代数表示论在Hopf代数中的应用.pdf

浙江大学理学院博士学位论文代数表示论在Hopf代数中的应用姓名：程东明申请学位级别：博士专业：基础数学指导教师：李方20070601摘要本文用结合代数表示论的方法研究Hopf代数和弱Hopff数的结构与表示。我们首先把Artin环(Artin代数)看作自身的左正则模，证明了在它的直和分解式中的不可分解投射模P的重数等于相应的单模S作为某个除环上的向量空间的维数其次，为了用结合代数表示论的方法研究弱Hopf代数，我们研究弱Hopf代数的代数结构。我们以tIs岛(2)和口sk(2)为例，研究弱Hop玳数的代数结构。我们证明了弱Hopf代数wsl。(2)作为代数是(sf2)和二元多项式代数的直和。从而将脚8k(2)的表示归结为(sk)和二元多项式代数的表示。而氓(st2)和二元多项式代数的表示已被广泛研究。证明了叫80(2)的余代数结构是不可分解。证明了弱Hopf代数sk(2)作为代数是(sf2)和平凡代数惫的直和。还证明TwsZ。(2)作为余代数是可分解，并绘出它的分解。为了研究wsl4(2)和usz。(2)的余表示，我们给出吼(2)和t，sk(2)的余代数的Ext-箭图。然后我们全面考察了对应予以(sty)的所有可能的弱Hop玳数。发现总共有个不同构的对应于(sz2)的弱Hop辟数。我们还讨论对应于(st。)的弱Hop玳数的直和分解。我们考虑点Hopf代数在代数和余代数上的作用。对于点Hop斜弋数的特例，群Hopff弋数的作用与群的作用是等价的。我们特别考虑群和群代数在路代数上的分次作用。并给出计算实例。结构常数是用来刻画结合代数的重要方法。我们发现余代数和Hopf代数的结构常数类似于代数的结构常数。我们引进高维矩阵用来描述余代数和Hopf代数的结构常数。我们确定了预余代数成为余代数和Hop玳数的条件，并用高维矩阵来刻画。关键词：Artin代数，Hop矸弋数，弱Hopff数，表示，余表示AbstractInthispaperwestudyHopfalgebra坶usingrepresentationtheoryofaSSO-dativealgebrasinseveralwaysLetAbeallartinringLetPbeallindecomposableprojectiveleftA-moduleIf觎viewAasaleftA-modulethenthemultiplicityofPinthedirectBnnldecompositionofAequalstothedimensionofcorrespondingsimplemoduleS铀avectorspaceoveradivisionringAsanexampleofapplicationofourmainresult，wesimplifyaproofofdecompositionofrestrictedquantumgroupof(奶)ThestructureofweakHopfalgebrawsl口(2)isstudiedinthispaperinordertogiveacompletedescriptionofrepresentationofwsl口(2)Thealgebrastruc-tureofwslq(2)isdecomposedintoadirects眦of(s12)andthealgebraofpolynomialsoftwoindeterminatesThecoalgebrastructureofwsl口(2)isprovedtobeindecomposableAnotherweakHopfalgebravsl口(2)isdecomposedintoadirectsnmof(s12)andthetrivialalgebra知ThenwestudyallpossibleweakHopfalgebrascorrespondingto(sf2)Thereafe甲possiblenonisomor-phicweakHopfalgebrascorrespondingto乩(st2)WealsogivethedirectsulndecompositionofweakHopfalgebrascorrespondingto砺(stn)，WestudytheactionsofHopfalgebrasonalgebrasandcoalgebrasA8aspecialca卵ofpointedHopfalgebrastheactionsofgroupHopfalgebrasareequivalenttothatofgroupsWeconsidergradedactionsofgroupsonpathalgebrasThestructureconstantsforcoalgebrasandHopfalgebrasaresimilartothoseofalgebras，WeintroducehigherdimensionalmatricesandusethemtodescribethestructureconstantsforHopfalgebrasWedeterminetheconditionsforapre-coalgebratobecoalgebraandHopfalgebrainofhigherdimensionalmatri，目代数表示论在HOPF代数中的应用Keywords：Artinalgebra，Hopfalgebra，weakHopfalgebra，representation，corepresentation第一章引言本文用结合代数表示论的方法研究Hopf代数和弱Hopf代数的结构与表示当我们研究A喇n环和Anin代数的结构和表示的时候，决定它们的区块是很重要的。为此我们需要知道它们有多少不同构的投射模。对于某些特殊类型的Artin环和Artin代数。人们用特别的技巧找到它n的投射模。但是要确定它们是不是所有的投射模就是一件困难的事情了【16，73，7踟。我们把Artin环(Artin代数)看作自身的左正则模，证明了在它的直和分解式中的不可分解投射模P的重数等于相应的单模S作为某个除环上的向量空间的维数。利用这一原理，我们只须一个简单的维数计算，就可以容易地确定一个投射模的集合是否是完全的集合。作为Hopf代数的推广，也为了得到更多的Yang-B础er方程的解，李方教授于1998年引进并研究了弱Hopf代数【44】，在国内外产生一定的影响。迄今，已发现许多弱Hopf代数的例子。其q=wsl口(2)和vslq(2)是弱Hopf代数的最重要的例子48】。之后，NAizawa和P，SIsaac将它推广到与(st。)对应的弱Hopf代数【3】。杨士林引入与Cartan矩阵对应的弱H0pf代数【80】。吴志祥考虑了与广义Kac-Moody代数对应的$；Hopf代数【7吲，以及与Boreherds-Caxtan期d阵相关的弱Hopf代数f771。众所周知，在代数的结构和它的表示之间存在一个紧密的联系。为了研究弱Hopf代数的表示。我们首先研究弱Hopf代数的代数结构。我们以埘sz。(2)和vsl。(2)为例，研究弱Hopf代数的代数结构。我们证明了弱H0pf代数叫s如(2)作为代数是(sf2)和二元多项式代数的直和。从而将wsl。(2)的表示归结为(s12)和二元多项式代数的表示。而(sh)和二元多项式代数的表示已被广泛研究。证明Twsl。(2)的余代数结构是不可分解。证明了弱Hopf代数s(2)作为代数是(sh)和平凡代数舶g直和。还证明Twsl。(2)作为余代数是可分解。并给出它的分解。为了研究wsl。(2)和“sb(2)的余表示，我们给mwst。(2)和u8k(2)的余代数的Ex乞-箭图。全面考察了对应于(sh)的所有可能的$目Hopf代数。得到个不同构的对应于“(sz2)的弱Hopf代数。并将结论推广到对应于仉(sk)的弱Hopf代数上。2代数表示论在HOPF代数中的应用在考虑Ho#代数与代数的Smash积和crowd积，以及Hopf代数与双代数(Hopf代数)的bicrossed积时，我们需要考虑Hopf代数在代数和余代数上的作用。对于一般的Hopf代数的作用比较复杂。我们只考虑点Ho#代数的作用。对于点Hopf代数的特例，群Hopf代数的作用与群的作用是等价的。我们讨论了群在路代数上的作用。结构常数是用来刻画结合代数的重要方法。我们发现余代数和Hopf代数的结构常数类似于代数的结构常数。我们引入高维矩阵。并用高维矩阵刻画结合代数的结构常数。其次，我们在余代数中，引入结构常数的概念，并用高维矩阵用来描述。给出了预余代数成为余代数和Hopf代数的条件。所有这些条件都可以用高维矩阵来刻画。这样就可以很容易地用计算机来验证。第三章我们给出Artin环和Artin代数的在它的分解式中投射模的重数与相应的单模作为除环上的向量空间的维数之间的联系。首先我们给出我们对于一般Artin环的主要定理。然后讨论Artin代数的情形。并研究它和基代数的关系。最后，我们给出一个应用实例。第四章用结合代数表示论的方法研究弱Hopf代数。我们首先仔细研究弱Hopf代数的特例wsl。(2)和vsl。(2)。然后将结论推广到一般的情况。证明Twsl。(2)(，nn)同构于(m，n)和一个带关系的二元多项式代数的直和。从而将wsl。(2)的限制表示归结为(s2)和一个带关系的二元多项式代数的表示。还证明-rwal。(2)的余代数结构是不可分解。我们还证明了另一个弱Hopf代数口8(2)作为代数是(sZ2)和平凡代数七的直和。还证明Twsl。(2)作为余代数是可分解，并给出它的分解。为了研究wsl。(2)和vsl。(2)的余表示，我们给出仰(2)和vsl口(2)的余代数的Ext-箭图。然后我宵】全面考察了对应于碥(sj2)的所有可能的弱Hopf代数。发现总共有印个不同构的对应于(s12)的弱no#代数。并对它们的代数结构和余代数结构作了分类。