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中考数学创新思维训练 （一） 一、填空题（共12小题，满分30分） 1（4分）2的倒数是 _ ，（2）3= _ 2（4分）9的平方根是 _ ，8是 _ 的立方 根 3（2分）用四舍五入所得的数是2.164，它精确到 _ 位 4（2分）计算：cos45= _ ，tan30= _ 5（4分）函数y= 中，自变量x的取值范围是 _ ；函数y= 中，自变量x的取值范围是 _ 6（2分）在实数内分解因式：x42x2= _ 7（2分）一个多边形的每一个外角都等于30，则该多边形的内角和 等于 _ 8（2分）下面一组数据：3，4，2，6，5，5，3，1，4，2，4，2， 4，5，10，6，1，5，5，6，2，10，3 表示初三（1）班23位同学衣服上衣口袋的数目，若任选一位同学，则 其上衣口袋的数目为5的概率为 _ 9（2分）一个矩形的周长为60cm，其面积为S，则S的取值不超过 _ cm2 10（2分）如图，O的直径CD与弦AB交于点M，添加条件： _ （写出一个即可），就可得到M是AB的中点 11（2分）如下图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11 枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要 _ 枚棋子 12（2分）如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一 条直线将它分成面积相等的两部分（在原图上作出） 二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 13（3分）已知x=1是一元二次方程x2+mx+1=0的一个根，那么m的 值是（ ） A0B1C2D2 14（3分）下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ） ABCD 15（3分）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a b），把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证 了一个等式，此等式是（ ） Aa2b2=（a+b）（ab）B （a+b）2=a2+2ab+b2 C （ab）2=a22ab+b2 D（a+2b）（ab）=a2+ab+b2 16（3分）在直角坐标系中，O的圆心在原点，半径为3，A的圆 心A的坐标为（ ，1），半径为1，那么O与A的位置关系是（ ） A内含B内切C相交D外切 17（3分）为迎接北京奥运会，有十五位同学参加奥运知识竞赛，且 他们的分数互不相同，取八位同学进入决赛，某人知道了自己的分数 后，还需知道这十五位同学的分数的什么量，就能判断他能不能进入决 赛（ ） A平均数B众数C最高分数D中位数 18（3分）在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下 面各个试验中哪个不能代替（ ） A两张扑克，“黑桃”代替“正面”，“红桃”代替“反面” B两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球 C扔一枚图钉 D人数均等的男生女生，以抽签的方式随机抽取一人 19（3分）同学们曾玩过万花筒，它是由三块等长的玻璃片围成的 如图，是在万花筒中看到的一个图案图中所有小三角形均是全等的等 边三角形，其中的菱形AEFG可以看成把菱形ABCD以A为旋转中心 （ ） A顺时针旋转60得到的B顺时针旋转120得到的 C逆时针旋转60得到的D逆时针旋转120得到的 20（3分）将一张正方形的纸片按下图所示的方式三次折叠，折叠后 再按图所示沿MN裁剪，则得到的图形是（ ） A多个等腰直角三角形B一个等腰直角三角形和一个正 方形 C四个相同的正方形D两个相同的正方形 三、解答题（共9小题，满分76分） 21（15分）（1）计算： （2）已知不等式5（x2）+86（x1）+7的最小整数解是方程2x ax=4的解，求a的值 （3）先化简，再求值： ，其中x=2 22（6分）方格纸中每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三 