高三数学一轮复习 8.2直线的交点坐标与距离公式课件 .ppt

第二节 直线的交点坐标与距离公式,【知识梳理】 1.两条直线的交点,唯一解,无解,有无数组解,2.三种距离,【考点自测】 1.(思考)给出下列命题: 若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交; 点P(x0,y0)到直线y=kx+b的距离为 直线外一点与直线上一点的距离的最小值就是点到直线的距离;,两平行线间的距离是一条直线上任一点到另一条直线的距离,也可以看做是两条直线上各取一点的最短距离. 其中正确的是( ) A. B. C. D.,【解析】选C.错误,当方程组有唯一解时两条直线相交,若方程组有无穷多个解,则两条直线重合. 错误,应用点到直线的距离公式时必须将直线方程化为一般式,即本问题的距离为 正确,因为最小值就是由该点向直线所作的垂线段的长,即点到直线的距离. 正确.两平行线间的距离是夹在两平行线间的公垂线段的长,即两条直线上各取一点的最短距离.,2.点(1,1)到直线x+2y=5的距离为( ) 【解析】选D.因为直线x+2y=5可化为x+2y-5=0, 所以点(1,1)到直线x+2y=5的距离为,3.已知直线l1:3x-4y+4=0与l2:6x-8y-12=0,则直线l1与l2之间的 距离是( ) 【解析】选B.因为直线l1的方程可化为:6x-8y+8=0,且l2的方程 为:6x-8y-12=0,所以两直线的距离为:,4.(2014宁波模拟)直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( ) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0,【解析】选D.方法一:设所求直线上任一点为(x,y),则它关于x=1的对称点(2-x,y)在直线x-2y+1=0上,所以2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0. 方法二:根据直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线斜率是互为相反数得答案A或D,再根据两直线交点在直线x=1上知选D.,5.直线l1过点(-2,0)且倾斜角为30,直线l2过点(2,0)且与直 线l1垂直,则直线l1与直线l2的交点坐标为 . 【解析】直线l1方程为: 直线l2方程为: l1,l2方程联立可得: 答案:,6.已知直线l1与l2:x-2y-2=0平行,且l1与l2的距离是 则直线 l1的方程为 . 【解析】因为直线l1与l2:x-2y-2=0平行,所以可设l1的方程 为:x-2y+c=0(c-2),又因为两直线的距离为 所以 解得 所以直线l1的方程为 答案:,考点1 直线的交点 【典例1】(1)(2014滨州模拟)当 时,直线l1:kx-y= k-1与直线l2:ky-x=2k的交点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,(2)求经过直线l1:3x+4y-5=0与直线l2:2x-3y+8=0的交点M,且满足下列条件的直线方程l. 与直线l3:-2x+y+5=0平行; 与直线l4:4x+3y-6=0垂直.,【解题视点】(1)可由两直线方程,求出交点坐标,再判断横、纵坐标的符号即可. (2)可依据条件求出直线的交点,再利用垂直关系或平行关系,求出直线的斜率,进而求出直线的方程;也可以利用过两直线交点的直线系设出直线方程,再利用垂直关系或平行关系求出参数值,即得直线方程.,【规范解答】(1)选B.解方程组 得两直线的交点坐 标为 因为 所以 故交点在第二象限. (2)方法一:由 解得 所以交点M(-1,2). 因为所求直线与-2x+y+5=0平行,所以可得所求直线斜率为 k=2,所以y-2=2(x+1),即所求的直线方程l为2x-y+4=0.,因为所求直线与4x+3y-6=0垂直,所以可得所求直线斜率为 所以 即所求直线方程l为3x-4y+11=0. 方法二:由于l过l1,l2的交点,故l是直线系3x+4y-5+(2x-3y+8) =0中的一条,将其整理,得(3+2)x+(4-3)y+(-5+8)=0.,由条件知所求直线斜率为2,即 解得 代入直线系方程即得l的方程为2x-y+4=0. 由条件知所求直线斜率为 即 解得=24. 代入直线系方程得3x-4y+11=0.,【规律方法】 1.两直线交点的求法 求两直线的交点坐标,就是解由两直线方程组成的方程组,以方程组的解为坐标的点即为交点. 2.常见的四大直线系方程 (1)过定点P(x0,y0)的直线系A(x-x0)+B(y-y0)=0(A2+B20),还可以表示为y-y0=k(x-x0)(斜率不存在时可视为x=x0).,(2)与直线Ax+By+C=0平行的直线系方程是Ax+By+m=0(mR且mC). (3)与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程是Bx-Ay+m=0(mR). (4)过直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+(A2x+B2y+C2)=0(R),但不包括l2. 