勾股定理及逆定理.docx

一 勾股定理验证（等面积法）解题思路：将所给三角形拼成大图形用等面积法：大图形面积=各小图形面积和。例1、如图所示，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？例2、如图矩形是由四个直角三角形拼成，题中已给出各边长，试证明勾股定理。例3、图中的正方形均是由RtABC拼成，试验证勾股定理。2、 勾股数：满足a2+b2=c2的一组正整数叫做勾股数类型一：如何判断勾股数关键词：选择题、三条边、构成直角三角形、勾股数等一眼识别勾股数：可将较小两数的个位数进行完全平方求和，将所得的新的个位数与最大数的个位数的平方所得个位数进行比较，若结果一样一般满足勾股数。例1、判断下列哪组数是勾股数（ ） A、58,44,60 B、8,15,17 C、13,14,19 D、22,30,19类型二：大题中如何估算勾股数解题思路：先确定最高位的数字，再确定其它位数字例1、已知直角三角形的两条直角边分别是：48、55，试求斜边长是多少？类型三：根据勾股数关系巧设未知数求边长例1、在直角三角形中，一条直角边为11cm，另两边是两个连续自然数，则此直角三角形的周长为多少？例2、直角三角形的三边长是三个连续的整数，这样的三角形共有（ ）个？A、 1个 B、 2个 C、 3个 D、 无数个例3、ABC的两边a，b分别为5，12，另一边c为奇数，且abc是3的倍数，则c应为多少？此三角形为何种三角形？类型四：勾股数与规律例1、 观察下列各组数： a b c第一组：3=21+1， 4=21（1+1）， 5=21（1+1）+1，第二组：5=22+1， 12=22（2+1）， 13=22（2+1）+1，第三组：7=23+1， 24=23（3+1）， 25=23（3+1）+1，第四组：9=24+1， 40=24（4+1）， 41=24（4+1）+1.观察以上各组勾股数的组成特点，你能求出第七组勾股数的a，b，c，各是多少吗？弟n组呢？例2、观察下列每组勾股数,每行所给的三个数a,b,c都满足abc, 6, 8,10 8,15,17 10,24,26 12,35,37 20, b,c 试根据已有数的规律,写出当a=20时,b,c的值,并把b,c用含a的代数式表示出来.例3、已知:在中,的对边分别为a,b,c设的面积为S,周长为C.(1)填表: 三边a、b、ca+b-cs/c3 4 525 12 1348 15 176(2)如果a+b-c=m,观察上表,猜想S/C=_(用含有m的代数式表示。(3)证明(2)中结论。三、最短距离问题：类型一：立体几何中求点与点之间的最短距离关键词：两点、两点分布在不同的面上、距离最短等解题思路：立体图形平面图形点、线、面勾股定理例1、长方体中求线段长：如图所示是一个长8m、宽6m、高5m的仓库，在其内壁的A（长的四等分点）处有一只壁虎，B（宽的三等分点）处有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处的最短距离为多少米？ B A例2、圆柱体中求线段长：（注意所用线段与圆周之间的关系）如图一个圆柱，底圆周长6cm，高4cm，一只蚂蚁沿外壁爬行，要从A点爬到B点，则最少要爬行多少cm？ 例3、为了美化校园，学校新近植了两株雪松（如图），从地面到枝桠处高2米，树粗一周是60cm，现在要在树身（从底端到枝桠处）均匀缠绕草绳20周，那么草绳约为多长？（精确到0.1米）类型二： 点到直线的距离问题：关键词： 最短、最省钱、一动一静等解题思路：过点做直线的垂线段，一般与30角的直角三角形结合起来，利用30所对的边等于斜边的一半例1、如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域.(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？类型三：选址问题关键词：两点位于物体同侧、一条河或铁路等直线型物体解题思路：做其中一点的对称点（依据：利用中垂线上任意一点到线段两端的距离相等）连接两点利用两点之间线段最短。