角形叫做格点三角形 （1）在1010的方格中（每个小方格的边长为1个单位），画一个面积 为2的格点钝角三角形ABC，并标明相应字母； （2）再在方格中画一个格点DEF，使得DEFABC，且面积之 比为2：1，并加以证明 23（7分）如图，给出五个条件：AE平分BAD，BE平分 ABC，E是CD的中点，AEEB，AB=AD+BC （1）请你以其中三个作为命题的条件，写出一个能推出ADBC的正 确命题，并加以说明； （2）请你以其中三个作为命题的条件，写出一个不一定能推出 ADBC的正确命题，并举例说明 24（6分）某天，夏雪同学就“你身上携带多少零用钱”进行一次调 查，她将全班40位同学的零用钱记录如下：（单位：元） 2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5， 5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0 根据这些数据回答下列问题： （1）请你写出同学的零用钱（0元，2元，5元，6元，8元）出现的频 数； （2）求出同学的零用钱的平均数、中位数和众数； （3）假如老师随机问一位同学身上有多少零用钱，老师最有可能得到 的回答是多少元？ 25（8分）某校每学期都要对优秀的学生进行表扬，而每班采取民主 投票的方式进行选举，然后把名单报到学校若每个班级平均分到3位 三好生、4位模范生、5位成绩提高奖的名额，且各项均不能兼得、现在 学校有30个班级，平均每班50人 （1）作为一名学生，你恰好能得到荣誉的机会有多大？ （2）作为一名学生，你恰好能当选三好生、模范生的机会有多大？ （3）在全校学生数、班级人数、三好生数、模范生数、成绩提高奖人 数中，哪些是解决上面两个问题所需要的？ （4）你可以用哪些方法来模拟实验？ 26（8分）某市的一家报刊摊点从报社买进一种晚报，其价格为每份 0.30元，卖出的价格为0.50元，卖不掉的报纸可以退还给报社，不过每 份退还的钱数与退还的报纸的数量关系如下： 退还的数量51015202530或30以上 价格（元/份） 0.250.200.150.100.050.02 现经市场调查发现，在一个月中（按30天记数）有20天可卖出150份/ 天，有10天只能卖出100份/天，而报社规定每天批发给摊点的报纸的数 量必须相同 （1）通过在坐标系中（以退还的钱数为纵坐标，退还的报纸数量为横 坐标）描出点，分析出退还的钱数y（元）与退还的报纸数量k（份）之 间的函数关系式 （2）若该家报刊摊点每天从报社买进的报纸数x份（满足 100x150），则当买进多少报纸时，毛利润最大？最多可赚多少钱？ 27（8分）在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要 求花园所占面积为荒地面积的一半，下面分别是小明和小颖的设计方 案 小明说：我的设计方案如图1，其中花园四周小路的宽度相等通过解 方程，我得到小路的宽为2m或12m 小颖说：我的设计方案如图2，其中花园中每个角上的扇形相同 （1）你认为小明的结果对吗？请说明理由 （2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0.1m） （3）你还有其他的设计方案吗？请在下边的矩形中画出你的设计草 图，并加以说明 28（8分）在ABC中，C=90，AC=6，BC=8，M是BC的中点，P 为线段AB上的一个动点（可以与A、B重合），并作MPD=90，PD交 BC（CB延长线或BC的延长线）于点D （1）记BP的长为x，BMP的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写 出自变量x的取值范围； （2）是否存在这样的点P，使得MPD与ABC相似？