高考数学易错点梳理80条.pdf

高考数学高考数学易错点梳理易错点梳理 80 条条 1 一、一、集合与简易逻辑集合与简易逻辑 易错点易错点 1 1 对集合表示方法理解存在偏差对集合表示方法理解存在偏差 【问题】1: 已知 |0,1Ax xBy y，求AB。 错解：AB 剖析：概念模糊，未能真正理解集合的本质。 正确结果：ABB 【问题】2: 已知 22 |2,( , )|4Ay yxBx yxy，求AB。 错解： (0,2),( 2,0)AB 正确答案：AB 剖析：审题不慎，忽视代表元素，误认为A为点集。 反思：对集合表示法部分学生只从形式上“掌握” ，对其本质的理解存在误区，常见 的错误是不理解集合的表示法，忽视集合的代表元素。 易错点易错点 2 2 在解含参数集合问题时忽视空集在解含参数集合问题时忽视空集 【问题】: 已知 2 |2, | 21AxaxaBxx ，且BA，求a 的取值范围。 错解：-1，0） 剖析：忽视A的情况。 正确答案：-1，2 反思：由于空集是一个特殊的集合，它是任何集合的子集，因此对于集合BA就有 可能忽视了A，导致解题结果错误。尤其是在解含参数的集合问题时，更应注意 到当参数在某个范围内取值时，所给的集合可能是空集的情况。考生由于思维定式 的原因，往往会在解题中遗忘了这个集合，导致答案错误或答案不全面。 易错点易错点 3 3 在解含参数问题时忽视元素的互异性在解含参数问题时忽视元素的互异性 2 【问题】: 已知 12a, 2 (1)a, 2 33aa ，求实数a的值。 错解：2, 1,0a 剖析：忽视元素的互异性，其实当2a 时， 2 (1)a= 2 33aa=1；当1a 时， 2a= 2 33aa=1；均不符合题意。 正确答案：0a 反思：集合中的元素具有确定性、互异性、无序性，集合元素的三性中的互异性对 解题的影响最大，特别是含参数的集合，实际上就隐含着对字母参数的一些要求。 解题时可先求出字母参数的值，再代入验证。 易错点易错点 4 4 命题的否定与否命题关系命题的否定与否命题关系不明不明 【问题】: 写出“若aMaP或，则aMP”的否命题。 错解一：否命题为“若aMaP或，则aMP” 剖析：概念模糊，弄错两类命题的关系。 错解二：否命题为“若aMaP或，则aMP” 剖析：知识不完整，aMaP或的否定形式应为aMaP且。 正确答案：若aMaP且，则aMP 反思：命题的否定是命题的非命题，也就是“保持原命题的条件不变，否定原命题 的结论作为结论”所得的命题，但否命题是“否定原命题的条件作为条件，否定原 命题的结论作为结论”所得的命题。对此。考生可能会犯两类错误概念不清，不 会对原命题的条件和结论作出否定；审题不够细心。 易错点易错点 5 5 充分必要条件颠倒出错充分必要条件颠倒出错 【问题】:已知, a b是实数，则“0a 且0b ”是“0ab且0ab ”的 A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必 要条件 错解：选 B 3 剖析：识记不好，不能真正理解充要条件概念，未能掌握判断充要条件的方法。 正确答案：C 反思：对于两个条件,A B，如果AB，则A是B的充分条件，B是A的必要条件，如 果AB，则A是B的充要条件。判断充要条件常用的方法有定义法；集合法； 等价法。解题时最容易出错的就是颠倒了充分性与必要性，所以在解决这类问题 时，一定要分清条件和结论，根据充要条件的定义，选择恰当的方法作出准确的判 断，不充分不必要常借助反例说明。 易错点易错点 6 6 对逻辑联结词及其真值表理解不准对逻辑联结词及其真值表理解不准 【问题】: 命题 p：若a、bR，则1ab是1ab的充分而不必要条件；命题 q： 函数 y=2|1|x的定义域是（，13，+)，则 A“pq或”为假 B“pq且”为真 C pq真 假 D pq假 真 错解一：选A或B 剖析：对真值表记忆不准，本题中pq假 真，因此“pq或”为真，而“pq且”为假。 错法二：选C 剖析：基础不牢，在判断命题, p q真假时出错。 正确答案：D 反思：含逻辑联结词“或” 、 “且” 、 “非”的命题称为复合命题。在判断复合命题真 假时，常常因为对概念理解不准确或真值表记不清而出现错误。为此准确理解概念、 巧记真值表是解题的关键。这里介绍一种快速记忆真值表的方法： “pq或”有真则真； “有真则真； “pq且”有假则假； “有假则假； “p非”真假相反。真假相反。 易错点易错点 7 7 否定全称、特称命题出错否定全称、特称命题出错 【问题】写出下列命题的否定： 4 p：对任意的正整数 x, 2 xx ； q：存在一个三角形，它的内角和大于 0 180； r:三角形只有一个外接圆。 错解：p：对任意的正整数 x, 2 xx； q：所有的三角形的内角和小于 0 180； :r存在一个三角形有且只有一个外接圆。 剖析：知识欠缺，基础不牢导致出错。 