例1、在矿野上，一个人骑着马从A到B，半路上他必须在河边饮马一次，如图，他应该怎样选择饮马地点P，才能使所走的路程AP+PB最短呢？ A. B. M N例2、如图所示，A、B两点在m的两侧，在m上找一点C，使C到A、B的距离之差最大。 类型四：三点组成三角形周长最短问题关键词：角、两个点、构成三角形周长最短等解题思路：分别做两点关于角的两边的对称点连接两点则与三角形两边的交点即为所求（依据：两点之间线段最短）例1、如图，M是AOB内一点，求做两点C、D，使点C、D分别在OA、OB上，且使MCD的周长最短。 B .MO A四、关于等底不等高三角形与等高不等底三角形的关系：关键词：等底、等高、等高、等底、面积等解题思路：等底不等高两个三角形面积比等于高之比； 等高不等底两个三角形面积比等于底之比。例1、如图，已知：，. 求：BC的长. 五、三角形形状判定：类型一：三边关系判断: 若满足a2+b2=c2，则此三角形为直角三角形； 若满足a2+b2 小于c2，则此三角形为锐角三角形； 若满足a2+b2大于c2，则此三角形为钝角三角形；例1、ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，若C=90，如图，根据勾股定理，则有a2+b2=c2,若ABC不是直角三角形，如图所示，请你类比勾股定理，试猜想a2+b2与c2的关系，并证明你的结论 A A A B C B B C C例2、如图在ABC中，BC=a=2n+1，AC=b=2n2+2n，AB=c=2n2+2n+1，（n为非零自然数），试证明ABC为直角三角形。 A C B例3、设一个直角三角形的两条直角边分别是a、b，斜边上的高为h，斜边为c，则以c+h、a+b、h为三边构成的三角形形状？例4、已知a、b、c为ABC的三边，且满足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判断ABC的形状。例5、已知a、b、c是ABC的三边，且a2c2b2c2a2b2，试判断ABC的形状类型二：分别求各边的长，看能否满足勾股定理例1、如图,ADAB,BCAB,AB=20,AD=8,BC=12,E为AB上一点, 且DE=CE,求三角形DEC是直角三角形吗？ A E B D C类型三：直接求角度数（略）六、勾股定理与乘法公式（完全平方、平方差）：例1、已知直角三角形周长为22+2，斜边长为2，求三角形的面积。例2、设直角三角形的三边长分别为a、b、c，若c-b=b-a0，则(c-a)/(c+a)=（ ）A 、1/2 B 、13 C 、14 D 、1/5例3、边长为6、8、10的直角三角形的面积S=1/2*6*8=24，周长=6+8+10=24，这个直角三角形的面积等于周长，同样，边长为5、12、13的直角三角形的面积等于30，周长等于30，它的面积也等于周长，试问：直角三角形的三边长a、b、c具有怎样的数量关系它的面积和周长才相等？结论：当直角三角形两直角边的和与斜边的差为4时，它的面积等于周长。七、勾股定理与无理数在数轴上的做法解题思路：找合适的直角三角形，利用勾股定理求出我们需要的无理数，然后在数轴上表示出来。例1、怎样运用作图的方法，在数轴上找出表示的点。例2、右图是由36个边长为1的小正方形拼成的，连接小正方形中的点A、B、C、D、E、F得线段AB、BC、CD、DE、EF、FA，请说出这些线段中长度是有理数的是哪些？长度是无理数的是哪些？并在数轴上作出表示、的点.八、勾股定理与格点问题：关键词：格点、三角形、勾股定理、三角形面积、三角形形状、三角形周长等型三：求边长、度数：例1、如图是由边长为1m的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从ABC所走的路程为_类型二：判断三角形的形状或面积、周长：例1、如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的ABC是什么三角形？该三角形面积是多少？