数学专业学士学位毕业论文-环R[x]的性质.doc

2012届学士学位毕业论文环Rx的性质学 号：*姓 名：*班 级：88888指导教师：*专 业：数学与应用数学系 别：数 学 系完成时间：2012年5月学生诚信承诺书本人郑重声明：所呈交的论文*是我个人在导师*指导下进行的研究工作及取得的研究成果。尽我所知,除了文中特别加以标注和致谢的地方外,论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果,也不包含为获得长治学院或其他教育机构的学位或证书所使用过的材料。所有合作者对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。签名： 日期： 论文使用授权说明本人完全了解长治学院有关保留、使用学位论文的规定,即：学校有权保留送交论文的复印件,允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。签名： 日期： 指导教师声明书本人声明：该学位论文是本人指导学生完成的研究成果,已经审阅过论文的全部内容,并能够保证题目、关键词、摘要部分中英文内容的一致性和准确性。 指导教师签名： 时间 摘 要 本文主要研究了一元多项式环的一些基本性质以及不同的一元多项式环之间的同态性质得到了:是交换环等价于是交换环（定理2.1）；是整环等价于是整环（定理2.2）；如果环是环的理想,则环是环的理想（定理2.3）；当是交换环时，的元素是零因子的充要条件为在中存在非零元，使得（定理2.4）；最后研究了环到环的一些同态性质,即定理3.1、3.2、3.3、3.4关键词: 环；理想；同态Properties of Ring Rxabstract In this paper，we will discuss some fundamental properties ofand homomorphism between themAbout the fundamental properties of ,we will get the following results:is a exchange ring only if is a exchange ring； is a integral domain only if is a integral domain (Theorem 2.2)；If I is an ideal of ，then is an ideal of ( Theorem 2.3)；A sufficient and necessary condition for in to be a zero divisor will be given for a commutative ring (Theorem 2.4)In the end we will discuss some properties of homomorphism between two polynomial rings and then we will get Theorem 3.1,3.2,3.3,3.4Key words : ring；ideal；homomorphism目 录1 基本概念12 环的基本性质43 环的同态7参考文献12致 谢13环Rx的性质1 基本概念 定义1.1 设是一个有单位元的交换环,是上的不定元，下面的形式表达式（其中,）的全体记作.在中定义加法和乘法如下： 任取,设,.加法 在表示和的和时,如果,为了方便起见,在中令,则 ；乘法 指的是将与的每一项相乘,然后将这些乘积相加,即.定义1.2 设是一个非空集合,其上具有两种代数运算,记作“”（称为加法）与“”（称为乘法）,如果这些运算满足:(1) (,)是一个交换群；(2) (,)是一个半群；(3) 左、右分配律成立,即对,都有,则称代数系统(,)是一个环(ring),简称是一个环 定义1.3 设是一个环,若存在,使得（）,则称是的一个左（右）零因子(left(right)zero divisor).当是的左零因子,或是的右零因子时,则称是的零因子.定义1.4 有单位元的无零因子交换环称为整环定义1.5 设是的一个子环,如果对，都有和属于,则称子环为的一个理想子环,简称为环的一个理想定义1.6 设是一个环,是的一个非空子集,若关于的加法、乘法也构成一个环,则称是的一个子环（subring）.定义1.7 对任意的,且,若有,且,则称为的最低次幂,记作,称为的最高次幂, 记作.