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基于马尔科夫链在金融中的应用摘要：讨论了我国金融的发展现状及趋势，针对金融中常见的经济问题，建立相应的马尔可夫链模型，并运用马尔可夫链的相关理论为金融的经济活动进行了定量的研究，同时也阐述了马尔可夫链在经济预测中的基本思想、应用、模型预测的结果说明。实例表明，马尔可夫链模型及方法在金融活动分析中是可行和适用的，可广泛应用于解决金融中常见的预测及决策问题。关键词：马尔可夫链；市场预测；平均利润预测；转移概率矩阵1引言马尔可夫链最初由俄国数学家Markov于1906年的研究而得名,Kolmogorov，Feller和Doob等数学家继续发展了这一理论，它是随机过程的重要组成部分，同时它在自然科学、工程技术、金融及经济管理等各领域中都有着广泛的应用1。随着我过社会主义市场经济的不断发展，科学技术的进步，经济管理体制改革的深入和金融经营机制的转变，金融不仅要利用经济活动分析这一管理经济的重要方法，分析金融的生产经营活动，而且还要分析金融的经济环境，了解国内外市场情况和社会需求的变化，以便随着其不断变化，及时调整生产经营活动，增强竞争力，从而使金融能够适应商品经济的要求而健康发展。因此，金融的经济活动分析在金融的经营管理中发挥着日益重要的作用，它对事后实事求是地分析、总结金融完成的经济活动和事前科学地预测、判断金融未来的经济活动都是必不可少的2。一般情况下，经济预测的定量方法要用到数学模型，而定性方法则不需要。马尔可夫链为经济领域中运用数学模型对定性问题进行预测提供了一种思路，丰富了经济预测方法的内容。金融是一个动态变化的系统，在这一系统中，有一些变量和因素会随时间的推移而不断的随机变化。而马尔可夫链预测法又是一种适用于随机过程的科学、有效的动态预测方法，它立足于当前通过市场调查等途径所获现实资料的基础上，运用马尔可夫链的基本原理和方法对数据资料进行运算得出预测结果，因此很适用于金融的经济预测。本文就是运用马尔可夫链理论建立了一系列预测模型，使之能够给金融提供更大的帮助。随着我国市场经济建设的高速发展，人们的生活水平大幅度提高，可支配收入也渐渐多了起来，大家的金融意识和投资意识也日益增强，投资理财越来越成为一个热门的话题。由于我国的资本市场不发达，人们的投资选择范围相对要窄一些，在实际利率为负的情况下，投资金融成为主流投资行为，2004年我国金融投资者人数超过7000万，而且人数还在进一步上升。而作为市场经济的组成部分金融市场，也正逐步走向成熟与规范。国外资本市场的发展历史已经证明金融是一种不仅在过去已提供了投资者可观的长期利益，并且在将来也将提供良好机遇的投资载体1。然而，股价涨跌无常，金融变幻莫测，投资者要想在金融中赢取丰厚的投资回报，成为一个成功的投资者，就不仅要认真研究上市金融投资的历史、业绩和发展前景，以及详细分析上市金融投资的财务状况，而且还要熟悉各种技术分析。理想的状态是基本面分析选择金融，技术分析确认买卖金融的时机。一个有效的金融市场，其价格应该是随机波动的,反映市场信息的同质等量分布，但是我们可以通过分析过去的信息,分析金融价格运动趋势,来预测金融的未来可能的走势1。本文运用马尔科夫模型，对具有马尔科夫性的金融价格、金融价格的状态区间以及它的成交量进行分析和预测，用马尔科夫链来对金融价格的概率估计预测提供一个实际应用的参考。面对瞬息变化的外部环境和日益激烈的行业竞争格局,无论是在金融体系中处于主导地位的商业银行还是传统的非银行金融机构(本论文主要包括投资银行和保险公司),都不可避免地面临越来越复杂的挑战。因为操作风险广泛存在于金融机构的经营环节,事关金融机构的内部控制结构,其发生机制和控制方法等均有与其它风险不同的鲜明特点。面临着损失加剧、危害日趋严重的操作风险,金融监管部门和金融机构均愈加重视对操作风险的防范。