必修一上函数性质单调性奇偶性题型.doc

第3讲 函数性质一、函数的单调性1增函数、减函数定义设函数的定义域为集合： 增函数定义 如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在这个区间上是增函数； 减函数定义 如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值、，当时，都有，那么就说在这个区间上是减函数2单调函数、单调区间定义如果函数在区间是增函数或减函数，那么就说函数这一区间具有（严格的）单调性，区间叫做的单调区间3增函数、减函数的等价定义任取，则 等价定义1在上是增函数；在上是减函数等价定义2在上是增函数； 在上是减函数4对单调性概念的理解：（1）函数的单调性只能在定义域内讨论，可以是整个定义域，也可以是定义域的某个区间 （2）有些函数在其定义域内不具有单调性，如，； 有些函数在其整个定义域内都具有单调性，如，；（3）当函数在闭区间上单调时，区间包不包括端点都可以，但习惯上写成闭区间的形式；因为对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以区间端点处不具有单调性；（4）函数单调性定义中的、应取自同一单调区间且具有任意性；（5）在单调区间上，增函数的图像是上升的，减函数的图像是下降的；5定义法证明函数单调性的步骤任取，作差、变形（一般是因式分解、配方、分子或分母有理化），判断符号，结论6.复合函数分析法设，都是单调函数，则在上也是单调函数，其单调性由“同增异减”来确定，即“里外”函数增减性相同，复合函数为增函数，“里外”函数的增减性相反，复合函数为减函数。如下表：题型一：求函数的单调区间，常用以下四种方法。1.定义法【例1】 试用函数单调性的定义判断函数在区间上的单调性【例2】 证明函数在定义域上是增函数【例3】 根据函数单调性的定义，证明函数在上是减函数【例4】 证明函数在定义域上是减函数【例5】 讨论函数的单调性【例6】 求函数f(x)=x+的单调区间。【例7】 求证:函数在上是增函数【例8】 已知f(x)是定义在R上的增函数，对xR有f(x)0，且f(5)=1，设F(x)= f(x)+，讨论F (x)的单调性，并证明你的结论。【例9】 已知函数对任意实数，均有且当0时，试判断的单调性，并说明理由【例10】 已知给定函数对于任意正数，都有，且0，当时，试判断在上的单调性，并说明理由2.图象法【例11】 如图是定义在区间上的函数，根据图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？【例12】 求函数的单调减区间【例13】 求下列函数的单调区间： ； （）【例14】 求下列函数的单调区间：； 【例15】 作出函数的图象，并结合图象写出它的单调区间【例16】 画出下列函数图象并写出函数的单调区间（1） （2）3.求复合函数的单调区间【例17】 求函数的单调区间【例18】 讨论函数的单调性题型二：利用单调性求函数中参数的取值范围【例19】 设函数是R上的减函数，则的范围为( ) A B C D 【例20】 函数)是单调函数的充要条件是( )A B C D【例21】 已知（且）是上的增函数则实数的取值范围是（ ）ABCD题型三：函数的单调性与方程、不等式【例22】 已知在区间上是减函数，且，则下列表达正确的是（ ）A BC D【例23】 若是上的减函数，且的图象经过点和点，则不等式的解集为（ ）ABCD【例24】 设是定义在R上的函数，对、恒有，且当时，。（1）求证：； （2）证明：时恒有；（3）求证：在R上是减函数； （4）若，求的范围。【例25】 设是定义在上的单调增函数，满足求：（1）f（1）；（2）当时x的取值范围.【例26】 已知是定义在上的增函数，且求证：，；若，解不等式【例27】 设，是定义在有限集合上的单调递增函数，且对任何，有那么，（ ）A B C D题型四：函数的最值【例28】 求函数，的最小值【例29】 求函数的最小值【例30】 