研究了对应于碥(sf2)的弱Hopf代数的限制表示。最后我们研究了所有可能的对应于以(sk)的弱Hopf代数，并对它们的代数结构和余代数结构作了分类刻画。第五章，我们考虑点Hopf代数在代数和余代数上的作用。特别考虑群和群代数在代数上的分次作用。并给出计算实例。对于点Hopf代数的特例，群Hopf代数的作用与群的作用是等价的。我们以较大篇幅讨论群在路代数上的作用。在第六章中，我们引进高维矩阵用来描述余代数和Hopf代数的结构常数。我们确定了预余代数成为余代数和Hopf代数的条件，并用高维矩阵来刻画。第二章预备知识21路代数和路余代数有限维代数表示论的基本想法是将有限维代数Morita等价于一个基本代数(basicalgebra)当这个代数的基础域是代数闭域时，这个基本代数就是初等代数(elementaryalgebra)因此代数闭域上的有限维代数表示可以归结为带关系的路代数的表示【4】。Chin和Montgomery将这一想法推广到余代数，得到了路余代数的概念f17】。一个箭图Q=(铂，Ql，8，)是一个有向图，其中QD是项点集合，Ql是箭头集合，s和t是两个从Ql到Qo的映射，其中s(n)和(a)分别是a的起点和终点。Q中的一个长度为z的路P是p=锄nl，其中啦Ql，i=1，Z，并Ett(a)=5(啦+1)，1tf一1顶点被看作长度为0的路。p的起点和终点分别定义为8(n1)和(锄)，分别用s(p)和t(p)表示a设k是一个域，Q是一个箭图。P是Q的路的全体。以P的元素为基做成的缸向量空间记为Q。对于Q的任意两个路p=啦口l和q=口_历按下式定义乘法：l癌。角锄Ql当t(刃=s(q)”7l0，当t扫)s(口)以七Q为基础向量空间，在上述乘法诱导的詹Q的乘法下，克Q构成一个代数。称为箭图Q的路代数，记为kQ4，或kQ对于Q的任意一个路p=口l口l定义(p)=啦n计l。alal：o=p。so)+珏QlOq+l。Q，。al+tp)。p瑚=口。p4代数表示论在HOPF代数中的应用和，删=：耋篆2三：其中length0)表示p的长度。和E决定了唯一的线性映射：kQ一七Qo七Q和：kQk(kQ，E)构成余代数，称为箭图Q的路余代数，记为七驴。下面考虑路代数和路余代数的对偶关系。这些事实是众所周知的，但却找不到仔细讨论这些内容的文献。首先考虑路代数的对偶。设肘，是肛向量空间。映射P：M。0N一(M固)定义为P(fo口)(mo=，)g(砖V，M，g。，mM，社Np总是单射。当是有限维时，P是同构。设X，y是肛向量空间，：Xy是“线性映射，我们定义矿：Y一X为矿(，)=加，V，Y引理1令(E，E)路余代数。我们定义M：矿。伊一矿，M=P其中P是前面定义的，u：k一口，“=E，其中：k一矿是典范同构。那么(口，M，)是一个代数。引理2如果，尬乱)是一个有限维代数。我们定义：A一A。oA，=p-1M+，E：A一k，E=妒矿，其中妒：k一k是典范同构，即妒(，)=10)，vk+那么(，E)是一个代数。设Q是个有限箭图，即Qo，Ql均为有限集。设P是Q的路的全体，Qo=el，e。设A=七驴，对于任意的qP，定义口(q)=1；叮(p)=o，印P，Pq，qIqEP)构成的一组基那么，=p-IM，其中p：Ao一(AOA)。是典范嵌入，M：AoAA是路代数的乘法。那么肘+(矿)(口固励=矿肘(口固p)=g(。卢)=。1耋：；i：其中opP注意到p(og)=po(，固夕)，其中，I：kok一七是典范映射从而广1(科=弘-1o鼋因此(口)(口固刃_=p-1(口)(卵)=p以(矿(筇)=：暑：耋荔i：第二章预备知识5所以A(q)=。矿a$ffige(q)=妒(矿(口)=u(矿)(1)=矿u(1)=口(el+e，I)当口=ei，1in时，(口)=q(e1)+g(岛)+-+g(e。)=1当length(q)l时，(矿)=g(e1)+叮(e，1)=0因此由矿一口，qP所唯一确定的=(七qP)到C=kq。的映射是同构。定理21设是是一个域，Q是一个有限箭图，路代数A=kQ4的对偶余代数同构于路余代数C=kQ。下面考虑路余代数的对偶。设Q是一个有限箭图。设P是Q的路的全体，Qo=el，)设C=奄Qc，对于任意的qP，定义矿(口)=1；矿(力=O，VpP，Pq，gIqP)构成口的一组基。根据第二节，M=P，其中p：c+oc+一(CoC)+是典范嵌入，对于任意Q=a1，p=风岛尸，肘+(oo矿)(n国=+P(口固卢)(o猡)=v(ao矿)A(aZ)l-1=P(d。矿)(t(a)。a卢+(al啦+1)。(aalp)+a。卢+i=1m-2、+(口艮岛+1)。(岛岛)+ap。s(妒)j=1=0+口。(a)p(卢)+0=16代数表示论在HOPF代数中的应用如果qP，口叩。那么扩(o+op+)(口)=A+P(口o矿)(口)=p(口o矿)(g)、=P(a。矿)(口，。)d社=吨=矿(0，)矿()时廿口q由于qn卢，对于上式每一和项中，a或p因此各项均为0。因此M(矿。