目前,国外理论界与实务界都在积极研究操作风险的管控技术与方法,以期达到有效识别、准确度量和严格控制的目的。虽然我国金融机构对操作风险的管控越来越重视,但目前只在操作风险的特征和生成机理上,也就是操作风险识别的研究方面初见成效。对于操作风险度量技术和方法的研究,以及内部管理和监管体制方面的研究,都与国外同行存在较大差距。风险的度量是风险控制和管理的前提。因此,操作风险的度量对于我国的金融业是需要迫切解决的课题。1.对三类金融机构面临操作风险的本质特征加以分析,以实现对其有效地度量目前国内外对商业银行操作风险度量的研究相对深入,而对其它金融机构(如投资银行和保险公司)的研究则相对较少。那么适用于商业银行的度量技术是否也合适于投资银行和保险公司呢?通过揭示三类金融机构操作风险的本质特征,能够加深对三类金融行业操作风险的认识,避免盲目地量化风险,并找到通用于三类金融机构的操作风险度量技术。2.操作风险度量的准确性关系到能否对其实施有效的管理风险的度量是风险管理体系中的重要环节,若跳过风险度量的研究而直奔风险管理的讨论,有本末倒置之嫌。毕竟选择的度量模型和技术方法关系到风险管理的实际成效,度量结果的准确性决定了风险内控制度和管理的有效性。但由于对操作风险研究的起步较晚,与发展相对成熟的信用风险和市场风险的度量相比,国外对操作风险的度量尚未形成统一的认识。我国金融业对操作风险的重视和研究程度远未及国外业界,并且国内目前正处于经济转型的变革时期,除了自身的管理以外,我国金融业还面临外部环境不确定性和政府政策变动对业务的影响。也就是说,操作风险来自内部管理和外部干扰两个方面。因此,改进操作风险度量技术对增加金融机构的竞争力具有重要意义。3.操作风险度量的准确性关系到经济资本能否发挥应有的作用经济资本与风险总额在数量上是相等的,是衡量和防御金融机构超额的损失的指标,是对资源配置进行优化、有效提高风险收益的核心工具。因此,若测量出其所要求的经济资本,那么金融机构就能够进行经济资本的配置。从这个角度说,量化的准确性影响着经济资本配置的效果。本论文的研究内容为：1.前两章交待了研究背景、各国监管部门针对操作风险出台的相关规定、研究意义、技术路线以及创新点,并对国内外业界和学界度量操作风险的研究现状进行比较,特别重点评述了损失分布法框架下的极值理论法、贝叶斯法以及信度模型的研究情况,以为在这三个方面提出修正性的度量方法奠定基础。2.如果对操作风险概念、特征、事故类型、损失金额之间内在关系没有深刻地理解就直接对其采用量化模型可能引起量化结果的盲目性和无针对性。因此在第三章中先对三类金融机构的操作风险进行统一界定,并按成因和业务部门这两条线分别对操作风险进行分类,这样就为收集三类金融机构的操作风险历史损失数据提供了统一的标准。然后分析引发三类金融机构操作风险的原因,并通过收集历史损失数据来对比三类金融机构的操作风险暴露特征,从而在这个意义上得到了三类金融机构面临的操作风险在本质上是相同的结论。那么在损失数据量和损失数据数学特征相同的情况下,适合于一类金融机构的操作风险也同样适合于其它类别的金融机构。2马尔可夫链预测的基本思想人们常把是事物的随机变化称作马尔可夫过程。它具有无后效性，即事物的将来呈什么状态、取什么值，仅与它现在的状态和取值有关，与它以前的状态和取值无关。马尔可夫链则是事物在连续一段时期内若干马尔可夫过程的总称，表明事物状态由过去到现在、由现在到将来，一环接一环，像一根链条。在预测领域，人们用其对预测对象各个状态的初始分布和各状态间的转移概率进行研究，描述状态的变化趋势，并由此来预测未来3。2.1把经济系统看作一个完整的系统，并对该系统进行科学的状态划分，至少划分出两个状态，根据系统的实际和需要也可以划分出多个状态。状态可以是连续的，也可以是离散的，而系统所划分出的各个状态就是要预测的内容。2.2对经济现象各种状态的当前状态概率进行统计测定，即判定出系统当前处于什么状态。