九、勾股定理判断图形面积关系：关键词：多边形、面积、切割法、割补法、勾股数等解题思路：通过勾股定理边与边之间的关系判断三边所引出的图形面积之间的关系例1、是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1S2S3S4_例2、如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .(1) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.十：折叠旋转问题：（数形结合与方程思想）关键词：折叠、点与点重合、沿那条边折叠、对称等。解题思路：角、边设未知数列根据勾股定理列方程解方程。详细解题过程：找出边与边之间关系、角与角之间关系（或哪条边与哪条边相等、哪个角与哪个角相等、边与边的和相加等于哪条边长、角与角和等于90等），根据边角关系适当设未知数列方程求未知数。类型一：求线段长、度数例1、如图，折叠矩形的一边，使点D落在BC边的点F处，其中，你知道FC多长吗？例2、如图，P是正方形内一点，将绕B点顺时针旋转90，到位置，若，求的长例3、如图所示，有一块直角三角形纸片，两直角边AB6，BC8，将直角边AB折叠使它落在斜边AC上，折痕为AD，则BD_例4、如图在等腰直角三角形ABC中，BAC=90，P是ABC内一点，已知PA=1，PB=3，PC=7，求CPA的大小。 C P A B类型二：求图形面积例1、如图,在ABC中C=Rt ,CAB=60,AD为BAC的平分线,D到AB的距离等于5.6cm,求三角形ABC的面积是多少？十一：等面积法求线段长：关键词：勾股数、内心、到三角形各边距离相等等类型一：直角三角形中利用等面积法求线段长例1、已知：在中，且. 的周长为30. 求的各边长和斜边上的高。类型二：普通三角形中利用等面积法求线段长（常用三角形内心的性质：三角形内心到三角形各边距离相等）例2、如图所示，在中，两条直角边，在三角形内有一点P到三边的距离都相等，求这个距离（内心到三角形个边的距离相等）十二：航行问题中求线段长关键词：方位角、直角三角形、相遇、受到影响等。解题思路：准确找出方位角添加辅助线构造直角三角形（构造等腰直角三角形、30角的特殊直角三角形）勾股定理求线段长例1、甲、乙两艘轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲船每小时航行16海里，乙船每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时候相距30海里，如果知道甲船沿东北方向航行，你能知道乙船沿哪个方向航行么？十三：线与线位置关系（平行或垂直）例1、如图，CD是ABC的边AB上的高，且CD2=AD.DB，求证ACB=90。 CA D B例2、已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且求证：AFFE十四：证明等式解题思路：涉及有关线段长的关系式或计算时，常作高构造直角三角形，把已知线段和要求的线段集中在一个三角形中，利用勾股定理来解决问题例1、已知：如图，ABC中，ABAC，AD是BC边上的高，求证：AB2-AC2=BC(BD-DC)。 A B D C例2、如图，已知：，于P.求证：. 例3、如图所示，在中，为BC边上任意一点。求证：十五：勾股定理解决实际问题：（添加辅助线：高线、垂线，构建直角三角形）类型一：求建筑物的高度或物体长度例1、如图，一铁塔为AB，在离铁塔底部的C处测得，测角仪高为，求铁塔高度. 例2、一工厂的大门如图所示，一辆装满货物的汽车高2.5米，宽1.6米，你觉得汽车能通过大门吗？这可需要你认真考虑呀！例3、已知路灯需安装在12.5米高的灯柱顶端，电工师傅取了一架长13米的梯子，斜靠在灯柱上（如图），这时梯子的下端距灯柱底端5米你觉得电工师傅能将路灯安上去吗？电工师傅下来后，把梯子的底端在水平方向上向外拉了2米，那梯子的上端沿灯柱也下降2米吗？说说你的看法例4、如图，AB5，AC3，BC边上的中线AD2，则ABC的面积为_十六：勾股定理中常错题型：类型一：思维定势定三边：例1、一个直角三角形的两条边长分别是5和12，求第三边的长。例2