矿)(口)=0所VM+(口o矿)=(a口)又因t(1)=矿(砂(1)，其中妒：七一矿是典范映射，u(1)Cq)=s(1)E(口)=E(口)对于任意的口P，当q=句时，u(1)(e)=慨)=1而(e；+)(e)=1当length(q)1时，由路余代数的定义，(1)(口)=e(q)=0。而(e+)(g)=O所以4t)=e：+因此由口一口，口P所唯一确定的C=(七Qc)到A=知驴的映射是同构。定理22设七是一个域，Q是一个有限箭图，路余代数e=后Qc的对偶代数同构于路代数一=七qlo22量子群uq(sf2)及限制量子群(m，n)限制量子群，n)是【16】中引进并研究的。本节只给出定义和简要介绍，详见【l6】。设r3为整数，芦是与r互素的整数。Ar决定了一个r次本原单位根g：_exp(竿)量子群(8f2)是由E，F，K，Kq生成的含1结合C代数，生成关系为(R1)KK-l=K-1K=l(R2)KE=92EK第二章预备知识7有有(Ra)耳F=g一2FK(R4)EFFE=1K=_iK=广-I引进记号设同=符，【r】=0，【r+司=【o】，【ra4=一【川【t11=11112【i】嘲=而la珂l!I尬0】=KqaF-Ki=广-lq-4，VaEZJr；n】E=ElK；D+21暇；aF=F畔；a一2】EF=F3E+【8IF一1x；13】(s1)FE=E。FIslE一1【K；s一1】(s1)驴P=ra丢in(t劬豳目扩c驴i州t纠(s如)上H0pf代数结构有几种不同的定义方法，为了方便，我们采用【48】，13J和【80】的方式定义。余积，余单位E，和对合射s在生成元上定义如下(E)ACK)e(E)EoK+10E，(F)=F01+K一10只KoK，A(K一1)=K一1oK，e(F)=0，e(K)=(K-1)=1，sO)=1，S(K)=K一，S(K_1)=K，S(日=一EK-1s(F、=一耳F可以验证这些映射保持关系R1一R4，从而(碥(sf2)，m，t，A，E)构成一个Hop玳数。以上对(sf2)余积的定义与【16】不同，相应地，对合射S也不同。但【16】的结论依然成立限制量子群(m，n)是由，K，E，F生成的含1的c一结合代数满足关系(R1)-(R4)以及(R5)Kr=1(R6)驴=妒=0嵋，n)是(sf2)关于由，P一1，刀，”，p所生成的理想的商代数。简记为U在【16】中证明了(m，n)可以分解为若干区块的直和，每个区块Marita等价于下列带关系的两个路代数之一：(一z)“=0，(矿”)”=0，矿$=一第二章预备知识9(2)矿=0，ym=0，舭=列第三章Artin环和Artin代数的直和分解当我们研究Artin环和Artin代数的结构和表示的时候，决定它们的区块是很重要的。为此我们需要知道它们有多少不同构的投射模。对于某些特殊类型的Artin环和Artin代数，人们用特别的技巧找到它们的投射模。但是要确定它们是不是所有的投射模就是一件困难的事情了【16，73，78】本章我们给出Artin环和Artin代数的在它的分解式中投射模的重数与相应的单模作为除环上的向量空间的维数之间的联系。利用这一原理，我们只须一个简单的维数计算，就可以容易地确定一个投射模的集合是否是完全的集合。本章主要结论是：令A是一个axtin环。令P是一个不可分解投射左A_模。那么A可分解为不可分解投射左A模的直和。本章主要结论是，如果我们把A看作一个左A模，那么在A的直和分解中的P重数等于相应的单模S作为某个除环上的向量空问的维数。31环论的基本结论我们先回顾几个环论的基本结论，详见【2，25，08。Schur弓I理是说：如果M是任意环兄上的一个单模，则五hdR(M)是一个除环。众所周知，如果k是一个代数闭域，D=EndR(M)是一个有限维缸代数，那么D=k记周拘Jacobson根为tadR，则RradR是一个半单品代数令，是一个环冗中的一个理想。令是一个R，的幂等元。我们说这个幂等元可以提升到e模掉，如果存在一个幂等元eR使得a=e+，我们说幂等元提升模掉J如果每个RI中的幂等元可以提升到兄中的一个幂等元。如果，是一个环冗中的一个诣零理想，那么幂等元可以提升模掉j。对于任意artinR-代数A，幂等元可以提升模掉radA，因为r以A是幂零的我们有引理31令R是一个环，令，是R的一个理想使得，radR那么下列命题等价r一幂等元可以提升模掉，j俐左R模剧，的每个直争项具有一个投射盖；代数表示论在HOPF代数中的应用纠剧，中有限幂等元的伉全，正交集提升到R中的一个幂等元的f完全J正交集由此得到，引理32如果，是A的一个理想使得，radA，那么每个A，中的有限的幂等元的完全正交集可以提升为中的一个有限的幂等元的完全正交集。引理33令R是一个环，是R的Jacobson根4e和，是R中的幂等元刖雁垒R，当且仅当RJe謦RfJ!32Artin环的直和分解我们用记号霸(D)表示除环D上的nn矩阵所构成的环定理34似rtin-Wedderburn)御一个环R是单口州臁当且仅当对某个自然数n和除环D使Rg厶(D)此时，腓一决定了n并且在同构意义下唯一决定了D阮J一个环R是半单artin环当且仅当R同构于矩阵环的直和峨。