2.3对经济系统各个状态未来发展的每次转移概率进行测定，即确定出系统是如何进行转移的。若在未来较长时间内是平稳发展转移的，则系统状态的每次转移会保持相同的转移概率；若在未来较长时间内是起伏震荡的，则状态每转移一次就需要对转移概率测定一次。状态每次转移的时间间隔可以按月、季、年划分，时间可以连续也可以离散。2.4根据系统当前的各状态概率和状态转移概率运用矩阵的方法，推演出系统经过若干次转移后，仍可保持在各状态的概率是多大。决策者可以根据对系统未来的状态可能性放的预测做出当前的决策，从而为搞好经济管理提供服务4。3马尔可夫链的数学原理和基本特性3.1马尔可夫链3.1.1所谓马尔可夫链(简称马氏链)是指一类时间参数离散、状态空间为可列集或有限集且具有马氏性（也称无后效性）的随机过程5。通俗地讲，设E=0，1，2，为随机变量的状态空间，Xn，n=0，1，2，是时间参数为n的随机过程。若对任意时间参数n及任意i0，i1，in-1，i，jE，条件概率满足(1)式则称Xn为马尔可夫链。PXn+1=jX0=i0，X1=i1，Xn-1=in-1，Xn=i=PXn+1=jXn=i=pij(n)(1)式中：pij(n)为时刻n的一步转移概率，简称为转移概率。若pij(n)与n无关，则称该马尔可夫链是齐次的，并记pij(n)为pij,P=(pij)为转移概率矩阵。令时刻n系统在各状态的概率分布为n=(n(0)，n(1)，)，则有6k=0Pk(k=1，2，n)(2)3.1.2设Xn，n0为齐次马尔可夫链，其状态空间为E。对于任意iE，如果该集合n：pii(n)0，n1非空，则称该集合的最大公约数d=d(i)为状态i的周期。若d1就称状态i为有周期的，且周期为d；若d=1就称状态i为非周期的。如果马氏链的状态空间不可约，则该马氏链称为不可约的。3.1.3设马尔可夫链Xn有转移概率矩阵P=(pij)，若存在一个概率分布j，j0，其满足j=ipij，i，j=0，1，2，则称j，j0为该马尔可夫链的平稳分布。由该定义，若=0，1，为平稳分布，则=P3.1.4若Xn为齐次马尔可夫链，则称P（Xn+k=xjXn=xi）为Xn从状态xi到状态xj的k步转移概率，记作pij(k)；称以pij(k)（xi，xjE）为元素的矩阵为Xn的k步转移矩阵，记作P（k），特别地，将一步转移概率和一步转移矩阵分别记为pij和P。3.2 马尔可夫链的基本特性3.2.1通过(1)式可以看出具有马尔可夫性的随机变量Xn所处的状态仅与随机变量所处状态有关，而与前期随机变量Xn+1所处状态无关。3.2.2平稳分布性即具有马氏性的概率分布i，iI，一定满足(i)=ipij，i，j=0，1，2，其中Pij为该随机过程的状态转移矩阵，I为状态空间的集合。3.2.3遍历性。若对于一切i，jE，极限limpij(n)=pj0(n)存在，则称该马尔可夫链具有遍历性。马尔可夫链的遍历性说明，不论从哪个状态出发，经过充分大的转移步数后，到达状态j的概率接近于正常数pj。3.2.4状态相通性。即具有马尔可夫性的随机过程无论系统初始状态如何，通过有限的转移步数后，一定可以到达同一个状态。用数学表示就是随机过程X(t)，tT，无论其初始状态是i或者j，经过一定步数后一定可以到达k状态，只是转移的方向和步数不同。2.3马尔可夫链模型的矩阵表示G(n)=G(o)pn(1)G(n):经过n次转移后，系统的状态概率矩阵G(o):系统的状态概率矩阵p:系统的状态转移概率矩阵n:系统的状态转移次数若把现象的各个状态也表示在模型之中，则模型(1)可表示为如下的(2)式：设G(n)=(ai)n，i=1，2，mG(o)=(bi)n,i=1，2，mpn=pijn则(ai)n=(bi)n*pijn(2)公式(2)与(1)表示的含义完全相同，只是更直观一些，其中：i=1，2，m表示系统有m个状态。