提醒:利用平行直线系或垂直直线系求直线方程时,一定要注意系数及符号的变化规律.,【变式训练】 1.(2014绍兴模拟)设点A(1,-1),B(0,1),若直线ax+by=1与线段AB(包括端点)有公共点,则a2+b2的最小值为( ),【解析】选C.因为直线ax+by=1与线段AB(包括端点)有公共点,则A,B两点在直线ax+by=1的异侧或至少有一点在直线ax+by=1上,所以(a-b-1)(b-1)0. 画出可行域,如图: 因此a2+b2的最小值应为原点到 直线a-b-1=0的距离的平方,即,2.(2013莱芜模拟)已知线段PQ两端点的坐标分别为(-1,1), (2,2),若直线l:x+my+m=0与线段PQ有交点,求m的取值范围. 【解析】方法一:直线x+my+m=0恒过点A(0,-1), 则 或 所以 且m0. 又m=0时,直线x+my+m=0与线段PQ有交点, 所以所求m的取值范围是,方法二:过P,Q两点的直线方程为 即 代入x+my+m=0, 整理得 由已知 解得 即m的取值范围是,【加固训练】 设直线l1:y=k1x+1,l2:y=k2x-1,其中实数k1,k2满足k1k2+2=0. (1)证明l1与l2相交. (2)证明l1与l2的交点在椭圆2x2+y2=1上. 【证明】(1)假设l1与l2不相交,则l1与l2平行,有k1=k2,代入k1k2+2=0,得k12+2=0. 此与k1为实数的事实相矛盾.从而k1k2,即l1与l2相交.,(2)方法一:由方程组 得 得交点P的坐标(x,y)为 而 = 此即表明交点在椭圆2x2+y2=1上.,方法二:交点P的坐标(x,y)满足 显然x0,从而 代入k1k2+2=0, 得 整理得:2x2+y2=1, 所以交点P在椭圆2x2+y2=1上.,考点2 对称问题 【典例2】(1)平面直角坐标系中直线y=2x+1关于点(1,1)对称的直线方程是( ) A.y=2x-1 B.y=-2x+1 C.y=-2x+3 D.y=2x-3,(2)(2013湖南高考)在等腰直角三角形 ABC中,AB=AC=4,点P是边AB上异于A,B的 一点,光线从点P出发,经BC,CA反射后又 回到原点P(如图).若光线QR经过ABC的 重心,则AP等于( ) A.2 B.1 C. D.,【解题视点】(1)可在直线y=2x+1上任取两点,求出这两点关于点(1,1)的对称点坐标,最后求出直线方程. (2)先建立直角坐标系,求直线BC的方程,然后求出点P关于直线BC,AC的对称点,由题意知这两点所在直线必过三角形的重心,然后用三点共线完成解答.,【规范解答】(1)选D.在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1), B(1,3),则点A关于点(1,1)对称的点M(2,1),B关于点(1,1)对称 的点N(1,-1).由两点式求出对称直线MN的方程 即y=2x-3,故选D.,(2)选D.由题意,以A为原点,AB为x轴,AC 为y轴建立平面直角坐标系,设AP=m,则 P(m,0),A(0,0),B(4,0),C(0,4),直线BC 的方程为x+y=4,则点P关于直线BC的对称 点P1的坐标为(4,4-m),点P关于直线AC的 对称点P2的坐标为(-m,0),而三角形ABC的重心为 根据 光学性质知点P1,P2,G三点共线,则 故 解之得 故,【互动探究】在题(1)中“关于点(1,1)对称”改为“关于直线 x-y=0对称”,则结果如何? 【解析】在直线y=2x+1上任取两个点A(0,1),B(1,3),则点A关 于直线x-y=0的对称点M(1,0),B关于直线x-y=0的对称点N(3,1). 由两点式求出对称直线MN的方程 即x-2y-1=0.,【规律方法】 1.中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称:若点M(x1,y1)及N(x,y)关于P(a,b)对称,则 由中点坐标公式得 进而求解.,(2)直线关于点的对称,主要求解方法是: 在已知直线上取两点,利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标,再由两点式求出直线方程; 求出一个对称点,再利用两对称直线平行,由点斜式得到所求直线方程.,2.轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称:若两点P1(x1,y1)与P2(x2,y2)关于直线 l:Ax+By+C=0对称,由方程组 可得到点P1关于l对称的点P2的坐标(x2,y2)(其中B0,x1x2). (2)直线关于直线的对称:一般转化为点关于直线的对称来解决, 有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称 轴平行.,常见的点关于特殊直线的对称点 (1)点P(a,b)关于x轴的对称点P(a,-b). (2)点P(a,b)关于y轴的对称点P(-a,b). (3)点P(a,b)关于y=x的对称点P(b,a). (4)点P(a,b)关于y=-x的对称点P(-b,-a). (5)点P(a,b)关于x=m(m0)的对称点P(2m-a,b). (6)点P(a,b)关于y=n(n0)的对称点P(a,2n-b).,【变式训练】 (1)(2014嘉兴模拟)若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点( ) A.