正确答案：p：存在正整数 x, 使 2 xx； q：所有的三角形的内角和都不大于 0 180； :r存在一个三角形至少有两个外接圆。 反思：全称命题:, ( )pxM p x ，它的否定:,( )pxMp x ，特称命题:, ( )pxM p x ， 它的否定:,( )pxMp x 。一般来说，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定 是全称命题。切记对全称、特称命题的否定，不仅要否定结论( )p x，而且还要对量词 “和”进行否定。另外，对一些省略了量词的简化形式，应先将命题写成完整形 式，再依据法则来写出其否定形式。 二、函数与导数二、函数与导数 易错点易错点 8 8 求函数定义域时条件考虑不充分求函数定义域时条件考虑不充分 【问题】: 求函数y= 2 23 1 xx + 0 (1)x的定义域。 错解：-3，1 剖析：基础不牢，忽视分母不为零；误以为 0 (1)x=1 对任意实数成立。 正确答案：3, 11,1 5 反思：函数定义域是使函数有意义的自变量的取值范围，因此求定义域时就要根据 函数解析式把各种情况下的自变量的限制条件找出来，列成不等式组，不等式组的 解集就是该函数定义域。在求函数的定义域时应注意以下几点分式的分母不为零； 偶次根式被开方式非负；对数的真数大于零；零的零次幂没有意义；函数 的定义域是非空的数集。 易错点易错点 9 9 求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域”求复合函数定义域时忽视“内层函数的值域是外层函数的定义域” 【问题】已知函数 ,9 , 1, 2log3xxxf求函数 2 2 xfxfy的值域。 错解：设 3 logtx，1,9 ,0,2xt ， 2 66ytt，0,2t，6,22函数的值域是。 剖析：知识欠缺，求函数 2 2 xfxfy定义域时，应考虑 2 19 19 x x . 正确答案：6,13函数的值域是 反思：在复合函数中，外层函数的定义域是内层函数的值域，求复合函数定义域类 型为： 若已知( )f x的定义域为, a b ,其复合函数 ( )f g x的定义域可由不等式( )ag xb解 出即可；若已知 ( )f g x的定义域为, a b ,求( )g x的定义域，相当于 xa,b时， 求( )g x的值域（即( )f x 的定义域） 。 易错点易错点 10 10 判断函数奇偶性时忽视定义域判断函数奇偶性时忽视定义域 【问题】1: 判断函数 2 (1)(1) (1) xx y x x 的奇偶性。 错解：原函数即 2 1x y x ，为奇函数 剖析：只关注解析式化简，忽略定义域。 正确答案：非奇非偶函数。 【问题】2: 判断函数 22 ( )11f xxx 的奇偶性。 错解：()( )fxf x，为偶函数 6 剖析：不求函数定义域只看表面解析式，只能得到偶函数这一结论，导致错误。 正确答案：既奇且偶函数。 反思：函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称。如果不具备这个条件， 一定是非奇非偶函数。在定义域关于原点对称的前提下，如果对定义域内任意 x 都 有()( )fxf x， 则( )f x为奇函数； 如果对定义域内任意 x 都有()( )fxf x， 则( )f x为 偶函数，如果对定义域内存在 0 x使 00 ()()fxf x ，则( )f x不是奇函数；如果对定义域 内存在 0 x使 00 ()()fxf x，则( )f x不是偶函数。 易错点易错点 11 11 求复合函数单调区间时忽视定义域求复合函数单调区间时忽视定义域 【问题】: 求函数 2 0.5 log(43)yxx的增区间。 错解一：外层函数为减函数，内层函数 2 43uxx减区间为 3 ,) 2 ，原函数增区 间为 3 ,) 2 。 剖析：基础不牢，忽视定义域问题 错解二： 2 430 xx，函数定义域为1,4，又内层函数 2 43uxx在 3 ( 1, 2 为增 函数，在 3 ,) 2 为减函数，原函数增区间为 3 ( 1, 2 。 剖析：识记不好，对复合函数单调性法则不熟练。 正确答案： 3 ,4) 2 反思：求复合函数单调区间一般步骤是求函数的定义域；作出内层函数的图象； 用“同增异减”法则写单调区间。解此类题通常会出现以下两类错误：一是忽视 定义域；二是 “同增异减”法则不会或法则用错。 易错点易错点 12 12 解“二次型函数”问题时忽视解“二次型函数”问题时忽视对二次项系数的讨论对二次项系数的讨论 【问题】: 函数 2 ( )(1)2(1)1f xmxmx的图象与x轴只有一个交点，求实数 m 的取 值范围。 7 错解：由0 解得03mm或 剖析：知识残缺，分类讨论意识没有，未考虑10m 的情况。 正确答案：3,0,1 反思：在二次型函数 2 yaxbxc中，当0a 时为二次函数，其图象为抛物线；当 0,0ab时为一次函数，其图象为直线。