若存在，请求 出x的值；若不存在，请说明理由 29（10分）如图，已知AB是O的直径，AC是O的弦，点D是弧 的中点，弦DEAB，垂足为点F，DE交AC于点G （1）图中有哪些相等的线段；（要求：不再标注其他字母，找结论的 过程中所作的辅助线不能出现在结论中，不写推理过程） （2）若过点E作O的切线ME，交AC延长线于点M（请补完整图 形），试问ME=MG是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明 理由； （3）在满足第（2）问的条件下，已知AF=3，FB= ，求AG与GM的长（第（1）问中的结论可直接利用） 中考数学创新思维训练（一）参考答 案与试题解析 一、填空题（共12小题，满分30分） 1（4分）2的倒数是 ，（2）3= 8 考 点： 有理数的乘方；倒数菁优网版权所有 分 析： 让1除以2的结果就是2的倒数；求（2）3的结果就是求3个 2相乘的结果 解 答： 解：2的倒数是 ，（2）3=8 点 评： 用到的知识点为：乘积为1的两个数互为倒数；注意负数的奇次幂 是负数 2（4分）9的平方根是 3 ，8是 512 的立方根 考 点： 立方根；平方根菁优网版权所有 分 析： 第一题根据平方根的定义即可解决问题； 第二题根据立方根的定义即可解决问题 解 答： 解：9的平方根是3； 8是512的立方根 点 评： 此题主要考查了平方根、立方根的定义注意：平方与开方互为 逆运算；注意正数的平方根有2个；负数的奇次幂是负数 3（2分）用四舍五入所得的数是2.164，它精确到 千分 位 考 点： 近似数和有效数字菁优网版权所有 分 析： 小数点前面是个位，后面有3位小数，依次是十分位，百分位，千 分位 解 答： 解：用四舍五入所得的数是2.164，它精确到千分位 点 评： 近似数精确到哪一位，应当看末位数字实际在哪一位 4（2分）计算：cos45= ，tan30= 考 点： 特殊角的三角函数值菁优网版权所有 分 析： 根据特殊角的三角函数值计算即可 解 答： 解：根据特殊角的三角函数值可知：cos45= ，tan30= 点 评： 本题比较简单，只要熟记特殊角的三角函数值即可解答 5（4分）函数y= 中，自变量x的取值范围是 x1 ；函数y= 中，自变量x的取值范围是 x3 考 点： 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的 条件菁优网版权所有 分 析： 本题主要考查自变量的取值范围，函数关系中主要有二次根式和 分式两部分根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于 等于0，分母不等于0，就可以求解 解 答： 解：x10，解得x1，故第一空为x1； 被开方数x30，解得x3，第二空为x3 点 评： 函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数 6（2分）在实数内分解因式：x42x2= 考 点： 实数范围内分解因式；提公因式法与公式法的综合运用菁优网版权所有 分 析： 当一个多项式有公因式，将其分解因式时应先提取公因式，再对 余下的多项式继续分解当要求在实数范围内进行因式分解时， 分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止本题提取公因式 x2后，可以把剩下的式子写成x2 ，符合平方差公式的特点，可以继续分解 解 答： 解：x42x2=x2（x22）， =x2（x2 2）， = 点 评： 本题考查实数范围内的因式分解因式分解的步骤为：一提公因 式；二看公式在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要 分到出现无理数为止 7（2分）一个多边形的每一个外角都等于30，则该多边形的内角和 等于 1800 考 点： 多边形内角与外角菁优网版权所有 分 析： 多边形的外角和是360度，即可得到外角的个数，即多边形的边 数根据多边形的内角和定理即可求解 解 答： 解：多边形的边数是： =12 则内角和是：（122）180=1800 点 评： 本题主要考查了多边形的内角之间之间的关系根据多边形的外 角和不随边数的变化而变化，转化为考虑内角的关系可以把问题 简化 8（2分）下面一组数据：3，4，2，6，5，5，3，1，4，2，4，2， 4，5，10，6，1，5，5，6，2，10，3 表示初三（1）班23位同学衣服上衣口袋的数目，若任选一位同学，则 其上衣口袋的数目为5的概率为 考 点： 概率公式菁优网版权所有 分 析： 先统计出上衣口袋为5的人数，再统计出总人数，即可根据概率公 式求出概率即可 解 答： 解：P（上衣口袋的数目为5的概率为）= 点 评： 本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可 