,f(x)单调递增.故f(x)极大值=f(0)=3a-2=0,解得a=.,(2)g(x)=f(x)+6x=2x3-3ax2+6x+3a-2(a0),则g(x)=6x2-6ax+6=6(x2-ax+1),x0,1.,当02时,g(x)的对称轴为x=1,且=36(a2-4)0,g(1)=6(2-a)0,所以g(x)在(0,1)上存在唯一零点x0=.当x(0,x0)时,g(x)0,g(x)单调递增,当x(x0,1)时,g(x)2时,g(x)取得最大值时x的值为.,(3)设h(x)=f(x)-f(x)=2x3-3(a+2)x2+6ax+3a-2,则h(x)0在上有解.h(x)=6x2-(a+2)x+a=6,因为h(x)在上单调递减,所以h(x)h=-a20),则t(a)=3a2-6a-6,当a(0,1+)时,t(a)0,t(a)单调递增.因为t(0)=40,t(1)=-40,所以t(a)存在一个零点n(4,5),所以t(a)0的解集为m,n,故满足条件的正整数a的取值集合为1,2,3,4.,【方法归纳】(1)不等式恒成立与能成立问题的常用解法:分离参数后转化为函数的最值问题:不等式恒成立问题在变量与参数易于分离的情况下,通过分离参数将原问题转化为函数的最值问题,形如af(x)max或af(x)min.直接转化为函数的最值问题:在参数难以分离的情况下,直接转化为含参函数的最值问题,常常需要对参数进行分类讨论.(2)利用导数证明不等式常见类型及解题策略:构造差函数.根据函数的导函数符号,确定差函数单调性,利用单调性得不等关系,进而证明不等式.根据条件,寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大,小关系,或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.,题型二导数与函数、方程的综合应用,例2(2018江苏扬州中学高三第四次模拟)已知函数f(x)=,(1)求函数f(x)的单调区间;(2)当0m,平方得,所以g0,g0,下面考查F(x)的符号.求导得F(x)=-1-,x0.当x2时F(x)0恒成立.当0xx0,则u(x)=,xx0,当x变化时,u(x),u(x)变化情况如下表:,u(x)min=u(x)极小=u(3)=-.故2cu(x)min=-,即c-.当00在(0,x0)上恒成立.综合(1)(2)知,实数c的取值范围是c-.,【核心归纳】对于函数零点的个数的相关问题,利用导数和数形结合的数学思想来求解.这类问题求解的通法:构造函数,这是解决此类题的关键点和难点,并求其定义域;求导数,得单调区间和极值点;画出函数草图;数形结合,挖掘隐含条件,确定函数图象与x轴的交点情况进而求解.,题型三导数中的探索性问题,例3(2018苏锡常镇四市高三调研(二)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1,a,bR.(1)若a2+b=0.(i)a0时,求函数f(x)的极值(用a表示);(ii)若f(x)有三个相异零点,问是否存在实数a使得这三个零点成等差数列?若存在,试求出a的值;若不存在,请说明理由;(2)函数f(x)图象上点A处的切线l1与f(x)的图象相交于另一点B,在点B处的切线为l2,直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,且k2=4k1,求a,b满足的关系式.,解析(1)(i)由f(x)=3x2+2ax+b及a2+b=0,得f(x)=3x2+2ax-a2,令f(x)=0,解得x=或x=-a.由a0知,x(-,-a),f(x)0,f(x)单调递增,x,f(x)0,f(x)单调递增,因此,f(x)的极大值为f(-a)=1+a3,f(x)的极小值为f=1-.(ii)当a=0时,b=0,此时f(x)=x3+1不存在三个相异零点;,当a.不妨设f(x)的三个零点为x1,x2,x3,且x10,所以x2+x3+x1+a=0,又x1+x3=2x2,所以x2=-.所以f=0,即a3=-1,因此,存在这样的实数a=-满足条件.,(2)设A(m,f(m),B(n,f(n),则k1=3m2+2am+b,k2=3n2+2an+b,又k1=m2+mn+n2+a(m+n)+b,由此可得3m2+2am+b=m2+mn+n2+a(m+n)+b,化简得n=-a-2m,因此,k2=3(-a-2m)2+2a(-a-2m)+b=12m2+8am+a2+b,所以,