(D1)o0(研)，其中Dl，Dr是除环现在我们固定竹andD用记号五表示在第l行第J列处为1，其它地方为。的nn矩阵易见E11I，)构成本原正交幂等元的完全系，并且对于任何1，J，七，z礼，旬七时，勖=0，而啄=目YdlI七Mn(D)可分解为左投射模的直和。肘；(D)=靠(D)髓l+肘j(D)E。，其中每个尬。(D)置i都是左理想，并且作为投射模，它是不可分解的。我们得知厶(D)是单模。右乘以晟，给出了从靠(D)玩至IJMn(D)Ejj的模同构因而所有的不可分解投射模都是同构的，我们用记号P表示唯一的不可分解投射模。那么对应于P的单模S是P自身。综上所述，第二章ART环和ARTIN代数的直和分解13引理35在全矩阵环M。(D)中，不可分解投射模雕直和分解中的重数等于它所对应的单模S作为除环上的向量空问的维数由定理34，我们有推论36如果R是一个单artin环，记号P表示R的唯一的投射模那么P在R的直和分解中的重数等-dimDS，其中D是引理34申的除环现在，我们给出主要定理定理37令A是一个artin环令只(i=1，s)是互不同构的不可分解授射左A模那么在A的直和分解中只的重数等于dim觑岛证明首先考虑特殊情形。如果R是一个半单artin环。令只(i=1，s)是互不同构的不可分解投射左B模，鼠是对应于只的单模。设在刷勺直和分解中只的重数为m由引理34，我们可以假定R=J|l靠。(D1)0oM。(研)令邑1，而。是一个M。(Di)中本原正交幂等元完全集合。令=“(eii)。j=1，仉，其中“是(功)到R的自然嵌入。那么e】1，el，e2，1，ea，12，岛1，egpn$)是一个本原正交幂等元完全集合，使得对于任lj，J=1，啦，作为投射模Reid2Reid。此时岛=Aeij=岛和=，对于任意i，J，J，和菩国，如果i矿因此R的直和分解中只的重数等于=dimot最设radA是artin环A的Jacobson根，R=AradA令e1，l，elm，ea，1，02wz，8，e。，m)是本定理的证明中第一部分的本原正交幂等元的完全集合。由引理31，令a1，l，自。，而，1，a2。，e，e。m)是提升的幂等元记同构于彤甜的投射模为只J，对应于只J的单模记为最J。对于任意J，J=1，啦，TopRJ皇SJ岂&，型Top只因为只J，BJ，是不可分解。由引理33，只J型只弘因此，由本定理的证明中第一部分，罔jq直和分解式中最的重数等于dimo&口下面讨论关于Artin代数的相应结论。14代数表示论在HOPF代数中的应用弓l理38令R是一个9换artin环，A是一个artinR玳数A是单代数当且仅当对于莱个自然数n和一个R一除法代数D，A垒尬。(D)引理39令R是一个交换artin环，A一个半单R玳数存在自然数，11，琳和R除法代数D1，Dr使得A皇帆。(DI)0o(Dr)定理3104R是一个交换D删n环，A是一个artin兄玳数令只0=1，8)是互不同构的不可分解投射左A模那么A的直和分解中只的重数啦等IdimD最，其中现是一个兄一除法代数，i=1，s如果R=k是一个代数闭域，A一个artink-代数那么以上所提到的所有的D均为七我们有定理3114k是一个代数闭域，A一个artin七玳数令只(i=1，8)是互不同构的不可分解投射左A模那么A的直和分解式中只的重数啦等于dimk最最后我们考虑它们与基代数以及初等代数的联系。令A是一个artiIl代数，A=o：1只，其中只为不可分解投射模。代数A称为基代数如果只喾易对于iJ一个有限维肛代数A称为初等的如果AradA=o。七(域硼qn个拷贝的直和)推论312令兄是一个交换artin环，A一个artin尼代数那么A是基代数当且仅当所有单模S的D一维教是一雏的即，对于所有i=1，5，dim觑最=1证明由定理37，只的重数m等于camvS。由只掌弓(iJ)可知每个只都只有一个，从而对于所有i，m=1因此，对于所有i；1，8，dlmD。鼠=1口推论313有限维初等的k-a欺-定是基代数证明如果舡代数A是初等的，那么每个单模是一维的。因此，在A的直和分解中不可分解投射左A-模只的重数都是一。因此，对于tJ，只喾弓口推论314代数闭城k上的每个基代数都是初等的第二章ARTIN环和ARTIN代数的直和分解15证明设A是基代数。由基代数的定义知，A的直和分解中不可分解投射左A-模只的重数都是一。从而dimoS=1如果七是代数闭域，那么Dt=知那么dimk最=1。所以&=七因此，Aradh=o：l最=o。七口33阮(m，礼)的分解本节我们要把我们的结果应用到(m，n)的分解中(m，n)的定义见22，细节见【161)。首先，我们要把(m，n)分解为主不可分解模的直和a见【16，731在【161中，我们发现：不同构的投射模Pt，(0fo。