能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么 事件A的概率P（A）= 9（2分）一个矩形的周长为60cm，其面积为S，则S的取值不超过 225 cm2 考 点： 矩形的性质菁优网版权所有 专 题： 计算题 分 析： 根据周长可得出两边长的关系式，由面积公式也可以得出一个关 系式，结合两个式子可以求出 解 答： 解：设矩形长为x，宽为y 则可以得出2（x+y）=60 x+y=30 0 + =15 xy225 S225 故答案为225 点 评： 综合运用所学知识，利用一些简单的式子可以很方便的解题 10（2分）如图，O的直径CD与弦AB交于点M，添加条件： CDAB （写出一个即可），就可得到M是AB的中点 考 点： 垂径定理菁优网版权所有 专 题： 开放型 分 析： 根据垂径定理可知：可添加CDAB或CD平分AB，答案不唯一 解 答： 解：M是弦AB的中点，CD是直径， 由垂径定理可知，CDAB， 故应填CDAB（答案不唯一） 点 评： 本题主要考查了学生对垂径定理的理解，答案不唯一，只要有理 即可，本题主要根据逆向思维求解 11（2分）如下图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11 枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要 179 枚棋 子 考规律型：图形的变化类菁优网版权所有 点： 分 析： 本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现 其中的规律，并应用发现的规律解决问题 解 答： 解：根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个第2个图案 中棋子的个数11个每个图形都比前一个图形多用6个第30个 图案中棋子的个数为5+296=179个 点 评： 此题考查了平面图形，主要培养学生的观察能力和归纳能力 12（2分）如图所示是由7个完全相同的正方形拼成的图形，请你用一 条直线将它分成面积相等的两部分（在原图上作出） 考 点： 作图应用与设计作图菁优网版权所有 专 题： 压轴题 分 析： 将图形分为两部分，分别算出两部分的面积，使面积值相等 解 答： 解：如图： 设小正方形的边长为2，E为BC中点 则SABE= 14=2，所以梯形ADCE的面积为82=6； 则AE左侧的面积总和为：43+2=14，AE右侧的面积为 42+6=14 所以AE两侧的图形面积相等 点 评： 此题重点在于分析出完整正方形多的一方分割的小图形就少一 点，这样才可以保证两边图形面积相等同时解题过程中可以设 出具体的边长然后验证面积相等 二、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分） 13（3分）（2003海南）已知x=1是一元二次方程x2+mx+1=0的一 个根，那么m的值是（ ） A0B1C2D2 考 点： 一元二次方程的解菁优网版权所有 专 题： 计算题 分 析： 一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右 两边相等的未知数的值，再用这个数代替未知数所得式子仍然成 立 解 答： 解：把x=1代入方程可得1m+1=0， m=2 故选C 点 评： 本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义，是一道比较 基础的题 14（3分）下列各式中，与 是同类二次根式的是（ ） ABCD 考 点： 同类二次根式菁优网版权所有 分 析： 根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数 为3的即可 解 答： 解：A、 =3与 被开方数不同，不是同类二次根式； B、 =3 与 被开方数相同，是同类二次根式； C、 =3 与 被开方数不同，不是同类二次根式； D、 =2 与 被开方数不同，不是同类二次根式 故选B 点 评： 此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式 后，被开方数相同，这样的二次根式叫做同类二次根式 15（3分）如图在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a