在处理此类问题时，应密切注意 2 x项的系 数是否为 0，若不能确定，应分类讨论，另外有关三个“二次”之间的关系的结论也 是我们应关注的对象。例如： 2 0axbxc解集为R0,0a 或a=b=0,c0 2 0axbxc解集为0,0a 或a=b=0,c0 易错点易错点 13 13 用函数图象解题时作图不准用函数图象解题时作图不准 【问题】: 求函数 2 ( )f xx的图象与直线( )2xf x 的交点个数。 错解：两个 剖析：忽视指数函数与幂函数增减速度快慢对作图的影响。 正确答案：三个 反思： “数形结合”是重要思想方法之一，以其准确、快速、灵活及操作性强等诸多 优点颇受数学学习者的青睐。但我们在解题时应充分利用函数性质，画准图形，不 能主观臆造，导致图形“失真” ，从而得出错误的答案。 易错点易错点 14 14 忽视转化的等价性忽视转化的等价性 【问题】1: 已知方程 2 310mxx 有且只有一个根在区间（0，1）内，求实数 m 的 取值范围。 错解：方程 2 310mxx 有且只有一个根在区间（0，1）内，函数 2 31ymxx的 图象与x轴在（0，1）内有且只有一个交点，(0) (1)0ff，解得2m 8 剖析：知识残缺，在将方程转化为函数时，应考虑到(1)0f的情况。 正确答案：,2m 【问题】2:函数|1| |ln xey x 的图象大致是（ ） 剖析：在转化过程中，去绝对值时出错，从而得到错误的图象。 在图象变换过程中出错，搞错平移方向。 正确答案：D 反思：等价转化是数学的重要思想方法之一，处理得当会起到意想不到的效果，但 等价转化的前提是转化的等价性，反之会出现各种离奇的错误。 易错点易错点 15 15 分段函数问题分段函数问题 【问题】1:.已知 211 ( ) 1 x a xx f x ax 是R上的增函数，求a的取值范围。 错解：(1,2) 剖析：知识残缺，只考虑到各段函数在相应定义域内为增函数，忽视( )f x在分界点 附近函数值大小关系。 正确答案： 3 ,2) 2 【问题】2:设函数 2 ,0,0, ( )( 4)(0),( 2)2 2,0. xbxc xx f xfff x 若 ，求关于x的方程 xxf)(解的个数。 9 错解：两个 剖析：基础不实，分类讨论意识没有，未能将方程xxf)(分两种情况来解。 正确答案：三个 反思：与分段函数相关的问题有作图、求值、求值域、解方程、解不等式、研究单 调性及讨论奇偶性等等。在解决此类问题时，要注意分段函数是一个函数而不是几 个函数，如果自变量取值不能确定，要对自变量取值进行分类讨论，同时还要关注 分界点附近函数值变化情况。 易错点易错点 16 16 函数零点定理使用不当函数零点定理使用不当 【问题】若函数( )f x在区间-2,2上的图象是连续不断的曲线，且( )f x在（-2,2）内 有一个零点，则( 2)(2)ff的值 （ ） A、大于 0 B、小于 0 C、等于 0 D、不能确定 错解：由函数零点存在定理知( 2)(2)0ff，故选 B 剖析： 没有正确理解函数零点的含义及存在性， 若函数( )f x在 （-2,2） 内有一个零点， 且该零点为“变号零点” ，则( 2)(2)0ff，否则( 2)(2)0ff 正确答案：D 反思：函数零点定理是指如果函数( )f x在区间 , a b上的图象是一条连续不断的曲线， 并且有( ) ( )0f a f b ，那么函数( )f x在区间( , )a b内有零点。解决函数零点问题常用方法 有定理法、图象法和方程法。函数零点又分为“变号零点”和“不变号零点” ，函数 零点定理仅适用于“变号零点” ，对“不变号零点”无能为力。 易错点易错点 17 17 混淆两类切线的概念混淆两类切线的概念 【问题】: 若直线 y = kx 与曲线 32 32yxxx相切试求 k 的值。 （提示 y=kx 即过原点的切线） 10 错解： 2 362yxx ，斜率2k ， 剖析：知识残缺，过某点的切线并非在某点处的切线。 正确答案： 1 2 4 kk 或 反思：曲线在点 P 处的切线”P 为切点且 P 在曲线上，而“过点 P 的切线”仅能说明 点 P 在曲线的切线上。 易错点易错点 18 18 误解“导数为误解“导数为 0 0”与“有极值”的逻辑关系”与“有极值”的逻辑关系 【问题】:函数 322 ( )f xxaxbxa在 x=1 处有极值 10，求, a b的值。 错解：由(1)10,(1)0f f 解得4,113,3abab 或 剖析：对“导数为 0”与“有极值”逻辑关系分辨不清，错把 0 ()f x为极值的必要条 件当作充要条件。 正确答案：a=4,b=-11 反思： 在使用导数求函数极值时， 很容易出现的错误是求出使导函数等于 0 的点， 而没有对这些点左右两侧导函数的符号进行判断，误以为使导函数等于 0 的点就是 函数的极值点。