m0是婀的作为向量空阃的基，定理44作为代数，“jJ式ejwl同构于(st2)证明同构映射由如下确定：瓦山一E，R山一只厶一i，一K，瓦一K口第四章弱HOPF代数的直和分解19在wj中，我们记x=鼠，(1一山)，Y=瓦(1一厶)我们有引理45倒X(1一山)=(1一厶)x=x，一矿Y(I一九)=(1一山)y=Y，训(1一L)(1一山)=(1一山)，俐XY=YX证明(i)-(iii)显然。下面给出(iv)的证明：XY=风(1一厶)凡(1一如)=玩R(1一厶)yx=凡玩(一=(既凡一等三孕)(一无)=玩肿训一等(1训=玩凡(1一山)一堑二垦q二_业q-1垦鱼=玩兄(1一无)定理46作为代数，似，式中的虼同构5-kz，纠证明同构映射妒：W2一kx，叫定义为：XHz，Y”管，1一厶H1由引理45，这是一个同构映射众所周知七扛，们同构于下列箭图的代数：厂、b满足关系zy=yz口口综上所述，wsl。2是(s如)和七k，胡的直和。因此埘s。2的表示是(s12)的表示和奄k，引的表示的直和。20代数表示论在HOPF代数中的应用42WSlq2的余代数I的Ext箭图MontgomaryChin17，60，章璞，陈小伍，黄华林【15】分别给出了E吼箭图几种等价的定义。这里我们只考虑点余代数的情形。令C是一个点余代数，我们定义G的Ext箭图rG的顶点为G的群样元，箭头对应于线性无关的非平凡的斜本原元。也就是说。如果$，Y是C种中的群样元，记B口(c)；cqc=coz+可oc，那么边茁一的重数等fdimP=口(口)-1Ext箭图还有另一种定义。设它的单(右)余模同构类的全体组成的集合记为S对于X，Y最右G余模范畴中扩张OXZyO的等价类记为的ExtC(Yx)Ext箭图F=r(c)定义为有向图，顶点为Fo=S。边为：X_Y兮ExtcWx)0边的重数是由反mEzc(y，x)给定在参考文献【59】的定理17中，已经证明单(右)o余模的Ext箭图(作为有向图)同构于箭图r口。在【48】中已证明，wsl。2中的群样元为：，瓦，瓦，瓦，1，山，砩，磁，注意到wslq2是点的，顶点对应于wslq2的群样元，箭头对应于非平凡斜本原元。对于斜本原元素，当i1时氐(风心)类似地，对于tl易见。)氏(晚)(玩固+10瓦)(或。磁)风磁oKL+1+磁固风磁乱(凡瓦)=R或。或+硭10凡或。(职。)=Ej乙固厶+瓦0圆E0乙()；o玩+LR第四章弱HOPF代数的直和分解对于i2，乜(玩瓦)=瓯或。砖1+瓦。玩瓦“(凡以)=瓦磁。磁+砖10凡磁因此，wsl92的余代数的E吼箭图起砬如砖砖乳砭耳靠嚅昂】P：五瓦J_图42砭如琏砖；=其中顶点代表群样元，而箭头代表B，(wsl。2)的非平凡的生成元。因此叫s2作为余代数是不可分解的，因为箭图是连通的43vsl口2的直和分解弱量子群vslq2是由日，R，0，瓦生成的含1的结合肛代数满足下列关系【R1、K承产曩。K。K五。K。=K。曩。K丑。=R。(R2”)甄BK。=矿日，(R3”)jLRK。=q-2凡，(a4-)K曩。RRX承。=警静VSlq(2)的余代数结构由下式给定(见【48】)。(鼠)。(兄)色(凰)岛(风)=L圆LE。L-4-LE。L圆K。，=五R五。五十K。o五R五，=K，oK，。(。)=K。oK。，=e。(只)=0，。()=岛(K。)=1警代数表示论在HOPF代数中的应用弱对极由以下给出：T(1)=1，T()=瓦，T(-蟊j=虬。T(风)=一蜀_t，T(R)=一J乙R弱量子群口s如2也简单地记为y易见，如果(R1”)成立，(1t2)等价于_t，日托=q-2风事实上，(1t2”)隐含鼠=q-2纸玩_t，和永。E。K。一f。哏。K，E再。K。=q4R。K。K。E承承。K。=q-4E承。=q-2日类似地，(R3”)等价于_t，R虬=q2R记五=虬_t，易见L甄L=战厶R凡=R所以前两个等式就是：。(风)=蜀。凰+厶p风，。(R)=Ro五十K。oR我们有，引理47五和1一厶是一对正交中心幂等元证明只须证明五与tl，sf口2的生成元可交换e事实上，J。E。=q-2K承。K。E涿。=q-2K。E承。=E。E。J。=q-2K。E器。K承。=q-2K。E涿。=E。类似地，五日=Fo=R五与j0，瓦的交换性是显然的。口第四章弱HOPF代数的直和分解令V=vsl。2，M=y山，=V(1一山)我们可以把y分解为双边理想的直和V=KoV2(42)其中H的基为砭巧础，砭日7嚣，或巧，o，Jo，lo，m0。我们有定理48作为代数，(42)式中的M同构于(sf2)证明同构映射如下定义：玩一曰，R一E山一1，虬一K，瓦H-1口注意到(42)式中的K=vo一五)=(1一山)七型七，即七上的平凡代数。事实上，玩(1一凰瓦)=q-2蚝明乙(1一甄瓦)=0类似地，Fu(1一虬瓦)=0定理49作为代数，vstq(2)竺(812)o奄在中已经证叽vsl。2的群样元为，瓦，或，瓦，l，凰瓦，瓦，瑶，砭，易证，对于斜本原元素，当i1时。(鼠j)类似地，对于l1易见色(马)。(磁)(昂。甄-4-o日)(砖。配)E。K：oK+K：固E。