ai表示各状态概率(ai)n表示系统经过n次转移后各状态的状态概率矩阵(bi)0系统的初始概率矩阵Ij表示系统由状态i转移到状态j。3 马尔科夫链预测金融价格的模型3.1 马尔科夫链预测模型需满足的条件马尔科夫链预测法是对预测对象未来所处状态的预测，也就是预测目标对象未来可能出现或存在的状况。建立马尔科夫链预测模型来推知预测对象的未来发展，要求预测对象在预测期间满足下列条件：(1) 过程随机性，在系统内部中从一个状态转移到另一个状态是随机的4。(2) 过程的无后效性，系统内部的转移概率只与当前状态有关，而与以前的状态无关。即系统的某些因素在转移中第 次结果只受第 -1次结果的影响，与其他结果无关5。(3) 转移概率矩阵保持稳定不变，即一个时期向下一个时期转移状态的转移概率矩阵是不变的，均为一步转移概率矩阵。(4) 预测对象的状态必须是有限的或可列的，而且必须在可列个时间发生状态转移5。(5) 在预测过程中对预测对象用同一标准划分的各状态应相互独立。(6) 划分的状态应该包括预测对象全部可能出现的状况。3.2 金融价格、金融价格区间以及成交量符合马尔科夫链金融市场行为最基本的表现是成交价格和成交量，成交价格和成交量反映了大部分市场行为，在某一时间的价格和成交量反映的是买卖双方在这个时间的共同市场行为6。所以预测金融价格就应该从这两方面来考虑。而在实际金融投资过程中，投资者最关心的除了金融价格和成交量外，也常常关注金融价格状态区间。所以本文就从这三个方面入手，运用马尔科夫链预测方法对金融进行分析预测。运用马尔科夫链预测方法来对金融价格、金融价格区间以及成交量的状态进行预测分析，就要求它们满足下面条件。(1)金融价格、金融价格区间以及成交量的状态是一族依赖于时间 的随机变量，其变化过程是一个随机过程。 (2)金融价格、金融价格区间以及成交量在时间所处的状态只与在时刻 的状态有关，而与时刻 以前所处的状态无关，即具有无后效性。(3)无论从什么时候开始，金融价格、金融价格区间以及成交量的状态变化过程保持一种时间历程的不变性，即它们状态的一步转移概率只与时间差有关，而与时间起点 无关，所以转移概率矩阵保持稳定不变6。(4)金融价格、金融价格区间以及成交量只能产生可列个状态，而且只在可列个时刻发生状态转移，故它们符合马尔科夫链。(5)金融价格、金融价格区间以及成交量同样符合上面的第五和第六个条件。所以金融价格、金融价格区间以及成交量的变化过程符合马尔科夫链预测法的条件，其变化过程构成马尔科夫过程。所以可以用马尔科夫链预测模型来预测金融未来走势。3.3 建立马尔科夫链预测金融价格模型根据出发点不同对预测对象状态界限的划分也就不同，本文根据金融每天的收盘价与前一天收盘价比较得到三种状态：上升、持平、下降，将一段时期的金融价格划分为若干连续的价格区间，让每一价格仅在其中的一个区间，那么每一个价格区间即是一种状态；同时在金融交易过程中成交量也是一个非常重要的参考指标，所以把金融的日成交量值同样划分为若干连续的区间，让每一个日成交量仅在其中一个区间，那么每一个区间是一种状态。在划分区间的过程中需要强调的是，用同一标准来划分的各种状态必须是相互独立的，不能有交差的情况出现，即我们的预测对象在某一个时间点上的状态是唯一的。与此同时，划分的状态必须包括预测对象的全部可能出现的状况，不能有某一时间点所处状态不在所划分的诸多状态中。运用马尔科夫链预测方法来预测目标对象，就需要建立马尔科夫链预测数学模型，马尔科夫链的基本原理本文第一小节已做详细介绍，概括起来说，就是利用初始状态概率向量和状态转移概率矩阵来推知预测对象将来一个时期所处的状态。4 对金融收盘价格、价格区间以及日成交量的预测实例4.1 以金融收盘价状态为对象进行预测在金融市场上，金融价格代表了金融的投资价值，它的涨跌直接影响到投资者的投资收益。每一个金融投资者都希望在低位买进，高位抛出，所以投资者最关心的就是金融价格未来将会怎样变化。