出现这种错误的原因就是对导数与极值关系不清。可导函数在一点 处的导函数值为 0 只是这个函数在此点取到极值的必要条件，充要条件是 00 ()0( )fxfxx 且在两侧异号。 。 易错点易错点 19 19 对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻对“导数值符号”与“函数单调性”关系理解不透彻 【问题】:若函数 3 ( )f xaxx在R上为减函数，求实数a的取值范围。 错解：由 2 ( )=310fxax 在R上恒成立， 0 120 a a ，解得0a 剖析：概念模糊，错把( )f x在某个区间上是单调增（减）函数的充分条件当成充要条 件。事实上0a 时满足题意。 正确答案：0a 11 反思：一个函数在某个区间上单调增（减）的充要条件是这个函数的导函数在此区 间上恒大（小）于等于 0，且导函数在此区间的任意子区间上都不恒为 0。切记导函 数在某区间上恒大（小）于 0 仅为该函数在此区间上单调增（减）的充分条件。 易错点易错点 20 20 对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚 【问题】: 已知函数f(x)的导函数f(x)的图象如图所示，则y = f(x)的图象最有 可能的是_. 错解：选, ,A B D 剖析：概念不清，凭空乱猜，正确解法是由于(0)(2)0ff，且两边值符号相反， 故 0 和 2 为极值点；又因为当02xx和时，(x)0 f ，当02x时，(x)0 f ，所以 函数(x)f在(,0)和(2,+ )上为增函数，在(0,2)上为减函数。 正确答案：C 反思：解答此类题的关键是抓住导函数的零点与原函数的极值点关系极值极值点点 的导数值为的导数值为 0 0；导函数值的符号与原函数单调性的关系原函数看增减，导函数原函数看增减，导函数 看正负看正负。 三、数列三、数列 易错点易错点 21 21 由由 n S求求 n a时忽略对“时忽略对“1n ”检验”检验 【问题】:已知数列 n a的前 n 项和 2 1 n Snn，求 n a。 12 错解：由 n1 = nn aSS 解得=22 n an 剖析：考虑不全面，错误原因是忽略了 n1 = nn aSS 成立的条件 n2，实际上当 n=1 时 就出现了 S0，而 S0是无意义的，所以使用 n1 = nn aSS 求 n a，只能表示第二项以后的各 项，而第一项能否用这个 n a表示，尚需检验。 正确答案： * 1(1) 22(2,) n n a nnnN 反 思 ： 在 数 列 问 题 中 ， 数 列 的 通 项 n a与 其 前 n 项 和 n S之 间 关 系 如 下 1 * 1 (1) (2,) n nn Sn a SSnnN ，在使用这个关系式时，要牢牢记住其分段的特点。当题中给 出数列 n a 的 n a与 n S关系时， 先令1n 求出首项 1 a， 然后令2n求出通项 1nnn aSS ， 最后代入验证。解答此类题常见错误为直接令2n求出通项 1nnn aSS ，也不对1n 进行检验。 易错点易错点 22 22 忽视两个“中项”的区别忽视两个“中项”的区别 【问题】: 2 bac是, ,a b c成等比数列的 （ ） A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分有不必要条 件 错解： C 剖析：思维不缜密，没有注意到当 2 bac 时， , ,a b c可能为 0。 正确答案：B 反思：若, ,a b c成等比数列，则b为a和c的等比中项。由定义可知只有同号的两数才 有等比中项， “ 2 bac”仅是“b为a和c的等比中项”的必要不充分条件，在解题 时务必要注意此点。 易错点易错点 23 23 等比数列求和时忽视对等比数列求和时忽视对q讨论讨论 13 【问题】:在等比数列 n a中， n S为其前 n 项和，且 33 3Sa，求它的公比 q。 错解： 3 1 33 (1) =3 1 aq Sa q ，解得 1 q=- 2 剖析：知识残缺，直接用等比数列的求和公式，没有对公比 q 是否等于 1 进行讨论， 导致失误。 正确答案： 1 q=-q=1 2 或 反思：与等差数列相比，等比数列有一些特殊性质，如等比数列的每一项包括公比 均不为 0，等比数列的其前 n 项和 n S为分段函数，其中当 q=1 时， 1n Sna。而这一点 正是我们解题中被忽略的。 易错点易错点 24 24 用错了等差、等比数列的相关公式与性质用错了等差、等比数列的相关公式与性质 【问题】:已知等差数列 n a的前 m 项和为 30，前 2m 项和为 100，求它的前 3m 项 和 3m S。 错解一：170 剖析：基础不实，记错性质，误以为 23 , mmm SSS成等差数列。 错解二：130 剖析：基础不实，误以为 23 , mmm SSS满足 32mmm SSS。 