K：A，(R冠)=R硗。瓦+砖1pR霹A。(鼠瓦)=日瓦。凰一Kv+一Kuo日瓦A。(日虬)=只虬固心+_v致。冠玩代数表示论在HOPF代数中的应用对于i2，色(蜀或)一或。霹1+砭。最蕊t)；R砭圆弼+砰1pR磁因此，VSlq2白J余代数的E砒箭图是l篷O-罂拦挂拦挫F一o：=：=：=：=：=o：=，f】吧耳，-凡砖凡础图4344弱的(s12)的直和分解我们把对应于(s12)的各种弱Hopf代数统称为弱的(st2)除TZ述wslq2和vslq2之外，文献给出Twsl：2和叫s瑶2。本文作者也发现了其它的弱的(st2)本节综述弱的乩(st2)的代数和余代数结构。弱的(s12)是由E，EK霄生成的含1的结合肛代数满足关系(R1)，(R4)，且满足(R2)或(R2”)之一，以及满足(R3)或(R3”)之一(R1，1髟霄=霄，耳K=K，霄影耳=一K，(R4)EFFE=石K：-FKT(R2)KE=口2EK，KE=q-2E，(R2)岔瓦=92E，(R3)耳F=q-2F，霄F=q2F蟊，(R3”)麻=q-2F如果E满足(R2)，我们就说El挣乘法是第一型的；如果E满足(R2”)，我们就说吲拘乘法是第二型的；如果F满足(R31，我们就说F的乘法是第一型的；如果F满足(R3)，我们就说P的乘法是第二型的。第四章弱HOPF代数的直和分解余积定义如下：(K)=KoK，(霄)=霄固霄，E和F的余乘法的定义各有两种类型：我们说吲q余乘法是第一型的，如果(F)=10E+Eo我们说E的余乘法是第二型的，如果ACSl=JoE+EoK我们说F的余乘法是第一型的，如果(聊=F固1+KoF我们说F的余乘法是第二型的，如果A(F1=FoJ+KoF不管生成元E和F的类型如何，余单位总是定义如下：z(1)=e(K)=E(K)=l，5(E)=e(F)=0而弱的对极总是T(1)=1，T(K)=K，T(_)=K，T(E)=一麝，T(F1=一KF定理410设u为上述任何类型弱的(s岛)，作为代数，矿总可以分解成为两个代数的直和矿=+U2，而且研同构于(s屯)，阮如表j所示定理411设u为上述任何类型弱的(s12)，作为余代数，u的础图均为如下所列的四种箭图之一，如表j所示代数表示论在HOPF代数中的应用1，图44第一型余代数Ext箭图lJ图45第二型余代数Ext箭图1图46第三型余代数Ext箭图1J=：=：=：=：=：=：=图47第四型余代数Ext箭图第四章弱HOPF代数的直和分解易见，两个余代数同构的必要条件是它的Ext箭图同构(注意：这不是充分条件)。所以如果两个余代数的Ext箭图不是同型的，那么它们必然不同构。下表列出对应于(s12)的各种月$JHopf代数的可能结构。E和F可能的乘积和余积共16种，其中有了种构成弱Hopf代数还有7种不能构成双代数。E的乘积F的乘积同约余积P的余积沈余代数的Ext-箭图第一型第一型第一型第一型科。，胡第一型wsl口2第一型第一型第一型第二型qz，鲥第二型第一型第一型第二型第一型科。，引第三型第一型第一型第二型第二型后陆，Y】第四型第一型第二型第一型第一型无第一型第二型第一型第二型七【司第二型wsl2q2第一型第二型第二型第一型无第一型第二型第二型第二型kx】第四型第二型第一型第一型第一型无第二型第一型第一型第二型无第二型第一型第二型第一型后M第三型wsl：2第二型第一型第二型第二型七M第四型第二型第二型第一型第一型无第二型第二型第一型第二型无第二型第二型第二型第一型无第二型第二型第二型第二型惫第四型vslq2表1从上表可以看出力种弱H0pf代数均不同构。文献【3l中提到”s砝(2)2硼8碍(2)，其实不然。文献【3】中还提到对应于(sz2)的不同构的弱H印f代数只有3种，也不对。45限制弱(sz2)的直和分解就象(s易)一样，当q是一个单位根，弱(s_c2)的表示理论变得复杂和困难代数表示论在HOPF代数中的应用因此我们研究弱(8如)上的有限维模M满足关系EM=PM=0，对于某个正整数s和t等价地，我们研究弱(st2)的商代数上的模。这个商代数也称为限制弱量予群本节，我们证明这个商代数就是(szz)的商代数与前节所述的观的商代数的直和。引理412设弱(北)如前节所述，对于生成元耳和耳，以下关系等价：倒K=J，俐-ff=J，俐一=霄，对于所有i=l。2，r一1俐K”=牙，对于某个i1，2，r一1()KrK=K。M-ffK=K，诫)KtH=K。阳砂矿+1=-g限制弱量子群(m，n)是由E，FK，耳生成的含1的结合肛代数满足前节所述关系，和下列关系：(R5)耳件1=K，(R6)矽”=Fnr=0定理413不论E，F的类型如何，叫(m，n)同构于(m，n)o现其中观如表J所示，(m，仃)是(sh)的商代数满足关系JP=1和E”=Fr=0证明由定理410，叫(m，叻分解为伽(仇，n)=巩oU2由引理412，(R5)K+1=K等价于jP=J(R5)等价于(sf2)中的K7=1因此，仉在关系(R5)(R6)下即为(同构于)(m，竹)在观中，由于E与1一J-7交换，X”=口”(1一，)”=0同理，yr=，”(1一，=0所以，(R6)等价于矿”=yr=0从而在关系(R5)(R6)下即为(同构于)巩口因此，伽(m，n)的表示归结为(m，n)并U2的表示。