当然预测金融价格的方法很多，下面运用马尔科夫链预测方法对金融价格状态进行预测。42马尔可夫链在经济预测中的应用一个庞大而复杂的经济系统一般总会受到多方面的不确定因素的影响，因此可将它看作一个随机系统，而且这种系统的演变过程往往具有无后效性，这样就可视之为一个马尔可夫链，从而可用有关马尔可夫链的理论来分析金融的各项经济活动7。4.3市场占有率设某地有1600户居民，某产品只有甲、乙、丙三个厂家在该地销售。经统计，8月份买甲、乙、丙三厂的户数分别为480、320、800。9月份，原买甲的有48户转买乙产品，有96户转买丙产品；原买乙的有32户转买甲产品，有64户转买丙产品；原买丙的有64户转买甲产品，有32户转买乙产品。于是得到状态空间E=1、2、3(状态1、2、3分别代表甲、乙、丙)，其频数转移矩阵为3364896N=32224646432704用频率估计概率，以上矩阵N中各行元素之和除N中相应行的元素，得转移概率矩阵为0.70.10.2P=0.10.70.20.080.040.88此模型的初始概率分布(即初始市场占有率)为(p1，p2，p3)=(480/1600，320/1600，800/1600)=(0.3，0.2，0.5)由初始概率分布和转移概率矩阵P，可以计算出9月份市场占有率为0.70.10.2(0.3，0.2，0.5)0.10.70.2=(0.27，0.19，0.54)0.080.040.88类似地，可以计算出12月份市场占有率为(0.3，0.2，0.5)P(4)=(0.2319，0.1698，0.5983)从转移概率矩阵可以看出，该链是不可约、非周期的有限(状态)马氏链，故必存在平稳分布，且1=0.71+0.12+0.0832=0.11+0.72+0.0433=0.21+0.22+0.8831+2+3=1则可解得当顾客流如此长期稳定下去时，市场的占有率(即其平稳分布)为(1，2，3)=(0.219，0.156，0.625)4.4商品销售情况预测用马尔可夫链预测的最简单类型是预测下一期最可能出现的状态。设某商品在市场上销售情况共有24个季度的数据(“1”表示畅销、“2”表示滞销)112122111212112211212111并假设该商品的销售状态满足齐次马尔可夫性。试确定销售状态的转移概率矩阵；如果现在是畅销，试预测这以后第四个季度的销售状况；如果影响销售的所有因素不变，试预测长期的销售状况。在上面的24个销售数据中，1(畅销)出现15次，2(滞销)出现9次，而且11有7次，12有7次。又因为最后季节是状态1，所以p11=7/(15-1)=1/2，p12=7/(15-1)=1/2而21有7次，2有2次，所以p21=7/9,p22=2/9于是得转移概率矩阵1/21/2P=7/92/9如果现在是畅销，预测这以后第四个季度的销售状况实际上就是求4步转移概率。因为1/21/240.6110.389P(4)=7/92/9=0.6050.395所以由4步转移概率矩阵有p11(4)=0.611p12(4)=0.389，即如果现在为畅销，这以后第四个季度(以概率0.611)仍为畅销。从转移概率矩阵可以看出，该链是不可约、非周期的有限(状态)马氏链，故必存在平稳分布。由平稳方程=P可得1=1/21+7/922=1/21+2/921+2=1解得1=14/23，2=9/23。其平稳分布(1，2)=(14/23，9/23)因为12，故长此下去，该产品将畅销。4.5利润预测在多数经济系统中，伴随着它的状态逐步转移，常有一系列利润的转移。如当系统由状态i进一步转移至状态j时，获得的利润记作rij，则由全体rij(i，jE)构成的矩阵称为利润矩阵。在经济系统的演变过程中，因其状态的转移是随机的，故在每一阶段获取的利润也是随机的，而且利润取值的概率可由状态转移概率来确定8，我们所关心的问题往往就是如何预测系统经n步转移后获取的利润，实际上也就是它的期望(平均)利润。