正确答案：210 反思：等差、等比数列各自有一些重要公式和性质（略） ，这些公式和性质是解题的 根本，用错了公式和性质，自然就失去了方向。解决这类问题的一个基本出发点就 是考虑问题要全面，把各种可能性都考虑进去，认为正确的命题给予证明，认为不 正确的命题举出反例予以说明。 易错点易错点 25 25 用错位相减法求和时项数处理不当用错位相减法求和时项数处理不当 【问题】:求和 21 1 35(21) n n Saana 。 14 剖析：考虑不全面，未对a进行讨论，丢掉1a 时的情形。 将两个和式错位相减后，成等比数列的项数弄错。 将两个和式错位相减后，丢掉最后一项。 正确答案： 2 1 2 (1) 12 (1)21 (1) 1(1)1 n n n na s aan aa aaa 反思：如果一个数列为一个等差数列和一个等比数列对应项积所得到的，那么该数 列可用错位相减法求和。基本方法是设这个和式为 Sn，在这个和式的两端同时乘以 等比数列的公比得到另一个和式，将这两个和式错位相减，得到一个新的和式，该 式分三部分原来数列的第一项；一个等比数列的前 n-1 项和；原来数列的第 n 项乘以公比的相反数。在用错位相减法求和时务必要处理好这三个部分，特别是等 比数列的项数，有时含原来数列的第一项共n项，有时只有1n项。另外，如果公比 为字母需分类讨论。 易错点易错点 26 26 数列中的最值错误数列中的最值错误 【问题】:在等差数列 n a中， 1 25a ， 916 SS，求此数列的前几项和最大。 剖析：解题不细心，在用等差数列前 n 和求解时，解得 n=12.5，误认为 n=12.5。 考虑不全面，在用等差数列性质求解得出 13 a=0 时，误认为只有 13 S最大。 正确答案： 1213 aa或 反思：数列的通项公式与前 n 项和公式都是关于正整数 n 的函数，要善于用函数的 观点认识和理解数列问题。但是考生很容易忽视 n 为正整数的特点，有时即使考虑 了 n 为正整数，但对于 n 为何值时，能够取到最值求解出错。在关于正整数 n 的二 次函数中其取最值的点要根据正整数距离二次函数的对称轴远近而定。 15 四、三角函数四、三角函数 易错点易错点 27 27 求解时忽略角的范围求解时忽略角的范围 【问题】1: 在ABC中，sin A= 5 3 ,cosB= 5 13 ，求cosA，sinB的值。 错解：cosA= 4 5 ，sinB=12 13 剖析：基础不实，忽视开方时符号的选取。 正确答案：cosA= 4 5 ，sinB=12 13 【问题】2: 在ABC中，AB、为锐角，且 510 sin,sin 510 AB，求AB的值。 错解： 先求出 sin(AB)= 2 2 ，0AB （ ， ）， 3 = 44 AB 或 剖析：知识残缺，由于AB、为锐角，所以0AB （ ， ）。又由于正弦函数在0（ ， ）上 不是单调函数，所以本题不宜求 sin(AB)，宜改求 cos(AB)或 tan(AB)。 正确答案：= 4 AB 【问题】1: 在ABC中，已知 a=2,b=3,B= 3 ,求角 A 错解：用正弦定理求得 2 sin 2 A， 3 = 44 A 或 剖析：基础不牢，忽视隐含条件ba出错。 正确答案：= 4 A 反思：三角函数中的平方关系是三角变换的核心，也是易错点之一。解题时，务必 重视“根据已知角的范围和三角函数的取值，精确确定未知角的范围，并进行定号” 。 易错点易错点 28 28 求关于求关于sin ,cosxx最值时忽视正、余弦函数值域最值时忽视正、余弦函数值域 【问题】:已知 1 sinsin 3 xy，求 2 sincosyx的最大值。 错解：令intsx，得 22 2 sincos( 11) 3 yxttt ，通过配方、作图解得 2 sincosyx的 16 最大值为 4 3 剖析：本题虽注意到insx的值域，但未考虑到insx与sin y相互制约，即由于-1siny 1， insx必须同时满足 1sin1 1 1sin1 3 x x 。 正确答案： 4 9 反思：求关于sin ,cosxx最值的常规方法是通过令intsx（或 cosx）将三角函数的最 值问题转化为关于t的二次函数问题求解。但由于正、余弦函数值域限制，t只能在 某一特定范围内取值，解题时务必要注意此点。 易错点易错点 29 29 三角函数单调性判断错误三角函数单调性判断错误 【问题】:已知函数 y=cos( 4 -2x)，求它的单调减区间。 错解： 2k 4 -2x2k 剖析：概念混淆，错因在于把复合函数的单调性与基本函数的单调性概念相混淆。 应化成 y=cos(2x- 4 )求解 正确答案： 5 (,)() 88 kkkZ 反思：对于函数)sin(xAy来说，当0时，由于内层函数ux是单调递增 的，所以函数)sin(xAy的单调性与函数xysin的单调性相同，故可完全按照函 数xysin的单调性来解决；但当0时，内层函数ux是单调递减的，所以函 数)sin(xAy的单调性与函数xysin的单调性正好相反，就不能按照函数xysin 的单调性来解决。