b），把剩下的部分拼成一个矩形，通过计算两处图形的面积，验证 了一个等式，此等式是（ ） Aa2b2=（a+b）（ab）B （a+b）2=a2+2ab+b2 C （ab）2=a22ab+b2 D（a+2b）（ab）=a2+ab+b2 考 点： 平方差公式的几何背景菁优网版权所有 专 题： 计算题；压轴题 分 析： 利用正方形的面积公式可知剩下的面积=a2b2，而新形成的矩形 是长为a+b，宽为ab，根据两者相等，即可验证平方差公式 解 答： 解：由题意得：a2b2=（a+b）（ab） 故选A 点 评： 此题主要考查平方差公式即两个数的和与这两个数的差的积等 于这两个数的平方差，这个公式就叫做平方差公式 16（3分）在直角坐标系中，O的圆心在原点，半径为3，A的圆 心A的坐标为（ ，1），半径为1，那么O与A的位置关系是（ ） A内含B内切C相交D外切 考 点： 圆与圆的位置关系；坐标与图形性质菁优网版权所有 专 题： 压轴题 分 析： 首先求得点A到点O的距离是 =2，再根据圆心距与半径之间的数量关系判断O1与O2的位置 关系 解 答： 解：根据题意得点A到点O的距离是 =2，即两圆的圆心距是2， 所以半径与圆心距的关系是31=2， 根据圆心距与半径之间的数量关系可知O1与O2的位置关系是 内切 故选B 点 评： 本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法设两圆的半 径分别为R和r，且Rr，圆心距为P，则：外离PR+r；外切 P=R+r；相交RrPR+r；内切P=Rr；内含PRr 17（3分）为迎接北京奥运会，有十五位同学参加奥运知识竞赛，且 他们的分数互不相同，取八位同学进入决赛，某人知道了自己的分数 后，还需知道这十五位同学的分数的什么量，就能判断他能不能进入决 赛（ ） A平均数B众数C最高分数D中位数 考 点： 统计量的选择菁优网版权所有 分 析： 15人成绩的中位数是第8名的成绩参赛选手要想知道自己是否能 进入前8名，只需要了解自己的成绩以及全部成绩的中位数，比较 即可 解 答： 解：由于总共有15个人，且他们的分数互不相同，取8位同学，第 8的成绩就是中位数，所以要判断是否进入前8名，只要比较自己 的分数和中位数的大小即可 故选D 点 评： 此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数 的意义反映数据集中程度的统计量有平均数、中位数、众数 等，各有局限性，因此要对统计量进行合理的选择和恰当的运用 18（3分）在“抛一枚均匀硬币”的实验中，如果现在没有硬币，则下 面各个试验中哪个不能代替（ ） A两张扑克，“黑桃”代替“正面”，“红桃”代替“反面” B两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球 C扔一枚图钉 D人数均等的男生女生，以抽签的方式随机抽取一人 考 点： 模拟实验菁优网版权所有 分 析： 分析替代试验出现的概率后，与“抛一枚均匀硬币”的实验中的概率 比较 解 答： 解：A、两张扑克，质地均匀，可以用“黑桃”代替“正面”，“红 桃”代替“反面； B、两个形状大小完全相同，但一红一白的两个乒乓球可以代替； C、因为图钉有大小头，所以不能代替 D、人数均等的男生女生，以抽签的方式随机抽取一人，可以代 替 故选C 点 评： 在此类实验中，只要所选的代替物与“抛一枚均匀硬币”的实验中出 现的概率相同就可代替 19（3分）同学们曾玩过万花筒，它是由三块等长的玻璃片围成的 如图，是在万花筒中看到的一个图案图中所有小三角形均是全等的等 边三角形，其中的菱形AEFG可以看成把菱形ABCD以A为旋转中心 （ ） A顺时针旋转60得到的B顺时针旋转120得到的 C逆时针旋转60得到的D逆时针旋转120得到的 考 点： 旋转的性质菁优网版权所有 专 题： 动点型 分 析： 根据图形可知BAE=120，可认为其是菱形AEFG可以看成把菱 形ABCD以A为旋转中心顺时针旋转的旋转角，进而可得答案 解 答： 解：根据图形可知BAE=120， 所以菱形AEFG可以看成把菱形ABCD以A为旋转中心顺时针旋转 120得到的； 故选B 点 评： 本题考查旋转的性质：旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离 