设某金融投资每月至多接受两份订单，Xn表示第n个月接受的订单数，并设Xn是齐次马尔可夫链。根据过去经营的资料分析，接受订单的转移概率矩阵P为p00p01p020.10.30.6P=p10p11p12=0.30.30.4p20p21p220.30.10.6其中状态空间E=0，1，2表示的订单数。相应于P，报酬矩阵为 r00 r01 r02 -20 10 20 R= r10 r11 r12 = -10 20 40 r20 r21 r22 10 40 60 这里r00=-20表示第一个月无订单的条件下第二个月仍无订单，则金融投资的利润为-20(单位：万元)。可预测该金融投资n个月后的期望利润。设Vi(n)表示开始接到i(iE)份订单，经n个月后金融投资的期望利润，则有递推公式 Vi(n)= pijrij+ Vj(n-1)， jE ， n=1，2， (3)假定初始利润为零，即Vi(0)=0(iE)。由上式得知 V0(1)=0.1(-20)+0.310+0.620=13 V1(1)=0.3(-10)+0.320+0.440=19 V2(1)=0.310+0.140+0.660=43这表示一个月后金融投资的期望利润。同理，由(3)式可以计算金融投资数个月后经营的期望利润。金融投资的决策者可以根据该利润预测模型，对生产进行适当地调整，为获取最大利润而采取若干行动方案，使总期望报酬达到最大。5 对马尔可夫链模型预测及其结果的说明5.1 经济现象的各状态经过多次转移后的状态概率如何，主要取决于状态如何转移（即状态概率分布），而不是取决于系统的初始状态（即初始状态概率分布）。所以，为了准确预测现象的未来状态，在对现象当前状态作出判断的基础上，重点还是对系统状态转移概率的测定。5.2 对无序起伏发展的经济系统的状态转移概率不断进行测绘会增加工作量。为了减轻这一负荷，测定时可以只关注引起起伏的要素，不变要素可以不考虑，但要注意因素组合效应。5.3 影响经济系统转移的因素很多，如政治更替、政策变化、战争、突发事件等，这些因素或单个的或组合的影响系统的状态转移。进行状态转移概率测定时要恰当的选择考虑这些因素，但考虑过多过细会影响测定效率，考虑过少会影响测定的准确性9。6 结论基于经济活动的复杂、多变以及带有许多随机性因素的特点，为了能够更加科学的预测金融所关心的各项经济指标，以便为金融的未来做出正确的决策方案，本文针对经济实例建立了马尔可夫链模型，运用简单的矩阵运算的求解方法对金融的相关问题进行预测。此方法简单适用，易于推广，只要经济发展的各方面环境条件相对稳定或者变化较小，在不太长的时期内这些结论仍会有一定的意义。但应根据实际情况对初始向量和转移矩阵做出调整，以符合变化规律，提高预测的可信度。 致 谢光阴似箭、岁月如梭，大学四年的时光转眼就要过去了，在毕业之际，我要衷心地对所有在这次毕业设计的过程中给予我关心、支持的人表示感谢。我首先要感谢大学四年里给予我帮助和教导的老师们，感谢我的老师们对我的培养，感谢您们辛勤地耕耘、无私的付出，是您们四年如一日孜孜不倦地教诲，让我在专业知识的积累、人生阅历等各个方面都有了显著的提高。在这里，我尤其要感谢在这次毕业设计中给予我关心和帮助的指导老师。正是老师耐心、细致的指导，才有了我今天毕业论文的圆满完成。在这次毕业设计中，我得到了同一组各位同学对我的关心和帮助，在这里我要对他们表示最诚挚的谢意。再次衷心感谢所有给予过我关心、帮助的人，谢谢你们首先，感谢老师在论文选题、方案设计、提纲确定、细节写作等方面都给了我非常细致的指导和建议，使我领会了基本的思考方式，掌握了通用的研究方法，最后顺利的完成了论文。老师严谨的治学态度、渊博的学识、独特的学术思维、耐心细致的教学态度，使我收获良多。其次，感谢各位教过我的老师们，正是他们四年来对我的辛勤培育、指导和帮助 ，才使我打下了良好的基础，顺利的完成学业和论文。之后，感谢四年来一路相伴的同窗挚友，曾记同