一般来说，应根据诱导公式将x的系数化为正数加以解决，对于带 有绝对值的三角函数宜根据图象从直观上加以解决。 易错点易错点 30 30 图象变换的方向把握不准图象变换的方向把握不准 【问题】: 要得到函数sinyx的图象，只需将函数cosyx 的图象（ ） A 向右平移 个单位 B向右平移 个单位 C向左平移 个单位 D向左平移 个单 位 17 错解一：C 剖析：知识残缺，未将函数化成同名函数。 错解二：D 剖析：基础不牢，弄错了平移方向。 正确答案：A 反 思 ： 图 像 的 平 移 变 换 ， 伸 缩 变 换 因 先 后 顺 序 不 同 平 移 的 量 不 同 ， sinsin()(0)yxyxw平移的量为， sinsinsin()(0)yxywxywxw平移的量为 w 。 易错点易错点 31 31 由图象求函数解析式忽略细节由图象求函数解析式忽略细节 【问题】 ：如图，某地一天从 6 时到 14 时的温度变化曲线近似满足函数 sin()(0,0)yAxB A. (1)求这段时间的最大温差. (2)写出这段曲线的函数解析式。 剖析：解此类题前两步一般不会错。但在求时，多数学生由于点的位置取得不当， 致使求得的值不好取舍。 正确答案： （1）20 C （2） 3 10sin()20 84 yx 反思：由三角函数图象求)sin(xAy（0,0A）的解析式一般分三个步骤： 由函数的最大（小）值求振幅A；由函数的周期求；由曲线上的最高（最低） 点求初相的一般解，但有范围限制时一定要注意在指定的范围内求解。 18 五、平面向量五、平面向量 易错点易错点 32 32 概念模糊概念模糊 【问题】 ：下列五个命题： 向量 12 PP与OA共线，则 P1、P2、O、A 必在同一条直线上； 如果向量a与b平行，则a与b方向相同或相反； 四边形 P1P2OA 是平行四边形的充要条件是 12 PP=OA； 若 a=b，则 a、b的长度相等且方向相同或相反； 由于零向量方向不确定，故零向量与任何向量不平行。 其中正确的命题有_个。 错解：选错，向量 12 PP与OA共线，则直线 P1P2与直线 OA 可能平行；选错，若a为 零向量，则命题不正确；选错， 12 PP=OA则四点P1，P2，O，A 可能共线；选错， a=b，只能说明 a、b的长度相等但确定不了方向；选错；零向量与任何向 量平行。 正确答案：0 反思：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、单位向量、平行向量、共线向量、 相等向量、相反向量、向量的加法、减法、数乘、数量积、向量的模、夹角等等。 在复习时不仅要理解这些概念，而且还要掌握向量与实数、向量运算与实数运算异 同点。 易错点易错点 33 33 忽视平面向量基本定理的成立条件忽视平面向量基本定理的成立条件 【问题】 ：下列各组向量中，可以作为基底的是 a=（0，0） ，b=（1，-2）; a=（-1，2） ，b=（5，7）; 19 a=（3，5） ，b=（6，10）; a=（2，-3） ，b=（4，-6）; 错解：选或或 正确答案： 剖析：概念模糊，根据基底的定义，只有非零且不共线的向量才可以作为平面内的 基底。 反思：如果 a、b是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量c， 有且只有一对实数1，2，使c=1 a+2b。在平面向量知识体系中，基本定理是 基石，共线向量定理是重要工具。考生在学习这部分知识时，务必要注意这两个定 理的作用和成立条件。 易错点易错点 34 34 忽视“向量数量积运算”与“实数运算”区别忽视“向量数量积运算”与“实数运算”区别 【问题】 ：已知向量 2 ( ,)(2 , 3) 3 ax xbx与的夹角为钝角，求实数 x 的取值范围为 错解： 1 2 2 x 剖析：概念模糊，错误地认为,a b为钝角0a b 正确答案： 1 20 2 xx且 反思：,a b为钝角0a bab 且 与不共线 1212 1221 0 0 x xy y x yx y 六、不等式六、不等式 易错点易错点 35 不等式性质应用不当不等式性质应用不当 【问题】 ：已知0， 4 2 ，求函的取值范围。 错解： 0， 4 0a c b c；a b,c0a c b c。解分式不等式基本思想是通过去分母将分式不等式转化为整式不等式，但在去分 母之前必须对分母的符号进行判断，必要时要对分母进行讨论。 21 易错点易错点 38 38 解含参数解含参数不等式时分类讨不等式时分类讨论不当论不当 【问题】 ：解关于 x 的不等式212xa 错解一：原不等式等价于(2)212axa ，解得 31 2222 aa x 剖析：基础不实，直接利用绝对值不等式的解集公式，而忽视对 a-2 进行分类讨论。 