相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等要 注意旋转的三要素：定点旋转中心；旋转方向；旋转角 度 20（3分）将一张正方形的纸片按下图所示的方式三次折叠，折叠后 再按图所示沿MN裁剪，则得到的图形是（ ） A多个等腰直角三角形B一个等腰直角三角形和一个正 方形 C四个相同的正方形D两个相同的正方形 考 点： 剪纸问题菁优网版权所有 专 题： 压轴题 分 析： 严格按照图中的顺序亲自动手操作一下即可 解 答： 解：严格按照图中的顺序向右上对折，向左上角对折，过直角顶 点向对边引垂线，沿垂线剪开，展开后可得到四个相同的正方 形，得到结论 故选C 点 评： 本题主要考查学生的动手能力及空间想象能力对于此类问题， 学生只要亲自动手操作，答案就会很直观地呈现 三、解答题（共9小题，满分76分） 21（15分）（1）计算： （2）已知不等式5（x2）+86（x1）+7的最小整数解是方程2x ax=4的解，求a的值 （3）先化简，再求值： ，其中x=2 考 点： 分式的化简求值；绝对值；零指数幂；一元一次不等式组的整数 解菁优网版权所有 分 析： （1）根据绝对值、零指数幂的计算法则进行计算； （2）根据解得不等式的解集，再求a； （3）首先找到最简公分母，然后进行通分化简 解 答： 解：（1）原式=2 +31+1=6 ； （2）由5（x2）+86（x1）+7得：x3；所以不等式5（x 2）+86（x1）+7的最小整数解为4； 由2xax=4得：x= =4；解得a=1； （3）原式= =x（1x）=2x1； x=2； 原式=3 点 评： 进行分式的混合运算时要特别注意运算顺序及符号的处理，也需 要对通分、分解因式、约分等知识点熟练掌握 22（6分）方格纸中每个小格的顶点叫做格点，以格点连线为边的三 角形叫做格点三角形 （1）在1010的方格中（每个小方格的边长为1个单位），画一个面积 为2的格点钝角三角形ABC，并标明相应字母； （2）再在方格中画一个格点DEF，使得DEFABC，且面积之 比为2：1，并加以证明 考 点： 作图相似变换菁优网版权所有 专 题： 压轴题；网格型 分 析： （1）作ABC，AB=2 ，BC=2，由图形可知则SABC=2； （2）根据两边对应成比例，夹角相等可证明DEFABC 解 答： 解：（1）作ABC，AB=2 ，BC=2，SABC=2； （2）作DEF，EF=2 ，DE=4， DEF=135=ABC， DEFABC 点 评： 本题考查位似图形的意义及作图能力画位似图形的一般步骤 为：确定位似中心，分别连接并延长位似中心和能代表原图 的关键点；根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键 点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形 23（7分）如图，给出五个条件：AE平分BAD，BE平分 ABC，E是CD的中点，AEEB，AB=AD+BC （1）请你以其中三个作为命题的条件，写出一个能推出ADBC的正 确命题，并加以说明； （2）请你以其中三个作为命题的条件，写出一个不一定能推出 ADBC的正确命题，并举例说明 考 点： 全等三角形的判定与性质；平行线的判定菁优网版权所有 专 题： 证明题；开放型 分 析： （1）观察题中给定条件，由可推出ADBC，只要在AB上 取点M，使AD=AM，即可证AEMAED，BEMBCE， 并能得到D+C=AME+BME=180，从而得到ADBC （2）由不能推得ADBC，证明即可 解 答： 解：（1）ADBC； 证明：在AB上取点M，使AM=AD，连接EM， AE平分BAD， DAE=MAE， 又AD=AM，AE=AE AEMAED（SAS）， D=AME， AB=AD+BC，AD=AM， BC=BM 同理有BEMBCE（SAS）， C=BME， D+C=AME+BME=180， ADBC； （2）ADBC为假命题反例： 过E作ABEM，显然有，AE平分DAM，BE平分ABC， ED=EC，但AD不平行于BC 点 评： 本题主要考查全等三角形的判定及平行线的性质，解题的关键在 于作出正确的辅助线 24（6分）某天，夏雪同学就“你身上携带多少零用钱”进行一次调 查，她将全班40位同学的零用钱记录如下：（单位：元） 2，5，0，5，2，5，6，5，0，5，5，5，2，5，8，0，5，5，2，5， 5，8，6，5，2，5，5，2，5，6，5，5，0，6，5，6，5，2，5，0 根据这些数据回答下列问题： （1）请你写出同学的零用钱（0元，2元，5元，6元，8元）出现的频 数； （2）求出同学的零用钱的平均数、中位数和众数； （3）假如老师随机问一位同学身上有多少零用钱，老师最有可能得到 的回答是多少元？ 