第四章弱HOPF代数的直和分解46wsl口(n)的直和分解Aizawa和188ac给出t，3(n)的定义f31。wsl。(哟由生成元置冠，凰和_f0=1，tI一1)生成，我们可以选择两类不同的定义来描述最和玛及瓦之间的关系而且同样地对于任何的最-这就是所谓“混合”的定义。生成元满足下列各关系，对于所有的J：KKi=XiX曩涿j=泵零gnj=承iK“t431K涿=K承i。EGFiE=西等(44)(45)研毋士l一(g+q-)晟最l局+毋士1霹=0(4，6)砰R士l一(g+q-1)只只士1只+最士1砰=0(47)置易=弓&，最乃=弓冠，Iijl2(48)除此之外，生成元还要满足，其它一些关系。令为sl(n)的Cartan矩阵，即啦=2，啦i4-1=-1，其余元素为零。如果最满足KiEi=矿”EKi，E涿j=矿j曩iEi，可j。我们说最的乘法是第一型的然而，如果最满足KjEiKj一铲4E。、j，我们说最的乘法是第二型的。如果蜀蒲足，KiR=q-RKslRKi=q-KiR，、j，(49)(410)(4。11)我们说日满足定义1，或者说只是第一型的然而，如果只满足玛E瓦=q-叼最，W，(412)我们说只满足定义2，或者简单地说，民是第二型的。余积定义如下：(K)=蚝oK，(冠)=瓦。瓦，。忍和只的余乘法的定义各有两种类型：记J=甄瓦，我们说置的余乘法是第一型的，如果(最)=lo晟+晟。甄我们说蜀的余乘法是第二型的，如果(最)=t，o毋+蜀。甄我们说只的余乘法是第一型的，如果(只)=只01+面。只我们说只的余乘法是第二型的，如果(足)=最oJ+冠。只不管生成元置和只的类型如何，余单位总是定义如下：E(1)=E(K)=ecg)=1，E慨)=E(只)=0而弱的对极T总是T(1)=1，T(K)=瓦，T(-K)=，T(置)=一蜀甬，T(只)=一K晟第四章弱HOPF代数的直和分懈31我们有3Ki=KiJ=Kj豫=一KjJ=Kj(410)等价于坼最玛=q-叼毋(413)事实上，(410)隐含最=q-叼置瓦和泵jE。Ki=q-04jKjKiB汉3Kj=q岫堰KKjE承Kj永jKi=q铀jKjE夏j=q-叼最类似地，(411)等价于瓦只玛=产只(414)引理414在枷sk(n)中，不管生成元最和足的类型如何，J和1一J总是一对正交中心幂等元证明只须证明J与sk(扎)的生成元可交换。J与，瓦的交换性是显然的。当局和最的乘法是第一型时，容易证明。当忍的乘法是第二型时，JEl=q-4|K1墨jKiE孓=旷“iKE承j=EIEp=q-KjE孓5K霉i=q-。qKjB墨j=Ei类似地，当只的乘法是第二型时，了最=冠=只J令砰1=(wstq()J，WZ=(wsl口(n)(1一J)(415)(416)(417)口定理415wstq(n)可以分解成两个代数的直和仰幽(n)=，1owj而且作为代数，-n同构于(sk)代数表示论在HOPF代数中的应用下面我们考察睨的结构我们记五=E0一，)。K=只(1一，)我们有Sl理416御当蜀为第一型时，五(1一J)=五倒当只为第一型时，K(1一J)=K一彬当毋为第二型时，置=0f动当只为第二型时，M=0证明(i)当最为第一型时，五(1一，)=晟(1一，)(1一J)=蜀(1一，)=五(豇)当最为第一型时，Y0一刀=F0一，)(1一刀=最(1一J)=K(iii)当Ei为第二型时，(iv)当足为第二型时，五=M=蜀(1一l，)口一吣筑Ei冠(1一J)口一叼K蜀(瓦一瓦)0E(1一，)恐只瓦(1一印产冠只(瓦一瓦)0引理417不管生成元蜀和E的类型如何，均有咒M=K五口证明由引理416，当晟为第二型时，咒=0当最为第二型时，M=0此时，KK=K五第四章弱HOPF代数的直和分解当最和E均为第一型时：K五=R噩(1一，)=(最EKgi一-g-K一。i(1一7)=酬l叫一等(1卅一最E(1一，)一Ki-KFi-K孑iJ一+KiJ=最R(1一，)=配M口定理418作为代数，V矿2同构于由咒，巧I易是第一型的，乃是第一型的生成的代数，满足下列关系：群五士l一(口+q-1)墨置士l五+咒士1砰=0坪Kl一(g+q-1)YY士Wi+K士1y2=0五巧=巧咒，J五玛=xj墨，M巧=巧M，Ii一引2特别当最和毋均为第二型时，垡k47wslq(n)的余代数的Ext箭图为了检验上述两神余乘法的定义是否保持生成元的关系，我们需要下歹Ij引理。引理419不管生成元最和风的类型如何，以刃，“11)总是成立代数表示论在HOPF代数中的应用证明当最，只为第一型时，(49)，(411)就是定义。当晟为第二型时，KiEi=铲iKj永iEKj=一jBtKj=piEtKjEtK=qKjBtKKi一一KEsJ；旷|Kj&当冗为第二型时，类似可证(411)成立。