错解二：当20a时，原不等式不成立。 当20a时，原不等式等价于(2)212axa ，解得 31 2222 aa x 剖析：技能不熟，没有对20a进行讨论。 正 确 答 案 ： 当20a时 ， 不 等 式 解 集 是； 当20a时 ， 不 等 式 解 集 是 31 22 aa xx 反思：含参数不等式的解法是不等式问题的难点。解此类不等式时一定要注意对字 母分类讨论，讨论时要做到不重不漏，分类解决后，要对各个部分的结论按照参数 由小到大进行整合。 易错点易错点 39 39 忽视均值不等式应用条件忽视均值不等式应用条件 【问题】1：若 x0，求函数 f(x) = 2 x x 的最值。 错解:当 x2时，f(x)取得最小值 22 剖析：基础不实，基本不等式ab2ab成立条件为0,0ab，本题中 x0 时，动直线: l AxByt在 y 轴上 的截距越大，目标函数zAxBy值越大，截距越小，目标函数值越小；反之，当 B0 时，动直线: l AxByt在 y 轴上截距越大，目标函数zAxBy值越小，截距越小， 目标函数值越大。 其中y的系数B的符号是解题的关键， 也是同学们经常忽略的地方。 七、立体几何七、立体几何 易错点易错点 42 42 不会将三视图还原为几何体不会将三视图还原为几何体 【问题】 ：若某空间几何体的三视图如图所示， 求该几何体的体积。 错解： 如图该几何体是底面为边长2正方形，高为 1 的棱柱，该几何体的体积为 2 ( 2)12V 剖析：识图能力欠缺，由三视图还原几何体时出错。 正确答案：V=1 反思：在由三视图还原空间几何体时，要根据三个视图综合考虑，根据三视图的规 则，可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线为实线。在还原几何体形状时， 一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑。 24 易错点易错点 43 43 对斜二测法规则掌握不牢对斜二测法规则掌握不牢 【问题】 ：已知ABC的平面直观图ABC 是边长为a的正三角形，求ABC的面积。 剖析：对用斜二测法画平面图形的直观图不熟悉；不会将直观图还原成实际图 形； 对一些等量关系不清楚。 正确答案： 2 6 2 a 反思：由斜二测法画直观图步骤如下：建立坐标系；“位置规则”与坐标 轴的平行的线段平行关系不变；“长度规则”图形中平行于 x 轴的线段，在 直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，长度减为原来的一半。对此考生常见 的错误有不会建新坐标系x o y ，不会用“倒过去”的方法还原几何体，“位 置规则”和“长度规则”不清楚。 易错点易错点 44 44 空间点、线、面位置关系不清空间点、线、面位置关系不清 【问题】 ：给定下列四个命题： 若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； 若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； 垂直于同一直线的两条直线相互平行；. 若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不 垂直. 其中为真命题的是 A和 B和 C和 D和 错解：A 剖析：空间想象能力欠缺，不会借助身边的几何体作出判断； 25 空间线面关系模糊，定理不熟悉或定理用错。 正确答案：D 反思：空间点、线、面位置关系的组合判断是考查学生对空间点、线、面位置关系 判断和性质掌握程度的重要题型。解决这类问题的基本思路有两条：一是逐个寻找 反例作出否定的判断，逐个进行逻辑证明作出肯定的判断；二是结合长方体模型或 实际空间位置（如教室、课桌、灯管）作出判断，但要注意定理应用准确，考虑问 题全面细致。 易错点易错点 45 45 平行关系定理使用不当平行关系定理使用不当 【问题】 ：正方体 ABCDA1B1C1D1中，M，N，Q 分别是棱 D1C1，A1D1，BC 的中点，P 在对 角线 BD1上，且 1 3 2 BDBP ，给出下列四个命题： （1）APCMN面/； （2）C1Q / 面 APC； （3）A，P，M 三点共线； （4）面 MNP / 面 APC.正确序号为（ ） A、 （1） （2） B、 （1） （4） C、 （2） （3） D、 （3） （4） 错解：A、B、D 剖析：空间线面关系模糊，定理不熟悉，未能推出 MN 在平面 APC 内而导致错误。 正确答案：C 反思：证明空间平行关系的基本思想是转化和化归，但要正确应用定理并注意定理 的应用条件。如在证明直线 a/平面时，不能忽略直线 a 在平面外。证明有关线 线，线面，面面平行时使用定理应注意找足条件，书写规范，推理严谨。 