考 点： 算术平均数；频数与频率；中位数；众数菁优网版权所有 专 题： 应用题 分 析： （1）根据频数的概念，即该范围内符合条件的数据的数目，查找 其个数即可；（2）根据平均数、中位数和众数的计算方法，进行 计算可得答案；（3）因为“5元”的频数最大，即其频率最大，故最 有可能得到的回答是5元 解 答： 解：（1）0元的频数是5，2元的频数是7，5元的频数是21，6元的 频数是5，8元的频数是2； （2）平均数是 （27+521+65+82）=4.125， 将数据从小到大排列，找第20、21人的数值，均为5，故中位数是 5；5的数目最多，故众数是5； （3）因为“5元”的频数最大，即其频率最大；故老师最有可能得到 的回答是5元 点 评： 本题考查了频率、频数、中位数、众数、平均数的定义各小组 频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1频率、频数的关 系：频率= 25（8分）某校每学期都要对优秀的学生进行表扬，而每班采取民主 投票的方式进行选举，然后把名单报到学校若每个班级平均分到3位 三好生、4位模范生、5位成绩提高奖的名额，且各项均不能兼得、现在 学校有30个班级，平均每班50人 （1）作为一名学生，你恰好能得到荣誉的机会有多大？ （2）作为一名学生，你恰好能当选三好生、模范生的机会有多大？ （3）在全校学生数、班级人数、三好生数、模范生数、成绩提高奖人 数中，哪些是解决上面两个问题所需要的？ （4）你可以用哪些方法来模拟实验？ 考模拟实验菁优网版权所有 点： 专 题： 方案型；开放型 分 析： （1）全班共有50名学生，共有12名学生获奖，让获奖总人数除以 学生总数即为能获得荣誉的机会； （2）全班共有50名学生，共有7名学生当选三好生、模范生，让 当选三好生、模范生的总人数除以学生总数即为能当选三好生、 模范生的机会； （3）利用（1）（2）的计算过程可得后四项为必须数据； （4）可以利用50个不同颜色的球来模拟实验 解 答： 解：（1）全班共有50名学生，共有12名学生获奖，所以恰好能得 到荣誉的机会为 = ； （2）恰好能当选三好生的机会为 ，能当选模范生的机会为 = ； （3）班级人数、三好生数、模范生数、成绩提高奖人数； （4）用50个小球，其中3个红球、4个白球、5个黑球，其余均为 黄球，把它们装进不透明的口袋中搅均，闭着眼从中摸出一个 球，则摸到非黄球的机会就是得到荣誉的机会，摸到红球或白球 的机会就是当选为三好生和模范生的机会 点 评： 概率等于所求情况数与总情况数之比；注意理解可以用一个班的 获奖情况来估计整个学校的学生获奖情况；模拟实验需在等可能 的情况下进行模拟，一般采用摸球法 26（8分）某市的一家报刊摊点从报社买进一种晚报，其价格为每份 0.30元，卖出的价格为0.50元，卖不掉的报纸可以退还给报社，不过每 份退还的钱数与退还的报纸的数量关系如下： 退还的数量51015202530或30以上 价格（元/份） 0.250.200.150.100.050.02 现经市场调查发现，在一个月中（按30天记数）有20天可卖出150份/ 天，有10天只能卖出100份/天，而报社规定每天批发给摊点的报纸的数 量必须相同 （1）通过在坐标系中（以退还的钱数为纵坐标，退还的报纸数量为横 坐标）描出点，分析出退还的钱数y（元）与退还的报纸数量k（份）之 间的函数关系式 （2）若该家报刊摊点每天从报社买进的报纸数x份（满足 100x150），则当买进多少报纸时，毛利润最大？最多可赚多少钱？ 