定理1.1 关于定义1.1中定义的加法和乘法做成一个环.证明 显然, 下面证明关于定义1.1中的加法是一个加群.对任意的设,则有即.又有单位元0,所以对任意的有负元且由是交换环知.所以,关于定义1.1中的加法构成一个加群.再证关于定义1.1中多项式的乘法是一个半群. 由于 即. 所以,关于定义1.1中的乘法是一个半群. 最后证明加法和乘法满足左、右分配律. 由于是一个环,所以中的元素满足左、右分配律,从而有:即.同理,我们还可以得到.综上所述,关于定义1.1中的加法和乘法构成一个环.定理1.2 设是一个环,则是的子环当且仅当对任意的,有.显然,可看作的一个子环.2 环的基本性质由环的定义可以知道,环与环有着紧密的联系. 因此，下面在环的基础上来说明环的性质定理2.1 是交换环当且仅当是交换环.证明 充分性：因为是交换环,所以任取有（其中）,设，,则 ,.从而. 因此，是交换环.必要性：如果是交换环，由于是的子环，所以也是交换环定理2.2 是整环当且仅当是整环.证明 显然,有单位元等价于有单位元. 由定理2.1知,是交换环等价于是交换环，所以只要证明是无零因子环当且仅当是无零因子环.充分性：在中任取两个非零元素与，且令,.则有.根据是整环知道无零因子,故,所以.故是无零因子环.必要性：如果是无零因子环,因为是的子环,所以也是无零因子环. 综上所述,是整环当且仅当是整环. 定理2.3 若环是环的理想,则环是环的理想.证明 容易验证,是的一个子群下面证明对，有.其中因是的理想,故由，所以有，故是的理想.定理2.4 设是一个交换环，是的零因子当且仅当有中的非零元，使得.证明 必要性：设是环的零因子，其中，由于是的零因子，所以存在非零多项式,使得.考察次数最低的多项式,使得.由于，所以 （1） 由，而，且，所以有.可推出,否则将是次数小于的的零化多项式,这就矛盾. 由，则可知，并且,由此又得 （2）于是有.可推出，否则将是次数小于的的零化多项式，这也矛盾. 由则可知，所以由此又得 （3） 如此继续下去，那么最后得到,于是由上式即（1）（2）（3）得,从而，其中. 充分性:显然成立. 3 环的同态以上我们是在单个环的基础上来讨论多项式环的性质的,下面主要以两个环与为基础来讨论.如果设是环到环的同态,定义,对任意的,定义,下面将证明也是环到环的同态映射.定理3.1 设是环到环的同态映射,令,对任意的,若,则是环到环的同态映射.证明 因为是环到环的同态映射,所以有，显然是环到环的映射，下面证明保持运算对任意的,有因此得到,.所以,是环到环的同态映射.定理3.2 设是环同态,是由环到环的同态映射,则有:（1）若是双射则是双射.（2）假设是环的子环（理想）,若是满态,则是环的子环（理想）其中,且.证明 （1）要证是双射即证既是单射又是双射.下面先来证明是单射的情形.若已知是单射,要证是单射,即证对任意的,如果,则. 事实上,如果,则由的定义有,从而有.由于是单射,所以,从而. 再证是满射的情形.若已知是满射,要证是满射,即要证明对任意的存在,使得.设,因为是满射,所以存在,使得.令,则.综上,若是双射则是双射.（2） 由于是环的子环（理想）知是的子环（理想）,根据是满态我们知道是满态,所以是环的子环（理想）.下面证明. 任取,则存在,使得. 由知,那么,从而有.再任取,则并且存在,使,所以有, .因此,.定理3.3 设是环到环的满同态,则.证明 令,对任意的,在的作用下有.因为是满同态,所以由定理4.2（1）知是满同态,又所以,由环同态基本定理知.定理3.4 设,对于任意,的定义如下,则.证明 显然,是环到环的一个映射,下面证明保持运算.对任意的,有,所以,.,所以,. 因此,是一个同态映射,且是满射.故由环同态基本定理有.参考文献1 唐高华.近世代数M.北京:清华大学出版社,2008. 2 张禾瑞.近世代数基础M.北京:高等教育出版社,1978.3 蓝以中.高等代数简明教程（下册）M.北京:北京大学出版社,2002.4 北京大学数学系几何与代数教研室代数小组.高等代数（第二版）.高等教育出版 社.1988.5 林东岱.代数学基础与有限域M.北京:高等教育出版社,2006.6 朱平天,李伯葓,邹园.近世代数M.北京:科学出版社,2001.7 魏丽娟,陈焕艮.关于幂级数环的几点注记J.长沙电力学院学报,1999,142）:115-117. 8 整环上的一元多项式环J.福建师大福清分校学报，2004年02期.9 Serge LangAlgebraM.New York:Springer-Verlag,200