易错点易错点 46 46 垂直关系定理使用不当垂直关系定理使用不当 【问题】 ：已知三棱锥 PABC 中，PAABC，ABAC，PA=AC=AB， N 为 AB 上一点，AB= 4AN，M、S 分别为 PB、BC 的中点。 证明：CMSN； 26 求 SN 与平面 CMN 所成角的大小. 剖析：在利用线面垂直的判定定理证明两个平面互相垂直时， 只证明了该直线垂直于这个平面内的两条直线，没有说明这两 条直线是否相交，不符合定理的条件；在求线面角时，没有 说明找角的过程。 反思：证明空间垂直关系的基本思想是转化和化归。如在证明线线垂直时，可先把 其中一条直线视为某平面内的直线，然后再利用线面垂直的性质定理和判定定理证 明另一条直线垂直于这个平面，进而达到证明线线垂直的目的。 易错点易错点 47 47 利用空间向量求线面角几种常见错误利用空间向量求线面角几种常见错误 【问题】 ：如图，已知两个正方形 ABCD 和 DCEF 不在同一平面内，M，N 分别为 AB， DF 的中点 ,若平面 ABCD 平面 DCEF，求直线 MN 与平面 DCEF 所成角的余弦值。 剖析：本题在求得平面 DCEF 的一个法向量DA=（0，0，2）及 MN =( 1,1,2) 后 ， 可 得cos = 3 6 | DAMN DAMN 可能出现的错误为： 6 3 ; 6 3 正确答案： 3 3 反思：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量为a，平面的法向量为n，则 sin=|cos|。容易出错的是误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角 就是线面角；误以为直线的方向向量与平面的法向量所成角的余弦就是线面角的 正弦，而忘了加绝对值；不清楚线面角的范围。 易错点易错点 48 48 二面角概念模糊二面角概念模糊 27 【问题】 ： 如图， 四棱锥SABCD中， 底面ABCD为矩形，SD 底面ABCD，2AD ， 2DCSD，点M在侧棱SC上，ABM=60。 证明：M是侧棱SC的中点； 求二面角SAMB的余弦值。 剖析：本题在求得平面SAM、MAB的法向量a=(2，1，1)，b=(2，0，2)后，然 后计算出 cos, a b= 6 3 ；接着可能错误地以为二面角SAMB 余弦值为 6 3 ，其实 本题中的二面角是钝角，, a b仅为其补角。 正确答案： 6 3 反思：若两个平面的法向量分别为a，b，若两个平面所成的锐二面角为，则 coscos, a b；若两个平面所成二面角为钝角，则coscos, a b 。总之，在解 此类题时，应先求出两个平面的法向量及其夹角，然后视二面角的大小而定。 利用空间向量证明线面位置关系基本步骤为建立空间坐标系，写出相关点的坐 标；用向量表示相应的直线；进行向量运算；将运算结果转化为相应的位置 关系。解此类问题常见错误有不会将空间问题转化为向量问题；不会建系，不 会用向量表示直线，计算错误，使用定理出错，书写不规范。 八、解析几何八、解析几何 易错点易错点 49 49 倾斜角与斜率关系不明倾斜角与斜率关系不明 【问题】 ：下列命题正确的为_。 任何一条直线都有倾斜角，都有斜率；直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； 平行于x轴的直线，倾斜角为 0 0或 1800； 平行于 y 轴的直线，斜率不存在，所以倾斜角不存在； 剖析：知识残缺，概念模糊。 28 正确答案：无选项 反思：倾斜角和斜率分别从不同角度反映了直线的倾斜程度，但二者也有区别，任 意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率。解此类题常见错误有弄错直线倾斜角 的范围；当直线与x轴平行或重合时，误认为倾斜角为 0 0或 1800；不了解倾斜 角与斜率关系。 易错点易错点 50 50 判断两直线位置关系时忽视斜率不存在判断两直线位置关系时忽视斜率不存在 【问题】 ：已知直线l1: a x+2y+6=0 和l2: x+（a -1）y + a 2-1=0， 试判断l1与l2是否平行；当l1l2时，求a的值。 剖析：本题中的直线为一般式，宜用中的等价关系求解，如果用中的等价关系 求解，一定要考虑斜率不存在的情况。 正确答案： （1）1a （2） 2 3 a 反思：在解几中，判断平面内两直线的位置关系的方法有两种： 若直线l1: 11 yk xb，l2: 22 yk xb，则有 l1与l2相交 12 kk； l1l2 12 kk，且 b1b2； l1l2 12 1kk 若直线 1111 :lAxB yC， 2222 :lA xB yC，则有l1与l2相交 1221 0ABA B； l1l2 1221 12211221 0 00 ABA B CA CBCB C A 或 ；l1l2 1212 0AABB 两种方法各有优缺点，方法简便易行，