求函数的最值二、函数的奇偶性1奇函数定义如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫奇函数2偶函数定义如果对于函数定义域内任意一个，都有，那么函数就叫偶函数3函数的奇偶性定义如果一个函数是奇函数或偶函数，则称这个函数在其定义域内具有奇偶性注：（1）函数可分为奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非奇非偶函数（2）奇函数、偶函数定义域关于原点对称（3）定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件4判断函数奇偶性的步骤先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再根据与的关系做出判断，为了便于判断，有时需要将函数进行化简5判断函数奇偶性的方法（1）奇偶性定义是判断函数奇偶性的主要方法（2）为了便于判断，有时将函数解析式化简后利用奇偶性定义的等价形式：函数为奇函数；函数为奇函数（）；函数为偶函数；函数为偶函数（）（3）根据函数图像的对称性判断奇偶性：图像关于原点对称的函数是奇函数，图像关于轴对称的函数是偶函数（4）利用基本函数的奇偶性结论判断（具体内容见后面附录二）（5）由任意一个定义域关于原点对称的函数，均可构造出一个奇函数、一个偶函数（6）利用以下结论判断奇偶性：奇函数奇函数=奇函数，偶函数偶函数=偶函数，奇函数奇函数=偶函数，奇函数偶函数=奇，偶函数偶函数=偶函数等5有关函数奇偶性的结论（1）奇函数在关于原点对称的区间内具有相同的单调性（如果具有单调性）（2）偶函数在关于原点对称的区间内具有相反的单调性（如果具有单调性）（3）若奇函数在处有定义，则 （4）若，且定义域关于原点对称，则函数既是奇函数，又是偶函数典例分析题型一：判断函数奇偶性1.判断函数奇偶性可以直接用定义，而在某些情况下判断f(x)f(-x)是否为0是判断函数奇偶性的一个重要技巧，比较便于判断【例1】 判断下列函数的奇偶性： ； ； ； 【例2】 判断下列函数的奇偶性：； ； ； 【例3】 判断下列根式函数的奇偶性并说明理由：（1）（2） ；（3）f(x)=【例4】 判别下列函数的奇偶性：（1）； （2）；（3）.【例5】 判断函数f(x)=的奇偶性2.由函数奇偶性的定义，有下面的结论： 在公共定义域内 （1）两个偶函数之和（积）为偶函数；（2）两个奇函数之和为奇函数；两个奇函数之积为偶函数；（3）一个奇函数和偶函数之积为奇函数【例6】 若函数f(x)= g(x)是偶函数，且f(x)不恒为零，判断函数g(x)的奇偶性【例7】 函数与有相同的定义域，对定义域中任何，有，则是（ ）A奇函数 B偶函数C既是奇函数又是偶函数 D非奇非偶函数题型二：求解析式与函数值1.利用函数奇偶性可求函数解析式【例8】 设是上的奇函数，且当时，那么当时，=_【例9】 已知偶函数f(x)的定义域为R，当x0时，f(x)=，求f(x)的解析式设x0，则x0 【例10】 已知函数为上的奇函数，且当时求函数的解析式【例11】 已知函数，当为何值时，是奇函数？【例12】 已知是偶函数，时，求时的解析式.【例13】 已知是定义域为的奇函数，当时，求的解析式.【例14】 图象关于对称，当时，求当时的表达式【例15】 已知函数是奇函数,且,求的值.2.对于函数奇偶性有如下结论：定义域关于原点对称的任意一个函数f(x)都可表示成一个偶函数和一个奇函数之和即 f(x)=F(x)+G(x) 其中F(x) =f(x)+f(-x),G(x) =f(x)f(-x)利用这一结论，可以简捷的解决一些问题【例16】 定义在R上的函数f(x)=，可表示成一个偶函数g(x)和一个奇函数h(x)之和,求g(x)，h(x)【例17】 已知是奇函数，是偶函数并且，则求与的表达式【例18】 已知是奇函数，是偶函数，且，求、3.利用函数奇偶性求函数值【例19】 已知f（x）求f(2).【例20】 若是定义在上的奇函数，则=_；若是定义在上的奇函数，且对一切实数都有，则=_；设函数且）对任意非零实数满足，则函数是_（指明函数的奇偶性）【例21】 已知函数若、且，则（ ）A大于零B小于零C等于零D大于零或小于零【例22】 设函数的最大值为，最小值为，则与满足（ ）ABCD【例23】 函数在上有定义，且满足是偶函数；是奇函数；求的值题型三：奇偶性与对称性的其他应用1.奇偶性与单调性【例24】 已知函数是偶函数，而且在上是减函数，判断在上是增函数还是减函数并证明你的判断对奇函数有没有相应的结论【例25】 已设函数是定义在R上的奇函数，且在区间上是减函数，实数a满足不等式，求实数a的取值范围.【例26】 已知为上的奇函数，且在上是增函数 求证：在上也是增函数；【例27】 已知函数，当时恒有 求证：函数是奇函数；若，试用表示如果时，且试判断的单调性，并求它在区间上的最大值与最小值【例28】 设函数（且对任意非零实数，