(0,4) B.(0,2) C.(-2,4) D.(4,-2),【解析】选B.由于直线l1:y=k(x-4)恒过定点(4,0),其关于点(2,1)对称的点为(0,2),又由于直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称, 所以直线l2恒过定点(0,2),故应选B.,(2)(2014石家庄模拟)若直线y=ax+8与y=- x+b的图象关于 直线y=x对称,则a+b= . 【解析】直线y=ax+8关于y=x对称的直线方程为x=ay+8,所以 x=ay+8与y=- x+b为同一直线,故得 所以a+b=2. 答案:2,【加固训练】 (1)已知直线l:x-y-1=0,l1:2x-y-2=0.若直线l2与l1关于l对称,则l2的方程是( ) A.x-2y+1=0 B.x-2y-1=0 C.x+y-1=0 D.x+2y-1=0,【解析】选B.l1与l2关于l对称,则l1上任一点关于l的对称点 都在l2上,故l与l1的交点(1,0)在l2上,又易知(0,-2)为l1上一 点,设其关于l的对称点为(x,y), 则 得 即(1,0),(-1,-1)为l2上两点,可得l2方程为 x-2y-1=0.,(2)直线x-2y+1=0关于x=3对称的直线方程为 . 【解析】设M(x,y)为所求直线上的任意一点,则其关于x=3对称的点为(6-x,y),从而有6-x-2y+1=0,即x+2y-7=0,所以直线x-2y+1=0关于x=3对称的直线方程为x+2y-7=0. 答案:x+2y-7=0,考点3 三种距离公式的应用 【考情】两点间的距离、点到直线的距离、两平行线间的距离在高考中常有所体现,一般是以选择题、填空题的形式出现,考查两点间的距离公式、点到直线的距离公式、两平行线间的距离公式以及转化与化归思想等.,高频考点 通 关,【典例3】(1)(2014杭州模拟)已知点A(-1,0),B(cos, sin),且|AB|= 则直线AB的方程为( ),(2)(2014安康模拟)点P到点A(1,0)和直线x=-1的距离相等, 且P到直线y=x的距离等于 这样的点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【解题视点】(1)由|AB|可求出点B的坐标,进而得出直线方程. (2)可设P点坐标,利用待定系数法求解.,【规范解答】(1)选B.因为A(-1,0),B(cos,sin),且|AB|= 所以 所以, 所以 即直线AB的方程 为 所以AB的方程为,(2)选C.设P(x,y),依题意得: 化简得: 即 或 解得有两组解,有一组解,所以点P共有3个.,【通关锦囊】,【关注题型】,【通关题组】 1.(2014宁波模拟)已知A(1,3),B(5,-2),在x轴上有一点P,若|AP|-|BP|最大,则P点坐标为( ) A.(3.4,0) B.(13,0) C.(5,0) D.(-13,0),【解析】选B.作出A点关于x轴的对称点A(1,-3), 则AB所在直线方程为x-4y-13=0. 令y=0得x=13, 所以点P的坐标为(13,0).,2.(2013江苏高考)在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a), P是函数 图象上一动点,若点P,A之间的最短距离为 则满足条件的实数a的所有值为 .,【解析】设 由两点间的距离公式得 令 得 若a2,则当t=a时, 解得 或 (舍去); 若a2,则当t=2时,|PA|min2=(2-a)2+a2-2=2a2-4a+2=8, 解得a=-1或a=3(舍去). 答案:-1,【加固训练】 1.(2013金华模拟)已知两点A(3,2)和B(-1,4)到直线mx+y+3 =0的距离相等,则m的值为( ) A. 0或 B. 或-6 C. 或 D. 0或 【解析】选B.依题意得 所以|3m+5|=|m-7|. 所以3m+5=m-7或3m+5=7-m. 所以m=-6或m= 故应选B.,2.(2014德州模拟)过点A(1,2)且与原点距离最大的直线方程为( ) A.x+2y-5=0 B.2x+y-4=0 C.x+3y-7=0 D.3x+y-5=0 【解析】选A.所求直线与OA垂直,因为kOA=2, 所以所求直线方程为y-2=- (x-1), 即x+2y-5=0.,【巧思妙解9】巧用直线系求直线方程 【典例】(2014福州模拟)经过直线l1:3x+2y-1=0和l2:5x+2y +1=0的交点,且垂直于直线l3:3x-5y+6=0的直线l的方程为 .,【解析】常规解法: 先解方程组 得l1,l2的交