考 点： 一次函数的应用菁优网版权所有 分 析： （1）根据题意，利用待定系数法即可求得退还的钱数y（元）与 退还的报纸数量k（份）之间的函数关系式； （2）分别，当100x130时，当130x150时去分析，分别求得 各段的最大值，继而求得该家报刊摊点每天从报社买进多少份报 纸才能使每月所获毛利润最大与最多可赚的钱数 解 答： 解：（1）y= ； 当x=5时，y= 25+0.35=1.25， 当k=10时，y= 100+0.310=2， 当k=20时，y= 400+200.3=2， 分析出退还的钱数y（元）与退还的报纸数量k（份）之间的函 数关系式为：y= ； （2）当100x130时， w=200.5x+100.5100+100.01（x100）2+0.3（x100） 0.3x30 =0.1x2+24x800 =0.1（x120）2+640， 当x=120时，wmax=640， 当130x150时， w=200.5x+100.5100+100.02（x100）0.3x30 =1.2x+480， 当x=150时，wmax=660， 综上所述当x=150时，wmax=660 点 评： 利用一次函数求解实际问题，把复杂的实际问题转化成数学问 题，学会运用待定系数法求解析式，会运用一次函数的最大最小 值来解决实际问题 27（8分）在一块长16m、宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要 求花园所占面积为荒地面积的一半，下面分别是小明和小颖的设计方 案 小明说：我的设计方案如图1，其中花园四周小路的宽度相等通过解 方程，我得到小路的宽为2m或12m 小颖说：我的设计方案如图2，其中花园中每个角上的扇形相同 （1）你认为小明的结果对吗？请说明理由 （2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0.1m） （3）你还有其他的设计方案吗？请在下边的矩形中画出你的设计草 图，并加以说明 考 点： 一元二次方程的应用菁优网版权所有 专 题： 压轴题；方案型；开放型 分 析： （1）按小明的思路，利用矩形的面积公式列方程，解答验证； （2）花园中每个角上的扇形相同，和在一起正好是一个圆，根据 圆的面积公式列方程，进行解答，从而求出半径； （3）答案不唯一，发挥想象，符合要求即可 解 答： 解：（1）设小路的宽为xm，则（162x）（122x）= 1612，解得x=2，或x=12（舍去） x=2，故小明的结果不对 （2）四个角上的四个扇形可合并成一个圆，设这个圆的半径为 xm，故有x2= 1612，解得x5.5m （3）依此连接各边的中点得如图的设计方案 点 评： 此题利用了矩形和圆的面积公式解决问题，（3）是一道开放性很 强的题目，能够激发学生的学习兴趣，同时培养了他们的创新思 维能力 28（8分）在ABC中，C=90，AC=6，BC=8，M是BC的中点，P 为线段AB上的一个动点（可以与A、B重合），并作MPD=90，PD交 BC（CB延长线或BC的延长线）于点D （1）记BP的长为x，BMP的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写 出自变量x的取值范围； （2）是否存在这样的点P，使得MPD与ABC相似？若存在，请求 出x的值；若不存在，请说明理由 考 点： 相似三角形的判定与性质；待定系数法求一次函数解析式菁优网版权所有 专 题： 代数几何综合题；存在型；数形结合；分类讨论 分 析： （1）BMP中，BM的长易求得，关键是求BM边上的高；过P作 PHBC于H，易证得BPHBAC，通过相似三角形得出的成 比例线段可求出PH的长，进而可求出y、x的函数关系式； （2）所求的两个三角形中，已知MPD=ACB=90，若使两三 角形相似要分两种情况进行讨论； 一、D在BC上， PMB=B，此时PM=BM，MH=BH=2，可根据相似三角形得 出的成比例线段求出x的值；PMB=A，此时 BPMBCA，同可求得x的值； 二、D在BC延长线上时； 由于PMDB，因此只有一种情况：PMD=BAC；当P、A 重合时，易证得MAC=PDM，由于tanMAC= tanB，所有MACB，即当D在BC延长线上时，PDM 总小于B，所有PDM和ABC不会相似； 综合两种情况，可得出符合条件的x的值 解 答： 解：（1）过P作PHBC于H，则PHAC； RtABC中，AC=6，BC=8；则AB=10 P为AB上动点可与A、B重合（与A重合BP为0，与B重合BP为 10） 但是x不能等于5 当x=5时，P为AB中点，PMAC，得到PDBC，PD与BC无交 点，与题目已知矛盾，所以x的取值范围是，0x10 且x5， 易知BPHBAC，得： ，PH= = x； y= 4 x= x（0x10 且x5）； （2）当D在BC上时， PMB=B时，BP